2020-2021學年湖北省部分重點中學高一下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年湖北省部分重點中學高一下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．已知向量滿足，則（）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【分析】根據向量數(shù)量積的運算規(guī)則計算即可得出答案.【詳解】選項B正確，選項ACD錯誤故選：B.2．設復數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)的虛部為A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據復數(shù)除法運算法則，求出復數(shù)，即可求出結論.【詳解】，，則的共軛復數(shù)的虛部為.故選:.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)運算、共軛復數(shù)，屬于基礎題.3．如果一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是如圖所示的直角梯形，其中，,.則原平面圖形的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出原平面圖形，然后求出面積即可．【詳解】，則是等腰直角三角形，∴，又，，∴，在直角坐標系中作出原圖形為：梯形，，，高，∴其面積為．故選：A【點睛】方法點睛：本題考查斜二測法畫平面圖形直觀圖，求原圖形的面積，可能通過還原出原平面圖形求得面積，也可以通過直觀圖到原圖形面積的關系求解：直觀圖面積為，原圖形面積為，則．4．在一次分層隨機抽樣中，可分兩層進行抽樣，通過計算，已知第一層抽取m個數(shù)，其平均數(shù)為a，第二層抽取n個數(shù)其平均數(shù)為b，則抽取的總樣本的平均數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平均數(shù)的計算公式直接求解即可.【詳解】由平均數(shù)的計算公式得，故選：D.5．在空間中，已知，，為不同的直線，，，為不同的平面，則下列判斷正確的是（）A．若，，則 B．若且，則C．若，，，，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據線面平行的判定定理，判斷選項；平面與平面垂直的判定定理，判斷選項；線面垂直的判定定理，判斷選項；面面平行的判定定理，判斷選項.【詳解】若，，則或，故錯誤；若且，則，故正確；若，，，，則與相交或，故錯誤；若，，則不一定平行，故錯誤.故選：【點睛】本題考查空間直線和平面位置關系的判斷，屬于基礎題.6．我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了著名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等.現(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件，若棱錐的體積為，圓錐的側面展開圖是半圓，則圓錐的母線長為（）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】設圓錐的底面半徑為,則母線長為,高為,由同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件,可知棱錐與圓錐的體積相等,進而求解.【詳解】由題,設圓錐的底面半徑為,因為圓錐的側面展開圖是半圓,則母線長為,高為,因為現(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件,所以棱錐與圓錐的體積相等,所以,解得,所以母線長為,故選:D【點睛】本題考查圓錐的體積公式的應用,考查理解分析能力.7．在正三棱柱中，，點D為棱的中點，點E為上的點，且滿足，當二面角的正切值為時，實數(shù)m的值為（）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】以D原點，DA，DB，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用二面角的余弦值即可算出.【詳解】如圖，以D原點，DA，DB，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，由得，，即，所以，，設面的法向量為：，則取，取面的法向量為：，設二面角為，由得，，則，所以，故選：C.8．在平面四邊形中，，若面積依次為，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用面積公式表示出，利用余弦定理求出關系，即可求出最值.【詳解】由題可知，，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，，即，則，則當，取得最大值為.