2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題：圓（原卷版）

專題09圓

易錯(cuò)點(diǎn)1：圓中的平行弦

易錯(cuò)點(diǎn)2:垂徑定理

易錯(cuò)點(diǎn)3:弧、弦、圓心角關(guān)系

/

易錯(cuò)點(diǎn)4:圓心角

易錯(cuò)點(diǎn)5:圓周角

易錯(cuò)點(diǎn)6:點(diǎn)與圓位置關(guān)系

易錯(cuò)點(diǎn)7:直線與圓位置關(guān)系

易錯(cuò)點(diǎn)8:三角形的外接圓

易錯(cuò)點(diǎn)9:三角形的內(nèi)切圓

易錯(cuò)點(diǎn)10：切線的性質(zhì)與判定

易錯(cuò)點(diǎn)11：圓內(nèi)接四邊形

易錯(cuò)點(diǎn)12:正多邊形與圓

易錯(cuò)點(diǎn)13:弧長(zhǎng)和扇形面積

易錯(cuò)點(diǎn)14:圓與三角形結(jié)合

易錯(cuò)點(diǎn)15:圓與四邊形結(jié)合

易錯(cuò)點(diǎn)16:圓與一次函數(shù)結(jié)合

易錯(cuò)點(diǎn)17:圓與反比例函數(shù)結(jié)合

易錯(cuò)點(diǎn)18:圓與二次函數(shù)結(jié)合

易錯(cuò)點(diǎn)19:圓與相似結(jié)合

易錯(cuò)點(diǎn)20:圓與三角函數(shù)結(jié)合

易錯(cuò)點(diǎn)21:圓的新定義

易錯(cuò)點(diǎn)22:圓的無(wú)刻度尺作圖

易錯(cuò)點(diǎn)23:阿基米德折線定理

易錯(cuò)點(diǎn)24:阿氏圓

易錯(cuò)點(diǎn)25:秦九韶一海倫公式

易錯(cuò)點(diǎn)26:托勒密定理

圓專題

易錯(cuò)點(diǎn)：

1.對(duì)圓的定義理解不清：學(xué)生可能會(huì)混淆圓的定義，認(rèn)為所有的曲線都是圓，或者認(rèn)為圓只能由圓心和一

個(gè)點(diǎn)確定。實(shí)際上，圓是由一個(gè)固定點(diǎn)（圓心）和所有到該點(diǎn)距離相等的點(diǎn)組成的集合。

2.對(duì)圓的性質(zhì)理解不透徹：例如，學(xué)生可能不理解為什么圓的周長(zhǎng)和面積與半徑有關(guān)，或者為什么直徑是

圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦。

3.對(duì)圓的對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)性理解不足：學(xué)生可能無(wú)法正確理解和應(yīng)用圓的對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)性，這會(huì)影響他們解

決與圓相關(guān)的問(wèn)題。

4.計(jì)算錯(cuò)誤：在進(jìn)行圓的周長(zhǎng)、面積、圓弧長(zhǎng)度等計(jì)算時(shí)，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。這可能是由于對(duì)公

式理解不清，或者計(jì)算技能不熟練導(dǎo)致的。

5.忽視單位：在進(jìn)行圓的計(jì)算時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽視單位的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。例如，他們可能會(huì)將半

徑的單位誤認(rèn)為是厘米，而實(shí)際上應(yīng)該是米或毫米。

6.對(duì)圓與其他幾何圖形的關(guān)系理解不清：例如，學(xué)生可能無(wú)法理解為什么圓與直線、其他圓、三角形等幾

何圖形之間的關(guān)系會(huì)影響圓的性質(zhì)。

7.對(duì)圓心角與弧長(zhǎng)的關(guān)系理解不足：學(xué)生可能會(huì)混淆圓心角與弧長(zhǎng)的關(guān)系，無(wú)法正確地將它們聯(lián)系起來(lái)。

實(shí)際上，弧長(zhǎng)與圓心角之間的關(guān)系是通過(guò)圓的半徑來(lái)建立的，弧長(zhǎng)等于圓心角（以弧度為單位）與半徑的

乘積。

8.對(duì)圓的切線理解不清：切線是與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線。學(xué)生可能會(huì)對(duì)切線的性質(zhì)感到困惑，例如切線

