2024-2025學年高中數(shù)學第一章計數(shù)原理1.2.2第1課時組合與組合數(shù)公式跟蹤訓練含解析新人教A版選修2-3

PAGE第1課時組合與組合數(shù)公式[A組學業(yè)達標]1．給出下列問題：①從甲、乙、丙3名同學中選出2名分別去參與兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調查，有多少種不同的選法？②有4張電影票，要在7人中確定4人去觀看，有多少種不同的選法？③某人射擊8槍，擊中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，則不同的結果有多少種？其中屬于組合問題的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：①與依次有關，是排列問題；②③均與依次無關，是組合問題．答案：C2．計算：Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)＝()A．120 B．240C．60 D．480解析：Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)＝eq\f(7×8,2×1)＋eq\f(6×7×8,3×2×1)＋eq\f(8×9,2×1)＝120.答案：A3．某校開設A類選修課3門，B類選修課5門，一位同學要從中選3門．若要求兩類課程中各至少選1門，則不同的選法共有()A．15種 B．30種C．45種 D．90種解析：分兩類，A類選修課選1門，B類選修課選2門，或者A類選修課選2門，B類選修課選1門，因此，共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,5)＝45(種)選法．答案：C4．方程Ceq\o\al(x,14)＝Ceq\o\al(2x－4,14)的解集為()A．{4} B．{14}C．{4,6} D．{14,2}解析：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x－4，,2x－4≤14，,x≤14，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝14－2x－4，,2x－4≤14，,x≤14，))解得x＝4或6.答案：C5．異面直線a，b上分別有4個點和5個點，由這9個點可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是()A．20 B．9C．Ceq\o\al(3,9) D．Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)解析：分兩類：第一類，在直線a上任取一點，與直線b可確定Ceq\o\al(1,4)個平面；其次類，在直線b上任取一點，與直線a可確定Ceq\o\al(1,5)個平面．故可確定Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)＝9個不同的平面．答案：B6．某班級要從4名男生、2名女生中派4人參與某次社區(qū)服務，假如要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為________．解析：法一：分類完成．第1類，選派1名女生、3名男生，有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,4)種選派方案；第2類，選派2名女生、2名男生，有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,4)種選派方案．故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,4)＝14(種)不同的選派方案．法二：6人中選派4人的組合數(shù)為Ceq\o\al(4,6)，其中都選男生的組合數(shù)為Ceq\o\al(4,4)，所以至少有1名女生的選派方案有Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(4,4)＝14(種)．答案：147．有4名男醫(yī)生、3名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成1個醫(yī)療小組，則不同的選法共有________種．解析：從4名男醫(yī)生中選2人，有Ceq\o\al(2,4)種選法，從3名女醫(yī)生中選1人，有Ceq\o\al(1,3)種選法．由分步乘法計數(shù)原理知，所求選法種數(shù)為Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＝18.答案：188．不等式Ceq\o\al(2,n)－n＜5的解集為________．解析：由Ceq\o\al(2,n)－n＜5，得eq\f(nn－1,2)－n＜5，∴n2－3n－10＜0.解得－2＜n＜5.由題設條件知n≥2，且n∈N*，∴n＝2,3,4.故原不等式的解集為{2,3,4}．答案：{2,3,4}9．(1)解方程：Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)；(2)解不等式：Ceq\o\al(x－1,8)＞3Ceq\o\al(x,8).解析：(1)原方程等價于m(m－1)(m－2)＝6×eq\f(mm－1m－2m－3,4×3×2×1)，∴4＝m－3，解得m＝7.(2)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≤8，,x≤8，))∴x≤8，且x∈N*，∵Ceq\o\al(x－1,8)＞3Ceq\o\al(x,8)，∴eq\f(8！,x－1！9－x！)＞eq\f(3×8！,x！8－x！).即eq\f(1,9－x)＞eq\f(3,x)，∴x＞3(9－x)，解得x＞eq\f(27,4)，∴x＝7,8.∴原不等式的解集為{7,8}．10．某餐廳供應飯菜，每位顧客可以在餐廳供應的菜肴中任選2葷2素共4種不同的品種．現(xiàn)在餐廳打算了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上不同的選擇，則餐廳至少還需打算多少不同的素菜品種？解析：設餐廳至少還需打算x種不同的素菜．由題意，得Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,x)≥200，從而有Ceq\o\al(2,x)≥20，即x(x－1)≥40.又x≥2且x∈N*，所以x的最小值為7.故餐廳至少還需打算7種不同的素菜．[B組實力提升]11．從8名女生和4名男生中，抽取3名學生參與某檔電視節(jié)目，若按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為()A．224 B．112C．56 D．28解析：由分層抽樣知，應從8名女生中抽取2名，從4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法數(shù)為Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,4)＝112.答案：B12．樓道里有12盞燈，為了節(jié)約用電，需關掉3盞不相鄰的燈，則關燈方案有()A．72種 B．84種C．120種 D．168種解析：需關掉3盞不相鄰的燈，即將這3盞燈插入9盞亮著的燈形成的10個空當中，所以關燈方案共有Ceq\o\al(3,10)＝120(種)．答案：C13．方程Ceq\o\al(x,17)－Ceq\o\al(x,16)＝Ceq\o\al(2x＋2,16)的解集是________．解析：因為Ceq\o\al(x,17)＝Ceq\o\al(x,16)＋Ceq\o\al(x－1,16)，所以Ceq\o\al(x－1,16)＝Ceq\o\al(2x＋2,16)，由組合數(shù)公式的性質，得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，解得x1＝－3(舍去)，x2＝5.答案：{5}14．從4臺甲型電視機和5臺乙型電視機中隨意取出3臺，其中至少有甲型和乙型電視機各1臺，則不同的取法有________種．解析：依據(jù)結果分類：第一類，兩臺甲型機，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,5)＝30(種)；其次類，兩臺乙型機，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,5)＝40(種)．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,5)＝70(種)不同的取法．答案：7015．已知Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差數(shù)列，求Ceq\o\al(12,n)的值．解析：由已知得2Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)，所以2·eq\f(n！,5！n－5！)＝eq\f(n！,4！n－4！)＋eq\f(n！,6！n－6！)，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求Ceq\o\al(12,n)的值，故n≥12，所以n＝14，于是Ceq\o\al(12,14)＝Ceq\o\al(2,14)＝eq\f(14×13,2×1)＝91.16．由13個人組成的課外活動小組，其中5個人只會跳舞，5個人只會唱歌，3個人既會唱歌也會跳舞，若從中選出4個會跳舞和4個會唱歌的人去演節(jié)目，共有多少種不同的選法？解析：設既會唱歌也會跳舞的人為“多面手”第一類，選會唱歌的4人無多面手：有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,8)＝350；其次類，選會唱歌的4人中有一個多面手：有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)