2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：平面向量（新高考）

考點鞏固卷10平面向量(六大考點)

考點01：共線定理

考點02：投影向量的求算

考點03：奔馳定理解決三角形面積比問題

考點04:平面向量之三角形四心問題

考點05：極化恒等式解決向量數(shù)量積問題

考點06：等和線解決平面向量系數(shù)和問題

孱需力技巧及考點利心

考點01:共線定理

定理1：定知玩=2方+〃而，若P+〃=l,則2、B、C三點共線；反之亦然

爭面向量共線定理證Q

若點2、B、C互不重合，P是4、B、C三點所在平面上的任意一點，且滿足

~PC=xPA+yPB,則N、B、C三點共線ox+y=l.

證明：(1)由x+y=ln2、B、。三點共線.由x+y=l得

PC^xPA+yPB=xPA+(l-x)PB^Fr：-PB=x(PA-PB)^BC=xBA.

即死，詼共線，故N、B、。三點共線.

PB

（2）由N、B、C三點共線nx+y=l.

由2、B、C三點共線得前，扇共線，即存在實數(shù)x使得正=2詼.

故而+正=4屈+刀）n正=2西+（1—幾）麗.令x==1—4,則有x+y=l.

1.已知M,N,P,。是平面內(nèi)四個互不相同的點，為不共線向量，■=20237+20253,

NP-20245+20246,PQ=-a+b,貝|（）

A.M,N,P三點共線B.M,N,。三點共線

C.河,尸，。三點共線D.N,尸，。三點共線

【答案】B

【分析】利用向量共線充要條件求出結(jié)果.

【詳解】NQ=NP+PQ=-a+b+2024a+2024b=20235+20256,

所以痂=而，所以M,N,Q三點共線，即B對.

同理，其它各項對應(yīng)三點均不共線.

故選：B.

2.已知向量不共線，且3=痛+ld=a+（2A-l）b,若工與2同向共線，則實數(shù)彳的

值為（）

15151

A.1B.—C.1或—D.-1或—

222

【答案】A

【分析】由共線定理可知存在〃（〃>0）使得e=〃才，然后由平面向量基本定理可得.

【詳解】因為工與之同向共線，所以存在〃（〃>0）使得方=〃才，

即+B=〃［力+（2/1-1）可=jua+,

又向量。/不共線，所以%=〃（2/1_1），解得人”（舍去）或4=L

故選：A

3.在中，。為邊4C上一點且滿足若尸為邊8D上一點，且滿足

2

AP=}^B+/JAC,2,〃為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.的最小值為1B.X"的最大值為二；

C.月+時的最大值為12力+而的最小值為4

【答案】BD

【分析】根據(jù)瓦。，尸三點公式求得彳+3〃=1,結(jié)合基本不等式判斷即可.

【詳解】因為亞=g次，所以％=3而，

又#=/次+二彳冠+3〃赤,

因為尸、B、。三點共線，所以2+3〃=1,

又久，〃為正實數(shù)，所以=笥幺）=',

當且僅當2=3〃，即4=！，〃=：時取等號，故A錯誤，B正確；

—I--=+^/2+2.

43〃23jU

當且僅當￥=/-,即彳=:，必=9時取等號，故C錯誤，D正確.

23〃26

故選：BD

4.下列說法中不正確的是（）

A.若方=而，貝"萬|=|函且/、B、C、。四點構(gòu)成平行四邊形

B.若加為非零實數(shù)，且加之="3,則3與B共線

ABAC

C.在A/13C中，若有4。=那么點。一定在角力的平分線所在直線上

D.若向量則汗與B的方向相同或相反

【答案】AC

【分析】根據(jù)四點共線即可判斷A,根據(jù)共線定理即可求解B,根據(jù)單位向量的定義以及向

量加法的運算法則，即可由角平分線求解C,根據(jù)零向量即可求解D.