與半徑垂直、切線長(zhǎng)定理等。

9.對(duì)圓的內(nèi)接和外接多邊形理解不足：在學(xué)習(xí)多邊形與圓的關(guān)系時(shí)，學(xué)生可能會(huì)對(duì)內(nèi)接多邊形和外接多邊

形的概念感到混淆，無(wú)法正確理解它們的性質(zhì)。

10.忽視圖形的動(dòng)態(tài)變化：在處理與圓相關(guān)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題時(shí)，如滾動(dòng)圓、旋轉(zhuǎn)圓等，學(xué)生可能會(huì)忽視圖形的動(dòng)

態(tài)變化，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。

易錯(cuò)點(diǎn)1：圓中的平行弦

例：0。的半徑是10,弦4B=16,CD=12,則弦與CD的距離是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

變式1：在圓中兩條平行弦的長(zhǎng)分別6和8,若圓的半徑為5,則兩條平行弦間的距離為

變式2：如圖，在。。中，AB是。。的直徑，AC^AD,48交CD于E,直徑CM交/。于N,連接

DM.

⑴求證：AB//DM；

⑵若。￡=4,ON=2,求。。的半徑.

易錯(cuò)點(diǎn)2：垂徑定理

例：如圖，為的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E,BC=BD,NCDB=3Q。，AC=2日則?！?()

變式1：如圖，為。。的弦，。為。。上一點(diǎn)，于點(diǎn)。.若=麗，AB=6,則

cosZAOD=

變式2：如圖，正方形48C。內(nèi)接于O。，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接CE交AD于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)CE交。。于點(diǎn)G,

連接8G.

(1)求證：FB-=FE-FG

(2)若/8=10,求必和EG的長(zhǎng).

易錯(cuò)點(diǎn)3：弧、弦、圓心角關(guān)系

例：如圖，在。。中，是。。的直徑，ND4c=20。，弦CD=CB,則乙4DC=(

B.110°C.120°D.150°

變式1：如圖，在O。中，AB=AC,點(diǎn)尸為直徑2。上一點(diǎn)，連接CF并延長(zhǎng)交45于點(diǎn)G,交。。于點(diǎn)￡,

^AG=AF,BG=4,GF=6,則NB的長(zhǎng)為.

變式2：如圖，在中，ZC=90°,DM=DE,DEJ.4D交AB于點(diǎn)E,/E為。。的直徑，DFLAB.

⑴求證：ACAD=ADAB；

⑵若DW平分/4DC,求/C4D的度數(shù)；

(3)若ND=3Z)=6cm,求圖中陰影部分的面積.

易錯(cuò)點(diǎn)4：圓心角

例：如圖，/BCD是。。的弦，延長(zhǎng)/BCD相交于點(diǎn)￡,已知NE=30。，ZAOC=100°,則防的度數(shù)

C.40°D.30°

變式1：已知N/PE,有一量角器如圖擺放，中心。在尸N邊上，CM為0。刻度線，08為180?？潭染€，角

的另一邊PE與量角器半圓交于C,。兩點(diǎn)，點(diǎn)C,。對(duì)應(yīng)的刻度分別為160。，68°,則

變式2：如圖，已知A8是。。的直徑，點(diǎn)。是半圓中點(diǎn)，點(diǎn)C是劣弧曲上的一點(diǎn).

JT

(1)在圖①中，ZDAC=15°,劣弧8c長(zhǎng)為求48的長(zhǎng)；

(2)在圖②中，點(diǎn)C是應(yīng))中點(diǎn)，與/C交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在弦/C上，S.AF=DF,若DC=2,求ZC的

長(zhǎng).

易錯(cuò)點(diǎn)5：圓周角

例：如圖，已知是OO的直徑，點(diǎn)C、。分別在兩個(gè)半圓上，若過(guò)點(diǎn)C的切線與N8的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,

則/。與/￡的數(shù)量關(guān)系是（）

A.ZD+ZE=90°B.ND+2NE=180°

C.2ND-NE=90°D.2N￡)+N￡=180°

變式1:如圖，AASC內(nèi)接于OO,/ABC=70。，過(guò)點(diǎn)A的切線與CO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，則ND=

變式2：如圖，內(nèi)接于O。，AB=AC,。是衣上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE〃/。，交BD于點(diǎn)、E.