故選：A.二、多選題9．復數(shù)z滿足，則下列結論正確的是（）A．z在復平面內對應的點位于第四象限 B．C． D．【答案】BD【分析】由已知求出根據復數(shù)的幾何意義可判斷A，求z的?？膳袛郆，求共軛復數(shù)可判斷C，求出的值可判斷D.【詳解】因為，所以，對于A，z在復平面內對應的點為，位于第三象限，故錯誤；對于B，，正確；對于C，，錯誤；對于D，，正確.故選：BD.10．去年5月25日工信部部長在“兩會部長通道”表示，中國每周大概增加1萬多個5G基站，4月份增加5G用戶700多萬人，5G通信將成為社會發(fā)展的關鍵動力，圖是某機構對我國未來十年5G用戶規(guī)模的發(fā)展預測圖，閱讀圖，關于下列說法，其中正確的是（）A．2022年我國5G用戶規(guī)模年增長率最高B．2025年我國5G用戶數(shù)規(guī)模最大C．從2020年到2026年，我國的5G用戶規(guī)模增長兩年后，其年增長率逐年下降D．這十年我國的5G用戶數(shù)規(guī)模，后5年的平均數(shù)大于前5年的平均數(shù)【答案】ACD【分析】由圖表中所給數(shù)據對選項逐一分析判斷即得結果.【詳解】由圖表可得，年5G用戶規(guī)模年增長率最高，故A正確；年我國5G用戶數(shù)規(guī)模（萬人），年用戶規(guī)模為（萬人），規(guī)模最大，故B錯誤；年5G用戶規(guī)模年增長戶數(shù)最多為（萬人），故B錯；由圖表可知，從年開始，年與年5G用戶規(guī)模年增長率增加，從年開始到年5G用戶規(guī)模年增長率逐年遞減，故C正確；由圖可以看出，這十年我國的5G用戶數(shù)規(guī)模，后5年的平均數(shù)明顯大于前5年的平均數(shù)，故D正確.故選：ACD.11．的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則下列說法正確的是（）A．若，則B．若，則有兩解C．若，則為鈍角三角形D．若，則面積的最大值為【答案】ABC【分析】根據三角形大邊對大角和正弦定理，可判定A選項；由正弦定理求出，可判定B選項；根據正弦函數(shù)的單調性，判定C選項；余弦定理結合基本不等式求出最大值，即可判定D選項.【詳解】由得，設外接圓半徑為，，所以，選項A正確；，根據正弦定理得，，所以角有兩解，選項B正確；，所以為銳角，在單調遞增，若為鈍角，即可，為鈍角三角形，若為直角，不合題意，若為銳角，，為鈍角三角形，選項C正確；由余弦定理，得，當且僅當時，等號成立，所以，選項D不正確.故選：ABC.12．平面過棱長為1的正方體的頂點A，且平面平面，平面，則下列正確的是（）A．直線m與所成的角為 B．直線n與垂直C．平面到平面的距離為 D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】ACD【分析】根據題意證明，，得出、所成角的大小與、所成角的大小相等，為；判斷選項A正確，B錯誤；由題意求出平面到平面的距離，判斷選項C正確；由題意知直線與平面所成的角，是與平面所成的角，建立空間直角坐標系求出所成角的正弦值，判斷選項D正確．【詳解】解：如圖1所示，因為平面平面，設平面平面，由平面，所以；又因為平面平面，由平面平面，所以，所以；同理可得，所以、所成角的大小與、所成角的大小相等，即為的大?。灰驗?，所以，所以，所以選項A正確，B錯誤；由平面過棱長為1的正方體的頂點，且平面，所以平面到平面的距離為，選項C正確；由題意知，直線與平面所成的角，即為與平面所成的角，建立空間直角坐標系，如圖2所示：，0，，，，，，1，，設平面的法向量為，，，則，即，令，得，，所以，，，所以，，所以直線與平面所成角的正弦值為，選項D正確．故選：ACD．三、填空題13．向量，，則___________.【答案】【分析】求出的坐標，利用向量的模長公式可求得結果.【詳解】，因此，.故答案為：.14．某年級120名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，將測試結果分成5組：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如圖所示的頻率直方圖，如果從左到右的5個小矩形的面積之比為1∶3∶7∶6∶3，那么成績的70百分位數(shù)約為________秒．【答案】16.5【分析】設成績的70百分位數(shù)為x，再估計成績的70百分位數(shù)的區(qū)間通過計算即可.【詳解】設成績的70百分位數(shù)為x，因為，，所以x[16，17)，所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5.故答案為：16.5.15．某中學校園內的香樟樹已有較長的歷史.如圖，小明為了測量香樟樹高度，他在正西方向選取與香樟樹根部C在同一水平面的A，B兩點，在A點測得香樟樹根部C在西偏北的方向上，步行40米到B處，測得樹根部C在西偏北的方向上，樹梢D的仰角為，則香樟樹的高度為__________米.【答案】【分析】根據圖象可得，中，，，運用正弦定理可得，通過在中求解三角形的邊長即可．