《三垂線定理》課堂實錄兩篇

第1頁共15頁《三垂線定理》課堂教學實錄（一）一、素質(zhì)教育目標（一）知識教學點1．三垂線定理及其逆定理的形成和論證．2．三垂線定理及其逆定理的簡單應用．（二）能力訓練點1．猜想和論證能力的訓練．2．由線面垂直證明線線垂直的方法（線面垂直法）；3．訓練學生分清三垂線定理及其逆定理中各條直線之間的關系；4．善于在復雜圖形中分離出適用的直線用于解題．（三）德育滲透點通過定理的論證和練習的訓練滲透化繁為簡的思想和轉(zhuǎn)化的思想．二、教學重點、難點、疑點及解決方法1．教學重點（1）掌握三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．（2）掌握三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直．2．教學難點：兩個定理的證明及應用．3．教學疑點及解決方法（1）三垂線定理及其逆定理，揭示了平面內(nèi)的直線與平面的垂線、斜線及斜線在平面內(nèi)的射影這三條直線的垂直關系，其實質(zhì)是平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線（或斜線在平面內(nèi)的射影）垂直的判定定理．（2）本節(jié)課的兩個定理，涉及的直線較多，學生在認識和理解上都會存在困難，為了加深印象并說明復雜的直線位置關系，可以采用一些教具，或者讓學生準備三根竹簽，按照教師的要求擺放．在學生感性認識的基礎上，進行理性的證明和記憶，有助于定理的掌握．（3）三垂線定理是先有直線a垂直于射影AO的條件，然后得到a垂直于斜線PO的結論；而其逆定理則是已知直線a垂直于斜線PO，再推出a垂直于射影AO．在引用時容易引起混淆，解決的辦法是，構造一個同時使用這兩個定理的問題，引導學生分清．（4）教學核心是定理的形成教學，教學的指導思想是：遵循由具體探究抽象、由簡單到復雜的認識規(guī)律，啟發(fā)學生反復思考，不斷內(nèi)化成為自己的認知結構．三、課時安排本課題共安排2課時，本節(jié)課為第一課時．四、學生活動設計三垂線定理及其逆定理的條件和結論都比較簡單，但應用卻很廣泛，為了培養(yǎng)學生的能力，應讓學生探索定理的命題形式，充分利用好手中的三根竹簽．設計學生活動符合建構主義的教學思想，也符合教師為主導、學生為主體的教學思想；教師根據(jù)教學要求，提出問題，創(chuàng)設情景，引導學生觀察、猜想，主動發(fā)現(xiàn)，主動發(fā)展，從而調(diào)動了學生學習的積極性．五、教學步驟（一）溫故知新，引入課題師：我們已經(jīng)學習了直線和平面的垂直關系，學新課之前，讓我們作個簡單的回顧：1．直線和平面垂直的定義？2．直線和平面垂直的判定定理．3．什么叫做平面的斜線、斜線在平面上的射影？4．已知平面α和斜線l，如何作出l在平面α上的射影？（板書）l∩α＝A，作出l在平面α上的射影（二）猜想推測，激發(fā)興趣師：根據(jù)直線與平面垂直的定義我們知道，平面內(nèi)的任意一條直線都和平面的垂線垂直，那么，平面內(nèi)的任意一條直線是否也都和平面的一條斜線垂直呢？（教師演示教具，用一個三角板的一條直角邊當平面的斜線，一根包有色紙的竹竿擺放在桌面的不同位置當作平面內(nèi)的不同直線，學生容易看出它們不一定互相垂直．）師：是否平面內(nèi)的任意一條直線都不和這條平面的斜線垂直呢？（教師將三角板的另一條直角邊平放在桌面上，并提示學生注意這條直角邊與平面的關系——在平面上，與斜線的關系——垂直．）師：在平面上有幾條直線和這條斜線垂直？（學生可能會回答一條，也可能回答無數(shù)條，教師應調(diào)整桌面上的竹竿位置，使其平行于三角板的直角邊，然后平行移動，并向?qū)W生說明，這些直線都與斜線垂直．）師：平面內(nèi)一條直線具備什么條件，才能和平面的一條斜線垂直？（學生的直覺判斷是要與那條和桌面接觸的直角邊平行，這是正確的，但無多大用途；這時教師提醒學生注意斜線在平面內(nèi)的射影，并調(diào)整教具，將三角板的斜邊當作平面的斜線，構成垂線、斜線和射影的立體模型；要求學生與同桌配合，擺放課前準備的竹簽成教師示范的模型；然后在教師的引導之下觀察、猜想，與同桌的探討中發(fā)現(xiàn)了只要與斜線的射影垂直就和斜線垂直．）（三）層層推進，證明定理師：猜測和實驗的結論不一定正確，那么你想怎樣證明這個猜想呢？（若用幻燈或投影儀，可以節(jié)省板書時間．）已知：PA、PO分別是平面α的垂線、斜線，AO是PO在平面α求證：a⊥PO．師：這是證明兩條直線互相垂直的問題，你準備怎么證明？分析：從直線和平面垂直的定義可知，要證兩條直線互相垂直，只要證明其中一條直線垂直于另一條直線所在的平面即可．師：這個平面你找到了嗎？