⑴求證：DC=DE；

(2)若/8=10,BC=4小,BE=6.

①求4D的長(zhǎng)；

②CD的長(zhǎng)為.

易錯(cuò)點(diǎn)6：點(diǎn)與圓位置關(guān)系

例：如圖，在Rt^ABC中，NB=90°,AB=4,BC=7,點(diǎn)D在邊BC上,且50=3,連接/D.以點(diǎn)。為

圓心，以r為半徑畫圓，若點(diǎn)/,B,C中只有1個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，則r的值可能為()

A

A.3B.4C.5D.6

變式1：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們定義點(diǎn)/(xj)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為8(x+y,x-y).如果已知點(diǎn)A在直線

＞=x+3上，點(diǎn)3在。。的內(nèi)部，OO的半徑長(zhǎng)為3亞(如圖所示)，那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x的取值范圍

變式2：在平面直角坐標(biāo)系xQy中，。為原點(diǎn)，對(duì)于兩個(gè)圖形X,y和直線＞=加，若在圖形X上存在點(diǎn)/,

在圖形y上存在點(diǎn)瓦使得點(diǎn)/和點(diǎn)B關(guān)于直線＞="，對(duì)稱，就稱圖形X和y互為機(jī)關(guān)聯(lián)圖形.

⑴已知點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,3）,

①點(diǎn)P與點(diǎn)?；?1關(guān)聯(lián)圖形，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為」

②若。。的半徑為1,點(diǎn)P與。?；椤?關(guān)聯(lián)圖形，則加的值為」

⑵己知點(diǎn)“（3,4）,射線04與線段/：>=-2（74x42）互為/關(guān)聯(lián)圖形，求才的取值范圍.

（3）已知。。的半徑為2,直線y=gx-l與x軸，y軸分別交于C,D,若。。關(guān)于了=加對(duì)稱的圖形S與點(diǎn)

C互為2m關(guān)聯(lián)圖形，直接寫出m的值及點(diǎn)。與圖形S的位置關(guān)系.

易錯(cuò)點(diǎn)7：直線與圓位置關(guān)系

例：在中，ZC=90°,4=60。，BC=4.若0c與相離，則半徑為廠滿足（）

C.0<r<2D.0<r<273

變式1：如圖，直線AB、5相交于點(diǎn)O,ZAOD=30°,半徑為2cm的。尸的圓心在直線4g上，且位于

點(diǎn)。左側(cè)的距離6cm處.如果。尸以Icm/s的速度沿由/向8的方向移動(dòng)，那么秒鐘后。尸

與直線CD相切.

變式2：在平面直角坐標(biāo)系無(wú)Oy中，點(diǎn)尸（演,九）到直線及+與+。=0（1+5230）的距離公式為:

d=|/x+為,例如，求點(diǎn)打1,3）到直線4x+3y-3=0的距離.解：由直線4x+3y-3=0知：A=4,

+32

|4xl+3x3-3|

B=3C=一3所以P（L3）到直線4x+3y-3=0的距離為:d二=2根據(jù)以上材料，解決下列

A/42+32

問(wèn)題:

3

（2）己知：0c是以點(diǎn)C（2,l）為圓心，1為半徑的圓，0c與直線＞=-^^+方相切，求實(shí)數(shù)6的值；

（3）如圖，設(shè)點(diǎn)尸為問(wèn)題2中OC上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A,B為直線3x+4y+5=0上的兩點(diǎn)，且48=2,請(qǐng)求

出尸面積的最大值和最小值.

易錯(cuò)點(diǎn)8：三角形的外接圓

例：如圖，已知E是“3C的外心，P、0分別是48、NC的中點(diǎn)，連接EP、交BC于點(diǎn)RD,若BF=5,

DF=3,CD=4,則的面積為（）

A.18B.24C.30D.36

變式1：如圖，AD是AJBC的外角N48E的平分線，外接圓的圓心。為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)。8,/C交

于點(diǎn)?若NA4C=30。，BF=6,則AABC的周長(zhǎng)為

變式2：如圖，已知三角形。8C中，AB=AC,。是23C的外接圓劣弧/C上的點(diǎn)（不與點(diǎn)/,C重合）,

延長(zhǎng)3。至E.