【詳解】對于A,線段/。上，氏C為線段的三等分點，滿足益=函，且|益卜「斗，

但48,C,。四點不能構(gòu)成平行四邊形，A錯誤;

n―

對于B,因為加為非零實數(shù)，且〃7己=怎，所以］=—6,所以3與B共線，B正確；

m

-7?

對于C,因為名;、丹A分T別表示向量標、就方向上的單位向量，所以關(guān)+丹Ar的

\AB\\AC\\AB\\AC\

(__,___k、

__kAr

方向與ZB/C的角平分線重合，又40=t［網(wǎng)明J，可得向量方所在直線與NA4c

的角平分線重合，所以點。一定在角A的平分線所在直線上，C正確；

對于D,若向量則汗與B的方向相同或相反，或汗與B中至少有一個為零向量，D錯

誤.

故選：AC

5.如圖，已知平行四邊形48CD的對角線相交于點。，過點。的直線與48,/D所在直線

分別交于點M,N,滿足五5=7疝應(yīng)，AN=nAD，(m>0,n>0),若加〃=；,則機+〃

的值為.

7

【答案】

46

【分析】用向量為口前表示前，再利用點M,O,N共線列式計算作答.

—?1—.1—.

【詳解】因平行四邊形/BCD的對角線相交于點。，則+

22

而方=m為7,左="通,0>0,〃>0),于是得而=%而+」-京，

22n

又點M,O,N共線，

1112

因此，—mI-1,即加〃+1=2〃，又加〃=—,解得加=—,n=—,

22n323

「7

所以加+〃=一.

6

7

故答案為：—

o

6.如圖，已知A45C為等邊三角形，點G是A45C內(nèi)一點.過點G的直線/與線段45交

于點。，與線段/C交于點及設(shè)詼=幾方，AE=JLIAC,且/IwO,4。0.

A

(2)若點G是A4BC的重心，設(shè)A4OE的周長為q,A45C的周長為。2.

(i)求7+'的值；

X〃

(ii)設(shè)/=，/,記/。)=包一，求/⑺的值域.

。2

【答案】(1):；(2)(i)3；(ii)'I’g.

5yo

______7UJ］僅

【分析】(1)連接AG并延長，交BC于點F,設(shè)下=加就，則/尸=彳/8+《/。，由

5__?1,__s______ss

B,F,C三點共線可求得加=不貝第而一Z，^AF=-AG,可求產(chǎn)”，言遜，

333^AABC^AFAB

即可得出結(jié)果.

—(■1/—?—?\—-*2—*■1—,b1—,■

(2)(i)由題意得4方,AG=-AF=—AD+—AE又D,G,E三點共

2、)3343〃9

線，所以±+；=1，即可得解；(ii)設(shè)AABC的邊長為1,則40=4,/￡=〃，在4ADE

323〃

中，由余弦定理得DE=+"一沏，所以2—〃+〃"一初,結(jié)合:+,=3化

N尸尸。23彳〃

簡”沏+我丁)2—3沏,因為/=為，所以結(jié)合f的范圍及二次函數(shù)的

性質(zhì)求解即可得出了⑴的值域.

【詳解】（1）連接AG并延長，交BC于點F,

__，，—，TT1---?IT?---?

AF=mAG，則/尸=，

又B,F,C三點共線，所以卷+￡=1,m=|,

——?2—?1——.——.——?1——.1—?

^AF=-AB+-AC,BPAF-AB=-AC一一AB,

3333

則有赤=〈就，所以興辿=BF1

BC3

又善=柒,所以去遜二AG3S^GAB_J_

5,所以

3、AFABAF‘△ABC5

交BC于點F,

因為G為重心，所以F為BC中點，所以萬=g（萬+就卜

If1—11

所以就=（在+就）--AD+—=—AD+—AE

3UA323"

又D,G,E三點共線,所以導(dǎo)力1，則步=3.