生：是平面PAO．師：怎樣證明a⊥平面PAO呢？生：只要證明a垂直于平面PAO內(nèi)的兩條相交直線．證明：說明：1．定理的證明，體現(xiàn)了“由線面垂直證明線線垂直”的方法；2．上述命題反映了平面內(nèi)的直線、平面的斜線和斜線在平面內(nèi)的射影這三條直線之間的垂直關系，這就是著名的三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．3．改變定理的題設和結論，得到逆命題：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直．可以用同樣的方法證明，這就是三垂線定理的逆定理（請學生簡要說明其證明方法和步驟）．4．定理中包含了三個垂直關系：PA⊥α，AO⊥a，PO⊥a，看出三垂線定理名稱的來由．5．從定理的條件看，關鍵的是直線和平面的相對位置關系，而與平面本身是否水平放置無關；在平面內(nèi)的直線a與斜線或斜線的射影的位置關系關鍵在于垂直；這樣直線a的如下四種位置關系，都是三垂線定理及其逆定理常見的情形．6．從定理的結論看，三垂線定理及其逆定理是判斷直線垂直的重要命題．（四）初步運用，提高能力1．（見課后練習題1．）已知：點O是△ABC的垂心，OP⊥平面ABC．求證：PA⊥BC．（學生先思考，教師作如下點撥）（1）什么叫做三角形垂心？（2）點O是△ABC的垂心可以得到什么結論？（3）可以考慮使用三垂線定理證明：你能找出本題中，應用三垂線定理必須涉及到的幾個重要元素？生：首先先確定一個平面——平面ABC，斜線是PA，PA在平面ABC上的射影是AD，∵AD垂直于BC，∴PA⊥BC．師：他的回答是否有缺漏？生：應該交代BC是平面ABC上的一條直線．師：對，這個交代是必需的?。ㄒ晫W生程度作適當補充，用教具演示，還可以舉反例說明．）證明：連接AO并延長交BC與D．師：三垂線定理是證明空間兩條直線互相垂直的重要方法，上面的示例反映了應用三垂線定理解題的一般步驟，即確定一個平面、平面的垂線、斜線和斜線在平面上的射影．同時要注意的是平面內(nèi)的一條直線和射影垂直，有這條直線和斜線垂直（定理）；平面內(nèi)的一條直線和斜線垂直，有這條直線和射影垂直（逆定理），同學們必須理解掌握．2．（見課本例1）如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上．⊥AC，PO⊥α，垂足分別是E、F、O，PE＝PF．求證：∠BAO＝∠CAO．（學生思考，教師作適當?shù)狞c撥．）（1）在平面幾何中，證明點在角的平分線上的常規(guī)方法是什么？（2）PE＝PF給我們提供了什么結論？（3）所缺的垂直關系可以用三垂線定理或逆定理證明，你能列出證明所需的條件嗎？證明：3．（課堂練習，師生共同完成．）如圖1-91，點P為平面ABC外一點，PA⊥BC，PC⊥AB，求證：PB⊥AC．分析：證明直線與直線垂直的問題，可以考慮三垂線定理及其逆定理，圖形中缺少的平面的垂線需要添加上去．證明：過P作平面ABC的垂線，垂足為O，連結AO、BO、CO．∵PA⊥BC，∴AO⊥BC（三垂線逆定理）．同理可證CO⊥AB，∴O是△ABC的垂心．∵OB⊥AC，∴PB⊥AC（三垂線定理）．（五）歸納小結，強化思想師：這節(jié)課，我們學習了三垂線定理及其逆定理，定理的證明方法是證明空間兩條直線互相垂直的基本方法，我們稱之為線面垂直法；還通過三個練習的訓練加深了定理的理解，同時得到立體幾何問題解決的一般思路．六、布置作業(yè)作為一般要求，完成習題四11、12、13．提高要求，完成以下兩個補充練習：1．如圖1-92，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求點P到直線BC的距離．參考答案：設BC的中點為D，連結PD．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．且AD＝12．又∵PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC．即PD的長度就是P到直線BC的距離．而PD＝13．2．（課后練習題2略作改變）如圖1-93，l是平面α的斜線，斜足是O，A是l上任意一點，AB是平面α的垂線，B是垂足，設OD是平面α內(nèi)與OB不同的一條直線，AC垂直于OD于C，若直線l與平面α所成的角θ＝45°，∠BOC＝45°，求∠AOC的大?。畢⒖即鸢福哼B結BC．中，有∠AOC＝60°．講評作業(yè)時說明：求角大小的問題，往往先確定（或構造）一個包含這個角的三角形，然后解三角形．由此，我們還驗證了∠AOC＞θ．《三垂線定理》課堂教學實錄（二）一、素質(zhì)教育目標（一）知識教學點三垂線定理及其逆定理的應用．（二）能力訓練點1．初步掌握三垂線定理及其逆定理應用的規(guī)律．