人教版六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第三講圓柱與圓錐（二）（含答案）

第三講圓柱與圓錐（二）第一部分：趣味數(shù)學(xué)巧算谷垛體積亮亮是個(gè)肯動(dòng)腦、愛(ài)學(xué)習(xí)的好孩子。星期六,爸爸帶亮亮去鄉(xiāng)下的爺爺家玩,正好趕上收谷子的時(shí)候,整個(gè)打谷場(chǎng)上到處都是一堆一堆的稻谷垛。亮亮感到很新鮮,拉著爸爸的手,繞著這些谷垛走了一圈又一圈,聽(tīng)爸爸講小時(shí)候打谷子的故事。走到一個(gè)谷垛前,爸爸突然問(wèn):“亮亮,你看看,這個(gè)谷垛是什么形狀的啊?”“這個(gè)谷垛啊,上頭尖,下面圓,好像是……”亮亮想了想,叫道,“對(duì)了,幾何課上老師講過(guò),這種叫做圓錐體?！卑职纸又謫?wèn)“那你還記得圓錐體的體積計(jì)算公式嗎?亮亮眨眨眼,說(shuō):“當(dāng)然記得了,圓錐體的體積,等于π乘底面圓的半徑的平方,再乘高,最后除以3?！薄安诲e(cuò)不錯(cuò)”爸爸稱(chēng)贊道,又指著旁邊另外一個(gè)谷垛,說(shuō),“那你知道這個(gè)谷垛的體積怎么計(jì)算嗎?亮亮仔細(xì)一看,奇怪啊,別的谷垛的頂上都是尖的，這個(gè)谷垛的頂上怎么是平平的呢?這是什么形狀啊?他只好說(shuō):“我沒(méi)學(xué)過(guò)這種形狀的體積公式?！卑职中α?說(shuō):“傻小子,你都學(xué)過(guò)圓錐了。你看看,這個(gè)谷垛本來(lái)應(yīng)該是個(gè)圓錐體的,可是現(xiàn)在,它的頂部被橫著削了一刀,可削去的還是個(gè)圓錐啊?！薄鞍?我明白了!”亮亮說(shuō),“那就是大圓錐的體積減去小圓錐的體積了,對(duì)不對(duì)?”“哈哈，儒子可教!這種形狀叫做圓臺(tái),計(jì)算它的體積,就是通過(guò)圓錐體積相減得到的?！钡诙糠郑毫?xí)題精講例題1：把底面直徑是10厘米的圓柱形木塊沿底面直徑豎直切成相同的兩塊,表面積增加了80平方厘米。求這個(gè)圓柱體的體積。分析：把圓柱體沿底面直徑豎直切成兩塊,表面積要增加兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱的底面直徑,寬等于圓柱的高。因此,可以根據(jù)增加的表面積求出圓柱的高,再求圓柱體的體積。圓柱體的高:80÷(2×10)=4(厘米)；圓柱體的體積:3.14×(10÷2)2×4=314(立方厘米)答:這個(gè)圓柱的體積是314立方厘米果以,練習(xí)1：1.把底面直徑是8厘米的圓柱形木塊沿底面直徑豎直切成相同的兩塊,表面積增加了112平方厘米，求這個(gè)圓柱體的體積。2.把一個(gè)底面半徑為6厘米、高為10厘米的圓柱體,沿底面直徑豎直切開(kāi)后,表面積增加多少平方厘米?3.把一個(gè)高為7.5分米的圓柱形木塊沿底面直徑豎直切成相同的兩塊,表面積增加了75平方分米,求這個(gè)圓柱體的體積。4.有一根圓柱體的木料,如果按如圖1所示：切成4塊,那么表面積會(huì)增加288平方厘米，如果按如圖2所示，切成4塊,那么表面積會(huì)增加169.56平方厘米。這根木料的體積是多少立方厘米?例題2：一段圓柱體木料,如果截成兩個(gè)小圓柱體,它的表面積增加9.42平方厘米；如果沿著底面直徑截成兩個(gè)半圓柱體,那么它的表面積將增加100平方厘米，求原來(lái)圓柱體的表面積。分析：我們知道,圓柱體的表面積=側(cè)面積十底面積×2。圓柱體截成兩個(gè)小圓柱體后,增加的9.42平方厘米就是兩個(gè)底面的面積和；沿著直徑截成兩個(gè)半圓柱體,增加了兩個(gè)“直徑×高”的面,增加100平方厘米,因此,直徑×高×2=100,而圓柱體的側(cè)面積=直徑×π×高,所以,側(cè)面積=100÷2×π100÷2×π+9.42=157+9.42=166.42(平方厘米)答:原來(lái)圓柱體的表面積是166.42平方厘米練習(xí)2：一段圓柱體木料,如果截成兩個(gè)小圓柱體,那么它的表面積增加6.28平方厘米，如果沿著直徑截成兩個(gè)半圓柱體,那么它的表面積將增加75平方厘米，求原來(lái)圓柱體的表面積。2.有大、小兩種不帶蓋的圓柱形水桶,它們表面積的和是5433平方分米,小桶和大桶的用料面積的比是1:2,小桶的底面周長(zhǎng)是62.8分米,大桶的底面周長(zhǎng)是94.2分米。求大、小兩個(gè)桶的側(cè)面積各是多少?3.把一根高為10分米的圓柱鋸成完全相同的兩部分,表面積比原來(lái)增加了16平方分米,這根圓柱原來(lái)的體積是多少立方分米?例題3：已知一個(gè)圓錐的底面半徑和高都等于一個(gè)正方體的棱長(zhǎng),這個(gè)正方體的體積是216立方分米。求這個(gè)圓錐的體積。