A

E

（1）求證：ND的延長(zhǎng)線平分NCDE

（2）若NA4c=30。，28C中8C邊上的高為2+VJ,求外接圓的面積

易錯(cuò)點(diǎn)9：三角形的內(nèi)切圓

例：如圖，已知中，ZC=70°,45=10,內(nèi)切圓。。半徑為3,則圖中陰影部分面積和是（）

“25

71C.20-----JiD.20——兀

44

變式1:如圖，“3C的內(nèi)切圓OO與AB,3c分別相切于。，E兩點(diǎn)，連接?！?40的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)

F,若N4C2=70。，則N4TO的大小是

變式2：學(xué)校要舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，九（1）班同學(xué)正在準(zhǔn)備各種道具，小聰同學(xué)現(xiàn)有一塊三角形的紙片，要在三

角形紙片中截下一塊圓形紙片做道具，要求截下的圓與三角形的三條邊都相切.小聰用A,B,C表示三角

形紙片的三個(gè)頂點(diǎn)（如圖1）.請(qǐng)你按要求完成:

c

圖1

⑴尺規(guī)作圖：在圖1中找出圓心點(diǎn)o(要求：保留作圖痕跡，標(biāo)明字母，不寫作法)；

(2)若紙片三邊長(zhǎng)分別是：BC=8,AC=6,23=10,O。與邊N3,BC,C4分別相切于點(diǎn)。，E,F(如

圖2),求小聰截得的圓形道具的面積.

圖2

易錯(cuò)點(diǎn)10：切線的性質(zhì)與判定

例：如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)。為圓心，半徑為4的圓與y軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)/(&4)是圓外一點(diǎn)，直

ACAD=22.5°,AB=2亞,則。E的長(zhǎng)為.

c

變式2：如圖，在。O中，AABC內(nèi)接OO,連接08,作/B4D=/C交03延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

(1)求證：為。。的切線；

(2)若tanC=；,OB=45,求8。的長(zhǎng).

易錯(cuò)點(diǎn)11：圓內(nèi)接四邊形

例：如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于。。，/C為。。的直徑，。為弧/C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DEL3C于點(diǎn)E,

若BE=CCE,則NR4。等于()

A.100°B.120°C.135°D.150°

變式1:如圖，四邊形48co為。。的內(nèi)接四邊形，。8平分44。。,4。為0。的直徑，若/。4。=60。,/5=2,

則AD的長(zhǎng)為

D

AC

O

B

變式2:如圖，圓內(nèi)接四邊形4BCD的對(duì)角線/C,8。交于點(diǎn)E,BD平分/ABC,NBAC=NADB.

(1)求證：DB平分NADC,并求/氏4。的大小;

(2)過(guò)點(diǎn)C作CF〃/。交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.若/C=4D,BF=2,求此圓半徑的長(zhǎng).

易錯(cuò)點(diǎn)12：正多邊形與圓

例：我們知道，五邊形具有不穩(wěn)定性，正五邊形O/3CD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖1所示，N在x

軸負(fù)半軸上，固定邊4。，將正五邊形向右推，使點(diǎn)aB,C共線，且點(diǎn)C落在了軸上，如圖2所示，此

時(shí)的度數(shù)為()

A.108°B.120°C.135°D.150°

變式1：如圖，點(diǎn)。是正五邊形48cDE和正三角形/FG的中心，連接4D,E尸交于點(diǎn)P,則//PE的度

數(shù)為_(kāi)_____

A

⑴若尸是函上的動(dòng)點(diǎn)，連接8P,尸P,求/AP廠的度數(shù);

(2)已知AADF的面積為26.

①求b的度數(shù)；

②求O。的半徑.

易錯(cuò)點(diǎn)13：弧長(zhǎng)和扇形面積

例：如圖，在平行四邊形/BCD中，AD=6,以/。為直徑的。。恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,交.BC于點(diǎn)、E,當(dāng)點(diǎn)E為

麗的中點(diǎn)時(shí)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

_973-71

B.

?陰影_2

D.而的長(zhǎng)為2兀

變式1：如圖，扇形/O3中，NAOB=9Q°,點(diǎn)、C,。分別在04部上，連接BC,CD,點(diǎn)、D,。關(guān)于直線8c

對(duì)稱，益的長(zhǎng)為兀，則圖中陰影部分的面積為

變式2：如圖，在RtZ\/3C中，ZC=90°,平分/A4C,交3C于點(diǎn)。，。是邊上的點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

。的O。交于點(diǎn)E.