(ii)設(shè)aABC的邊長為1,則AE=JLI,(2,^e(0,l])

在4ADE中，DE2=AD2+AE2-2ADxAExcos60°=22+//2-2//,

2+〃+J/2+〃2

所以DE=Q+儲一4〃,所以2=AD+AE+DE

C233

因為:+'=3nX+〃=3M,A2+//2=(2+//)2-22//=9(2//)2-22//,

4+〃+J.2+4234〃+個〃—34〃

所以2=9(%)2

。233

3t+19t2一3t

因為r=M,所以/?)=

3

因為0<241,0<//<l,所以421,

A

。%11

2Zn=-------=—-=--------------；-----

因為〃=丁;，所以32-131(13丫9，

因為ivgw2,2<-f---^+-<-,所以/"的最小值為《，最大值為;,

AU2j4492

414

所以，="/￡—,—則工

81

所以，即/（。的值域為.

9oyo

7.設(shè)入B是不共線的兩個非零向量.

（1）若厲=4々一2幾OB^6a+2b，OC^2a-6b，求證：A,B,C三點共線；

⑵若2=（7,2）,5=（-3,5）,"=（6,7）,且R+證）〃（。-今,求實數(shù)上的值.

41

【答案】⑴證明見解析（2）-左

O0

【分析】（1）首先求出擊，AC，根據(jù)平面向量共線定理得到與〃就，即可得證；

（2）首先求出￡+無，的坐標，再根據(jù)向量共線的坐標表示計算可得.

【詳解】（1）因為厲=42-2辦，OB=6a+2b，OC=2a-6b，

所以=OB-OA=6a+2加一（4a-2回=2a+4加，

AC=OC-OA=?^-6b-^-2b^=-2xi-4b,

又Z，否是不共線的兩個非零向量，所以方=-就，所以方//就，且有公共點A,

所以A,B,C三點共線；

（2）因為￡=（7,2）,B=（T5）,"=（6,7）,

所以￡+左】=（7,2）+無（6,7）=（7+6左,2+7左）,b-a=（-3,5）-（7,2）=（-10,3）,

又（￡+砌〃僅一2）,所以3（7+6左）=一10（2+7左），解得上=一總

8.如圖，在“BC中，已知/8=2,AC=6垃,/A4c=45。，BC邊上的中點為M,點N

是邊/C上的動點（不含端點），AM,8N相交于點尸.

⑴求N8/M的正弦值；

(2)當點N為/C中點時，求的余弦值.

(3)當福.標取得最小值時，設(shè)麗=2麗，求幾的值.

(1)|(2)1^(3)2=||

55013

【分析】(1)解法1、先利用余弦定理求得BC,再根據(jù)NBMA與/CM互補，由

cosZBMA+cosZCMA=O,求得/M=5,然后在A48M中，利用余弦定理求解；解法2、

由/7=1■(次+%),求得口應(yīng)卜5,再利用的面積為“8C面積的g求解；解法

3：以A為坐標原點，以/C所在直線為x軸，以過點A的垂線為了軸，建立平面直角坐標系，

/八…AB-AM

利用向量的夾角公式cos/BAM=||求解；

(2)方法1、在A/BN中，利用余弦定理，求得刪=而，再由尸為“8C重心，得到

8尸=2BN=①，AP=1AM=^~,然后在A/8尸中，利用余弦定理求解；解法2：由

BN=BA+AN=-AB+^AC,求得|麗卜而，再利用向量的夾角公式

八…AM-JN

cos/MW=求解;解法3：以A為坐標原點，以/C所在直線為X軸，以過點A

AMBN

的垂線為了軸，建立平面直角坐標系，再利用向量的夾角公式cos=求解；

(3)設(shè)網(wǎng)=x,由福.福=福?(麗+砌=/-缶，則x=*叫叫=亨時，NA-NB

取最小值，得到麗七西+(數(shù)，再由數(shù)=2就，BP=ABN(0<A<l),得到

BP^ABA+yABM,由A,P,M三點共線求解：

126

【詳解】(1)解法1、由余弦定理得Be?=/笈+/。2一/m/c-cosZ82C,

即BC?=2?+(6行『-2x2x6亞x等=52,所以BC=2舊，

所以創(chuàng)/二四八爪三布，

2

+上上人口、…e/口,/，，BM2+AM2-AB2AM2+9

在“BM中，由余弦定理，得cosNBMA=----------------=r=-----,

2BM-AM~y/13-AM'