【詳解】中，，，運用正弦定理可得，，解得，在中，，．故答案為：．16．截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經過適當?shù)慕亟牵唇厝ニ拿骟w的四個頂點所產生的多面體.如圖所示，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為_______.【答案】【分析】求出截角四面體上下底面距離，再由勾股定理列等式求得半徑，代入球的表面積公求解即可【詳解】解：因為棱長為的正四面體的高為，所以截角四面體上下底面距離為，序曲其外接球的半徑為，等邊三角形的中心為，正六邊形的中心為，則垂直于平面與平面，則,所以，解得，所以該截角四面體的外接球的表面積為,故答案為：四、解答題17．已知是同一平面內的三個向量，其中（1）若，且與方向相反，求的坐標；（2）若，且與垂直，求與的夾角θ.【答案】（1）；（2）θ＝π.【分析】(1)由平面向量共線的坐標表示，即可得出結果.(2)由平面向量的數(shù)量積運算，即可得出結果.【詳解】（1）設，由和可得或因為與方向相反，所以．（2）因為，所以即，所以，又因為θ∈[0，π]，所以θ＝π.18．如圖，在中，，，點在邊上，，，為垂足.（1）若的面積為，求的長；（2）若，求角的大小.【答案】（1）（2）【詳解】分析：第一問利用三角形的面積公式，求出，再用余弦定理求；第二問先求，在中，由正弦定理可得，結合，即可得結論.詳解：(1)由已知得S△BCD＝BC·BD·sinB＝，又BC＝2，sinB＝，∴BD＝，cosB＝．在△BCD中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB＝22＋2－2×2××＝．∴CD＝．(2)∵CD＝AD＝，在△BCD中，由正弦定理，得，又∠BDC＝2A，得，解得cosA＝，所以A＝．點睛：該題考查的是正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式，在解題的過程中，只要對正余弦定理的內容以及三角形的面積公式能夠熟記，就能求得結果.19．如圖，已知平面，平面平面.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）先證得平面，結合線面垂直的性質定理即可證出；（2）先作出輔助線，并證得為二面角的平面角，然后求出相關線段的長度，進而在解三角形即可.【詳解】（1）證明：如圖，過點A作，垂足為E∵平面平面，平面平面∴平面，又∵平面∴又∵平面平面∴又∵∴平面∴（2）解：由（1）中可得，平面，過A作，垂足為F，連接∴，，則平面，∴則為二面角的平面角，設為，平面∴，由（1）可得平面，則在中：，得在中：，得；在中，得，在中，，則∴二面角的余弦值為20．某班同學利用勞動節(jié)進行社會實踐，對歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組120第二組195第三組100第四組第五組30第六組15（1）補全頻率分布直方圖并求n、a、p的值；（2）從年齡段在的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動，其中每組各選多少人？【答案】（1）圖形見解析，1000；0.65；a=60；（2）歲中有4人，歲中有2人.【分析】（1）根據頻率分步直方圖的面積是這組數(shù)據的頻率，求出頻率，除以組距得到高，畫出頻率分步直方圖的剩余部分，根據頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關系，做出n、a、p的值．（2）根據分層抽樣方法求出兩個部分的人數(shù)即可．【詳解】（1）第二組的頻率為，所以高為頻率分布直方圖如下：第一組的人數(shù)為，頻率為，所以．由題可知，第二組的頻率為，所以第二組的人數(shù)為，所以．第四組的頻率為，所以第四組的人數(shù)為，所以．（2）因為歲年齡段的“低碳族”與歲年齡段的“低碳族”的比值為2：1，所以采用分層抽樣法抽取6人，歲中有4人，歲中有2人．【點睛】關鍵的點睛：正確理解并運用頻率分布直方圖解題是解題關鍵.21．如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，點E在線段PA上，平面BDE．求證：；若是等邊三角形，，平面平面ABCD，四棱錐的體積為，求點E到平面PCD的距離．【答案】（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）連結AC、BD，交于點M，連結ME則M是AC中點，由PC∥平面BDE，得PC∥ME，由此能證明AE=PE．（2）以AD中點O為原點，OA為x軸，在平面ABCD中，過點O作AB的平行線為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出E到平面PCD的距離．【詳解】連結AC、BD，交于點M，連結ME，底面ABCD為矩形，是AC中點，平面BDE，，在中，ME為的中位線，又M為中點，E為中點．是等邊三角形，，平面平面ABCD，以AD中點O為原點，OA為x軸，在平面