⑴求證：BC是。。的切線;

（2）若N5=30。，BDf.

①求OE的長(zhǎng)；

②求陰影部分的面積.

易錯(cuò)點(diǎn)14：圓與三角形結(jié)合

例：如圖，已知直線歹=^1—3,與X軸、y軸分別交于A、3兩點(diǎn)，。是以。（0,1）為圓心，1為半徑的圓

上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸4、PB,貝鼠尸45面積的最大值為（）

A.11.5B.11C.10.5D.10

變式1：如圖，線段45是的直徑，弦于點(diǎn)“，點(diǎn)〃是弧上任意一點(diǎn)（不與3,C重合），AH=\,

CH=2.延長(zhǎng)線段9交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,直線MH交。。于點(diǎn)N,連結(jié)BN交CE于點(diǎn)F,則

OC=,HE,HF=

E

變式2：如圖，在“3C中，AB=AC,以ZC為直徑的。。交3C于點(diǎn)。，交A4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接

AD,CE,DE.

(1)求證：NBAD=NCED；

24

(2)若C0=2O,tan/CDE=^-,求的長(zhǎng).

易錯(cuò)點(diǎn)15：圓與四邊形結(jié)合

例：如圖，正方形N3C。中，E為AB上一點(diǎn)、,4FLDE于點(diǎn)、F,已知。尸=4斯=4,過(guò)C、D、尸的O。

與邊AD交于點(diǎn)G,則。G=()

A.2B.y/5C.V6D.V7

變式1：如圖，在矩形48。中，點(diǎn)E在N。邊上，AE=4ED,AB的中垂線分別交BE,8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

N.MBC=CN,。。為△2NH■的外接圓，CF//BE,交。。于點(diǎn)尸，于點(diǎn)M(FAICBC),若FM=20,

則；矩形/BCD的周長(zhǎng)為

變式2：圓內(nèi)接四邊形若有一組鄰邊相等，則稱之為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形.

⑴如圖1,四邊形為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，AD=CD,ZADC=6Q°,則：

(2)如圖2,四邊形/BCD內(nèi)接于OO,為OO的直徑，4B=10,AC=6,若四邊形48co為等鄰邊圓

內(nèi)接四邊形，求C。的長(zhǎng);

(3)如圖3,四邊形/BCD為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，BC=CD,為OO的直徑，且48=48.設(shè)8C=x,

四邊形/BCD的周長(zhǎng)為了，試確定了與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出了的最大值.

易錯(cuò)點(diǎn)16：圓與一次函數(shù)結(jié)合

3

例：如圖，。加的圓心M在一次函數(shù)y=1X+3位于第一象限中的圖象上，?！迸cy軸交于C、。兩點(diǎn),

若。M與x軸相切，且CD=2而，則。河半徑是()

變式1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于43兩點(diǎn),

點(diǎn)尸在線段上，。尸與x軸交于/、C兩點(diǎn)，當(dāng)。尸與y軸相切時(shí)，/C的長(zhǎng)度是.

變式2：如圖，一次函數(shù)y=+6的圖像與X軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)/卜26,0）,與V軸的正半軸相交于點(diǎn)8,

△CUB的外接圓的圓心為點(diǎn)C.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求NR4。的大??；

（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號(hào)）.

易錯(cuò)點(diǎn)17：圓與反比例函數(shù)結(jié)合

例：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，以43為直徑的O。與x軸交于點(diǎn)C,連接8C交V軸交于點(diǎn)。（0,1）,

ZCBO=30°,反比例函數(shù)y=4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,則左的值為（）

X

A.--B.--C.--D.-1

444

變式1：如圖，一次函數(shù)>=2x與反比例函數(shù)>=幺（4>0）的圖象交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)M在以C（4,0）為圓心,

半徑為2的OC上，N是線段5M的中點(diǎn)，已知ON長(zhǎng)的最大值為3,則左的值是.

變式2：如圖，點(diǎn)尸是反比例函數(shù)y="(x<0)圖象上一點(diǎn)，P4_Lx軸于點(diǎn)/,點(diǎn)/在y軸上，G>M過(guò)點(diǎn)/,

x

與y軸交于2、D,已知/、3兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為-6,0)，5(0,2),總的延長(zhǎng)線交。M于另一點(diǎn)C.