CM2+AM2-AC2AM2-59

在中，由余弦定理，得cos/CU4=

2CM-AMy/13-AM

因為ZBMA與/CW互補，^^cosZBMA+cosZCMA=0,解得/M=5,

在A4BW中，由余弦定理，得cosZ8/M=----------------=-------=一，

2AB-AM5

因為e,所以sinNBAM=Jl-cos?NB4M=..

解法2、由題意可得，^-^C=p|x|^c|xcos45°=12,

由MW為邊8c上的中線，則萬7=1■（方+元），

-------?21-21’'”21—一?

兩邊同時平方得，AM=-AB+-AC+-AB-AC=25,

442

故|萬q=5,

因為M為8c邊中點，則A/AW的面積為A^BC面積的;，

所以,42*/A/xsin/3/四=工x工AS*4C*sin/以C,

222

Bp|x2x5xsinZ5JM=|x|x2x6V2xsin45°,

3

化簡得，sinZBAM=-.

解法3：以A為坐標原點，以/C所在直線為％軸，以過點A的垂線為歹軸，建立平面直角

坐標系

則5（行,0）,。伍板,0）,M,

所以焉=（夜，研萬7=［孚當］,

I22J

/…彳AB-AM84

所以…”=阿可爪【

因為ZBAM?H，所以sinNBAM=yjl-cos2ZBAM=|.

（2））解：方法1、在A/8N中，由余弦定理，

得BN2=AB1+AN2-2AB?AN2-cos45°,

所以a=屈，

由/M,BN分別為邊BC,/C上的中線可知P為。8c重心，

可得BP=々BN=@?,AP=^AM=^-,

3333

在A4BP中，由余弦定理，得cosNAPB=。"+所-冊=上叵,

2PA-PB50

又由NMPN=ZAPB,所以cos/MW=cos/4P3=小@

50

解法2：因為8N為邊NC上的中線，所以麗=函+赤=-刀+」衣,

2

11—，21—?—?1—?

AMBN——AB——ABAC+-AC；"=13,

244

2

BN2-在+:=AB2-AB-AC+-AC2=10,即|麗=麗.

411

AM?BN1313V10

所以cosZMPN=

/7|麗5xV1050

解法3：以A為坐標原點，以NC所在直線為工軸，以過點A的垂線為歹軸，建立平面直角

坐標系:

則可四，⑹，C(6V2,0),川3近,0),M'，學(xué)

所以而=(760)前=(2也，-吟?

AMBN1313710

所以cosAMPN=

|1M||W|5xV10-50

(3)設(shè)網(wǎng)=x,NA-NB=NA-iNA+AB^NA+NA-AB=X2-42X,

當x='^即|附|=時，N.即取最小值-：，

2??22

:.BN=BA+AN=BA-—(BA-BC)=—BA+—BC,

12、)1212

???BC=2BM,5?=AW(O<2<1),

—■(11—■1—>>11--1--

:.BP=2\-BA+-BM\=-ABA+-ABM,

(126J126

-A,P,"三點共線，

—2+-A=l

12613

9.設(shè)23是不共線的兩個非零向量.

⑴若次=42-24礪=6々+2及詼=22-6刃，求證：48C三點共線；

⑵己知@=5,⑸=4,1)的夾角為(，問當上為何值時，向量@與7+3B垂直？

CQ

【答案】(1)證明見解析(2)左=||

【分析】(1)根據(jù)已知條件結(jié)合向量加減法求出荏、BC,進而得出在//元即可得證.

(2)先求出最根據(jù)向量垂直得(版-彼)?0+3W=0,再結(jié)合向量運算法則計算即可得

解.