2．善于在復雜圖形中分離出適用的直線用于解題．3．進一步培養(yǎng)學生的識圖能力、思維能力和解決問題的能力．（三）德育滲透點通過強化訓練滲透化繁為簡的思想和轉(zhuǎn)化的思想．二、教學重點、難點、疑點及解決方法1．教學重點：三垂線定理及其逆定理的應用規(guī)律．2．教學難點：對復雜圖形如何分離出符合定理的條件用以解題以及解決問題的能力的培養(yǎng)是教學的難點．三、課時安排本課題共安排2課時，本節(jié)課為第二課時．四、學生活動設計常規(guī)教學，教師課前設計好幻燈片，上課時講練結合，學生思考并記錄關鍵步驟，個別學生回答問題．五、教學步驟（一）溫故知新，引入課題師：上節(jié)課我們學習了三垂線定理及其逆定理，請一個同學來敘述一下定理的內(nèi)容．生：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．生：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直．（學生回答時，教師畫出圖形，板書如下：）并指出：a必須在平面α內(nèi)，但不一定經(jīng)過點O．師：從定理的結論看，三垂線定理及其逆定理是判斷直線和直線垂直的重要命題，在論證直線和直線垂直的問題中，我們常常用到它們．這節(jié)課，我們就來學習它們的應用．（二）解題訓練，提高能力例1Rt△ABC在平面α內(nèi)，∠C＝90°，AC＝16，P為α外一點，PA＝PB＝PC，如果P到BC的距離為17，求點P到平面α的距離．分析：求點到平面的距離，點到直線的距離，需要先作出這個距離，然后在適當?shù)娜切沃薪膺@個三角形，本題關鍵的問題是確定點P在平面a內(nèi)射影O的具體位置和直角三角形的外心性質(zhì)．解：作PO⊥平面α，∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC．∴O為Rt△ABC的外心．取BC中點D，連結PD、OD．則OD是△ABC中位線．由三垂線定理知PD⊥BC，即PD＝17，在Rt△ABC中，OP＝說明：這個例題通過三垂線定理證明直線與直線垂直，從而得到點到直線的距離，利用勾股定理解直角三角形是這類問題的常用方法．教師引導學生看書，并講解課本例題：（課本例2）道旁有一條河，彼岸有電塔AB，高15m，只有測角器和皮尺作測量工具，能否求出電塔頂與道路的距離？例2如圖1-96，在正方體AC1中，求證：（1）AC1⊥A1D．（2）AC1⊥平面A1BD．分析：本例關鍵在于引導學生觀察圖形變化時，如何正確運用三垂線定理．事實上，要證明AC1⊥A1D，滿足的射影所在平面是豎直位置的平面DA1，垂線是C1D1，斜線是AC1，射影是AD1．應當克服思維定勢給證題帶來的消極影響．教學時，教師先寫出第（1）小題的題目，讓學生思考，并畫出圖形，寫出證法要點，教師作個別指點．然后，讓一個學生板演，教師講評．接著教師再寫出第（2）小題的題目，讓全體同學觀察、思考．證明：（1）連結AD1，由正方形可得．∵AD1⊥A1D，C1D1⊥平面AD1，∴AC1⊥A1D．（2）由（1）AC1⊥A1D，同理可證：AC1⊥A1B．A1D∩A1B＝A1，∴AC1⊥平面A1BD．例3點P為平面ABC外一點，PA⊥BC，PC⊥AB，求證：PB⊥AC．證明：過P作PO⊥平面ABC于O，連結OA、OB、OC．例4長方體ABCD-A1B1C1D1中，P、O、R分別是AA1、BB1、BC上的點，PQ∥AB，C1Q⊥PR．求證：D1Q⊥QR．分析：PQ∥AB提供的結論是PQ⊥平面BB1C1C，又因為C1Q⊥PR，在平面BB1C1C上，利用三垂線逆定理，就可以得到RQ⊥QC1；又因為D1Q在平面BB1C1C上的射影是QC1，再在這個平面上利用三垂線定理，就可以得到結論．證明：∵PQ∥AB，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，得PQ⊥平面BB1C1C，PR是平面BB1C1C的斜線，RQ是斜線PR在平面BB1C1C上∴RQ⊥QC1．又∵D1C1⊥平面BB1C1C，D1Q是平面BB1C1C的斜線，QC1是∴D1Q⊥QR．說明：本題運用了三垂線定理及其逆定理，探討了直線與直線垂直關系的轉(zhuǎn)換，圖形中直線位置關系較為復雜，而且射影面也非常規(guī)位置，學生可能無法輕易看出，教師應當適當引導．（五）歸納小結，強化思想師：這節(jié)課，我們學習了三垂線定理及其逆定理的一些應用．六、布置作業(yè)（復習參考題一）8、9．補充：1．正三角形ABC的邊長為a，AD⊥BC于D，沿AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，求折起后點B到AC的距離．解答：作BE⊥AC于E，連結DE．∵