⑴求。M的半徑的長(zhǎng)；

⑵當(dāng)N4PB=45。時(shí)，試求出左的值；

(3)在(2)的條件下，請(qǐng)求出線段PC的長(zhǎng).

易錯(cuò)點(diǎn)18：圓與二次函數(shù)結(jié)合

例：如圖，AB=5,。是的中點(diǎn)，尸是以點(diǎn)。為圓心，Z8為直徑的半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)尸與點(diǎn)/,B

可以重合)，連接B4,過(guò)P作尸于點(diǎn)設(shè)4P=x,AP-AM^y,則下列圖象中，能表示y與x

的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是()

p.

AMOB

A.二次函數(shù)B.一次函數(shù)C.正比例函數(shù)D.以上都不對(duì)

變式1:如圖，二次函數(shù)了=/-4與x軸交于43兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)3左邊)，與N軸交于C點(diǎn)，若點(diǎn)。坐標(biāo)

為(0,2),以。點(diǎn)為圓心，R為半徑作圓，P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最小為5時(shí)，則7?=.

變式2：如圖，二次函數(shù)夕=-3/+6無(wú)+。與x軸的一個(gè)交點(diǎn)/的坐標(biāo)為(-3,0),以點(diǎn)N為圓心作圓/,與

該二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)5,C,點(diǎn)8,。的橫坐標(biāo)分別為-2,-5,連接N3,AC,并且滿足N8工/C.過(guò)

點(diǎn)3作無(wú)軸于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C作CNLx軸于點(diǎn)N.

(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)2作直線2。，在/點(diǎn)右側(cè)與x軸交于點(diǎn)。，與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E,使得乙4DB=N4BM,

連接ZE,求證：AE=AD

⑶若直線了=履+1與圓/相切，請(qǐng)求出發(fā)的值.

易錯(cuò)點(diǎn)19：圓與相似結(jié)合

例：如圖，內(nèi)接于。。，且/C=3C,/。的延長(zhǎng)線交3C于點(diǎn)E,若“BE與"8C相似，則乙13C=

().

變式1:如圖，AB、OE是。。的直徑，點(diǎn)。在。。上，448c=20。，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蚶@圓心

。旋轉(zhuǎn)1°(0<a<180),當(dāng)&=時(shí)，直徑。E在“3C中截得的三角形與相似.

變式2：如圖1,在“3C中，CD為高,/8=10,8c=2而，BD=2,E,廳線段4D,C。上的兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，且AE=DF,連接EF.

⑴/C=；

(2)在￡、廠的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△NDC與△￡)斯相似時(shí)，求?！甑闹?；

⑶如圖2,若以點(diǎn)。為圓心，的長(zhǎng)為半徑作半圓D.

①當(dāng)半圓。與NC邊相切時(shí)，求/E的長(zhǎng)；

②當(dāng)半圓。與線段8C只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出/E長(zhǎng)的取值范圍.

易錯(cuò)點(diǎn)20：圓與三角函數(shù)結(jié)合

例：如圖，已知4(1,0),8為雙曲線y=9(x>0)上的一點(diǎn)，cos/l=YZ,C為y軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

x2

352

變式1：如圖，在正方形48C。中，N分別是48,CD的中點(diǎn)，尸是線段ACV上的一點(diǎn)，8P的延長(zhǎng)線交4D

于點(diǎn)E,連接尸2PC,將繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得AGEP,則下列結(jié)論：①CP=GP,②tan/CG尸=1；

③BC垂直平分尸G；④若=4,點(diǎn)￡在/。邊上運(yùn)動(dòng)，貝1]￡),尸兩點(diǎn)之間距離的最小值是3VL其中結(jié)

2

論正確的序號(hào)有.

變式2：如圖，線段AS是。。的直徑，弦CDLNB于點(diǎn)〃，點(diǎn)M是改上任意一點(diǎn)，AH=2,CH=4.