分析：不妨設(shè)圓柱的底面半徑為r,則正方體的體積為r3=216，那么,圓錐的體積為：1/3×πr2×r=226.08(立方分米)答:這個(gè)圓錐的體積為226.08立方分米練習(xí)3：1.一個(gè)圓柱體比一個(gè)圓錐體的體積大1200立方厘米,圓柱體的底面積是400平方厘米,比圓錐體的底面積小100平方厘米,圓柱體的高是18厘米,則圓錐體的高是多少厘米?2.一個(gè)圓柱體底面積是5平方分米,把它削成一個(gè)最大的圓錐,削去部分的體積是6立方分米。求這個(gè)圓柱體的高。3.兩個(gè)正方體的體積之差是1200立方厘米,如果以每個(gè)正方體的一面為底,加工成最大的圓錐,那么加工成的兩個(gè)圓錐的體積之差是多少立方厘米？例題4：皮球掉在一個(gè)盛有水的圓柱形水桶中．皮球的直徑為12厘米，水桶底面直徑為60厘米．皮球有2/3的體積浸在水中（下圖）。問(wèn)皮球掉進(jìn)水中后，水桶的水面升高多少厘米？分析：皮球掉進(jìn)水中后排擠出一部分水，使水面升高．這部分水的體積的大小等于皮球浸在水中部分的體積，再用這個(gè)體積除以圓柱形水桶底面積，就得到水面升高的高度．解：球的體積：＝288π（立方厘米）．水桶的底面積：π×302＝900π（平方厘米）．練習(xí)4:1.在一只底面半徑為15厘米的圓柱形水桶里有一個(gè)直徑為10厘米的圓柱形鋼材浸沒(méi)在水中,當(dāng)鋼材取出后,桶里的水面下降了2厘米,這段鋼材長(zhǎng)多少厘米?2.有一只底面半徑是20厘米的圓柱形水桶,里面有一段底面半徑是5厘米的圓柱體鋼材浸沒(méi)在水中。當(dāng)鋼材從水中取出后,桶里的水下降2厘米。這段鋼材長(zhǎng)多少厘米?答:這段鋼材長(zhǎng)32厘米3.有一只長(zhǎng)方體的玻璃缸,長(zhǎng)8分米、寬5分米、高4分米,里面的水深是3.5分米，如果放入一個(gè)底面直徑為3分米,高為3分米的圓柱體鐵塊,那么缸里的水會(huì)不會(huì)溢出來(lái)?例題5：一個(gè)邊長(zhǎng)是20厘米的正方體玻璃缸中裝著水,水中浸沒(méi)了一個(gè)底面直徑為12厘米、高為5厘米的鐵質(zhì)圓錐體和一個(gè)底面直徑為8厘米、高為5厘米的鐵質(zhì)圓柱體，當(dāng)圓錐體和圓柱體都從桶中取出后,桶內(nèi)水將下降多少厘米?分析：我們知道,鐵質(zhì)圓錐體圓柱體浸沒(méi)于水中,都排開(kāi)一定體積的水,它們的體積和就等于總排開(kāi)水的體積。答案：鐵質(zhì)圓錐體的體積與鐵質(zhì)圓柱體的體積和為練習(xí)5：1.一個(gè)底面直徑是6厘米的圓錐形金屬鑄件,放進(jìn)棱長(zhǎng)15厘米的正方體容器的水中,這個(gè)鑄件全部被水浸沒(méi),容器中的水面比原來(lái)升高1.2厘米，求這個(gè)圓錐體的高。(精確到0.1厘米)2.如圖所示,一個(gè)圓柱形玻璃杯內(nèi)盛有水,水面高4厘米，玻璃杯的底面直徑是12厘米,在這個(gè)玻璃杯中放進(jìn)底面直徑是8厘米的圓柱形鐵塊后,水面沒(méi)有淹沒(méi)鐵塊，這時(shí)水面有多高?3.如圖所示,在一個(gè)棱長(zhǎng)為20厘米的正方體密閉容器的下底固定了個(gè)實(shí)心圓柱體,容器內(nèi)盛有m升水時(shí),水面恰好經(jīng)過(guò)圓柱體的上底面，如果將容器倒置那么圓柱體有8厘米露出水面，已知圓柱體的底面積是正方體底面積的1/8，求實(shí)心圓柱體的體積。第三部分：數(shù)學(xué)史哥德巴赫猜想200多年前，德國(guó)的數(shù)學(xué)家哥德巴赫發(fā)現(xiàn)每一個(gè)大于4的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，數(shù)學(xué)家歐拉表示同意，這個(gè)猜想被稱(chēng)為“哥德巴赫猜想”，人們把這個(gè)猜想比喻為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”，1966年，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在“哥德巴赫猜想”的研究上取得了更加顯著的進(jìn)展，轟動(dòng)的國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)界。參考答案：練習(xí)1：1.2.3.4.練習(xí)2：1.124.03平方厘米2.1+2=3小桶的表面積：5433÷3=1811（平方分米）大桶的表面積：1811×2=3622（平方分米）小桶側(cè)面積：1811-3.14×（62.8÷2÷3.14）2=1497（平方分米）大桶側(cè)面積：3622-3.14×（94.2÷2÷3.14）2=2915.5（平方分米）3.練習(xí)3：1.2.3.練習(xí)4：1.10÷2=5(厘米),152×3.14×2÷(52×3.14)=18(厘米)2.3.14×202×2÷(3.14×52)=32(厘米)3.由于鐵塊能完全浸