(2)求sin/CMD

(3)直線由/交直線CD于點(diǎn)E,直線V交。。于點(diǎn)N,連接3N交CE于點(diǎn)尸，求AE-HF的值

易錯(cuò)點(diǎn)21：圓的新定義

例：定義：一個(gè)圓分別與一個(gè)三角形的三條邊各有兩個(gè)交點(diǎn)，且所截得的三條弦相等，我們把這個(gè)圓叫作

“等弦圓”?現(xiàn)有一個(gè)斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，當(dāng)“等弦圓”最大時(shí)，這個(gè)圓的半徑為（）

/y

A.—B.2—5/2C.y/2—1D.2V2—2

2

變式1：對(duì)于。尸及一個(gè)矩形給出如下定義：如果。月上存在到此矩形四個(gè)頂點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)，那么稱。尸

是該矩形的“等距圓”.如圖，在平面直角坐標(biāo)系工帆中，矩形的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,6）,頂點(diǎn)。、。在

x軸上，&OC=OD.若矩形45CQ的“等距圓”。尸始終在矩形內(nèi)部（含邊界），則O尸的半徑一的取值范

圍是_.

舛

B6

5

4

3

2

1

,ClD.

-6-5-4-3-2-\O-56x

變式2：在平面直角坐標(biāo)系X。、中，對(duì)于任意三點(diǎn)凡S,〃給出如下定義：三點(diǎn)中橫坐標(biāo)的最大值與最小值

的差我們稱為“橫距”；三點(diǎn)中縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差我們稱之為“縱距”：若三點(diǎn)的橫距與縱距相等，

我們稱這三點(diǎn)為“等距點(diǎn)

已知：如圖，點(diǎn)力（T2）,點(diǎn)5（1,-1）.

⑴在￡（3,4）,尸（2,—4）,G（-3,-2）中,與點(diǎn)45為等距點(diǎn)的是

⑵點(diǎn)P（f,o）為X軸上一動(dòng)點(diǎn)，若4B,尸三點(diǎn)為等距點(diǎn)，求f的值；

（3）已知點(diǎn)。（3,0）,有一半徑為1,圓心為（0,相）的。若。M上存在點(diǎn)。，使得4D,。三點(diǎn)為等距點(diǎn),

直接寫出用的取值的范圍.

易錯(cuò)點(diǎn)22：圓的無(wú)刻度尺作圖

例：在A43C中，//=50。，/8=60。，根據(jù)以下圓規(guī)作圖的痕跡，只用無(wú)刻度直尺能正確找到A48c的

外心的是（）

變式1：在邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，C、B、。在格點(diǎn)上，5。與圓交于/、B,請(qǐng)按下面要求完成解答:

（1）DB=.

（2）請(qǐng)用無(wú)刻度直尺，畫出4?弧的中點(diǎn)E,保留作圖痕跡，并寫出畫法.

變式2：如圖，在12x9正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).5,C為格點(diǎn)，以線段3C為直徑的。。

交縱向格線于/點(diǎn)，連接NAAC,僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求作圖，畫圖過(guò)程用虛線表示，畫

圖結(jié)果用實(shí)線表示.

(1)在圖1中作出圓心。;

(2)在圖1中作AD平分ZBAC交。。于。點(diǎn):

(3)在圖1中作48繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的線段;

(4)在圖2的。。中作弦=48.

易錯(cuò)點(diǎn)23：阿基米德折線定理

例：阿基米德折弦定理：如圖1,NB與3C是的兩條弦(即折線43C是圓的一條折弦)，4B>BC,點(diǎn)、

M是有的中點(diǎn)，MNLAB于■點(diǎn)、N,則點(diǎn)N是折弦/8C的中點(diǎn)，即4N=BN+BC.如圖2,半徑為4的

圓中有一個(gè)內(nèi)接矩形/BO/8>8C,點(diǎn)M是疵的中點(diǎn)，MNLAB于點(diǎn)、N,若矩形ABC。的面積為

圖1圖2

A.娓B.2^2C.y[26—y/6D.—

變式1：阿基米德折弦定理：如圖1,和3c是OO的兩條弦(即折線/3C是圓的一條折弦)，BC>AB,

W是弧48C的中點(diǎn)，則從〃■向8c所作垂線的垂足。是折弦A8C的中點(diǎn)，即CD=/8+8。.請(qǐng)應(yīng)用阿基

米德折弦定理解決問(wèn)題：如圖2,已知等邊“BC內(nèi)接于。0,48=10,。為。。上一點(diǎn)，ZABD=45°,

AELBD于點(diǎn)、E,則ABDC的周長(zhǎng)是

A

A

圖1圖2

變式2：綜合運(yùn)用：

【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理:如圖1,N8和8C是。。的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），BC>AB,

點(diǎn)M是％芯的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足。是折弦48c的中點(diǎn)，即下面是運(yùn)用

“截長(zhǎng)法”證明CD=3D+A4的部分證明過(guò)程.

證明：如圖2,在CD上截取CG=48,連接M4、MB、和MG,

是方心的中點(diǎn)，

-"-MA=MC>

：.MA=MC（相等的弧所對(duì)的弦相等），

又=NC（同弧所對(duì)的圓周角相等），

AMAB^AMCG,：.MB=MG,

又，：MDLBC,：.BD=DG,：.AB+BD=CG+DG,^CD=BD+BA.

MMA

C

DG7B

（1）【理解運(yùn)用】如圖1,AB、BC是OO的兩條弦，48=8,BC=12,點(diǎn)M是％前的中點(diǎn)，Affl,3c于

點(diǎn)。，則8。的長(zhǎng)為;

（2）【變式探究】如圖3,若點(diǎn)M是公的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、BD、A4之間存

在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；

（3）【實(shí)踐應(yīng)用】根據(jù)你對(duì)阿基米德折弦定理的理解完成下列問(wèn)題：

如圖4,8c是。。的直徑，點(diǎn)4圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)。圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足/CUC=45。，若A8=12,的

半徑為10,求/。長(zhǎng).

易錯(cuò)點(diǎn)24：阿氏圓

例：如圖，矩形/BCD中，AB=4,AD=2,以B為圓心，以為半徑畫圓交邊于點(diǎn)E,點(diǎn)P是弧CE

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)尸。,取，則!工尸+。尸的最小值為（）

2

A.VioB.Vilc.V13D.V14

變式1：已知：等腰Rt4/BC中，ZACB=90°,AC=BC=4,。是48上一點(diǎn)，以。為圓心的半圓與/C、

均相切，P為半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連PC、PB,如圖，貝|尸。+交P3的最小值是

2

變式2：閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù).阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga）,古希臘人（公元前262-190

年），數(shù)學(xué)家，寫了八冊(cè)圓錐曲線論著，其中有七冊(cè)流傳下來(lái)，書中詳細(xì)討論了圓錐曲線的各種性質(zhì)，阿波

羅尼斯圓是他的論著中一個(gè)著名的問(wèn)題.一動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A,8的距離之比等于定比〃?：〃，則點(diǎn)尸的軌跡

是以定比機(jī)：〃（相："*1）內(nèi)分和外分線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱

“阿氏圓”.

PAvyt

如圖1,點(diǎn)A,5為兩定點(diǎn)，點(diǎn)尸為動(dòng)點(diǎn)，滿足==—，點(diǎn)M在線段45上，點(diǎn)N在的延長(zhǎng)線上且

PBn

MANAmm,

一wl，則點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是以兒w為直徑的圓.

n

下面是“阿氏圓”的證明過(guò)程（部分）：

過(guò)點(diǎn)8作8。///尸交尸M的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

=ZABD,ZAPM=ZBDM.

：.AAPMsABDM.

.PA_MA

"BD~MB'

..MAmPA

*MB~n~PB1

.PAPA

??而一而.

BD=BP.

???/BPD=ZBDP.

JNAPD=/BPD.

NAPA

如圖2,在圖1（隱去A?,BD）的基礎(chǔ)上過(guò)點(diǎn)B作BE〃尸N交NP于點(diǎn)E,可知——=——，

NBPE

任務(wù)：

(1)判斷尸N是否平分/8PC,并說(shuō)明理由；

(2)請(qǐng)根據(jù)上面的部分證明及任務(wù)(1)中的結(jié)論，完成“阿氏圓”證明的剩余部分；

(3)應(yīng)用：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，/(-2,0),5(1,0),PA=2PB,則點(diǎn)尸所在圓的圓心坐標(biāo)為

易錯(cuò)點(diǎn)25：秦九韶一一海倫公式

例：《數(shù)書九章》是我國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a,b,c求面積

的公式S=&.若三角形的三邊詼3c分別為7,6,3,則這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半

徑是()

.45RV5RA/TOnVio

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