【詳解】(1)因為a=42—2彼,礪=63+25,歷=23-6b，

所以15=礪一刀=62+2^-(41一25)=23+4分，

BC^OC-OB=2a-6b-(6a+2b)=-4a-Sb=-2(25+4石)=-2AB,

所以在//灰工又益與前有公共點8,

所以A,B,C三點共線.

(2)由@=5,出=］得癡=|'||B|COS?,B)=5X4X；=10,

因為向量肪-3與@+3坂垂直，

所以(ka-6).(5+3b)=ka2-a-b+3ka-b-3b2=0,即25左一10+3左x10—3x4?=0,

CO

整理得55左一58=0=左=瓦

10.如圖，在A/8C中，N。為邊8c的中線，AP=^AQ,過點尸作直線分別交邊N8,AC

于點M,N,^.AM=AAB,~AN=/1AC,其中彳>0,〃>0.

⑴當疝//就時，用而，病表示而;

(2)求;+'的值，并求22+〃最小值.

【答案】⑴◎:翔+:麗

⑵J+'=5,2X+〃最小值為2.+3

九〃5

【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合為邊8C的中線求解即可；

（2）結(jié)合（1）可得萬=!（與+就），再根據(jù)方？=4右，麗=〃就求得

—?1——?1—?11

AP=—AM+—AN,結(jié)合M,N,尸三點共線即可求出了+一,再根據(jù)基本不等式中“1”的

52524〃

整體代換即可得解.

【詳解】（1）因為為邊BC的中線，所以而=g萬+

——?2—?----?2—?——?2——?

因為加//打，AP=-AQ,所以AN=-AC,

所以而=；x|■宿+；xg新，

^^Q=-^M+-~AN

44

（2）由（1）可得舒=（而萬+：蟲t方+碼，

因為析=4翔，AN=piAC,

所以標而，AC=—AN,

HP=—AM+—~AN,

5252

由M,P,N三點共線，得1+!-=1,

545〃

所以;+工=5,

z〃

272+3

貝I」24+〃=1(24+〃)

5

當且僅當5=2,即〃=02=立土1時，取等號,

所以22+〃最小值為逑土1.

5

考點02:投影向量的求算

1、投影向量的定義

如圖：如果向量方的起點幺和終點8在直線/上的投影分別為/和月，

那么向量/月叫做向量標在直線/上的投影向量（簡稱為：投影）;

AB'

理解：一個向量6在一個非零向量。的方向的投影，就是向量6在向量。的任意一條所在直

線上的投影，因為這些直線都是平行的，所以，向量B在一個非零向量［的方向的投影是唯

一確定的；

特殊地，如圖，若兩個向量共起點。；

即：OA=a,OB=b,過點8作直線CM的垂線，垂足為月，

則5萬就是向量B在向量％上的投影向量；

2、投影向量的計算公式

以一點。為起點，；

作：OA=a,OB=b,把射線ON、08的夾角稱為向量2、向量B的夾角，記作:

<a,b>；

<Q,B>￡[0,；

<Q,B10,1

-*—*?！?/p>

<a,b>=—,又稱向量a,Z?垂直，記作a_Lb

2

當＜Z,B〉為銳角（如圖（D）時，08'與Zo方向相同,

2=|OB|=|b|cos<a,b>,所以O(shè)B=|b\cos<a,b>ao』""°；

l?l

當<Z,B〉為直角（如圖（2））時，2=0,所以礪=。；

當<Z,3〉為鈍角（如圖（3））時，5萬與方向相反，

所以2=-1OB|=-16|cosBOB=-\b\cos（萬一<a,b>）=\b\cos<a,b>

PKiM/TBI￡I一工-Ib|cos<a,b>-

所以O(shè)B=|b|cos<a,b>ao=---------=-----------a；

l?l

當<a,B〉=0時，2=|^|,所以08=\b\ao=^J-a；

l?l

當<￡,]>=乃時,A=-|S|,所以赤二|b|cos兀a。-■—?71-a；

l?l

綜上可知，對于任意的<Z,B〉e[O,加，都有

—171-7-\b\cos<a,b>-

OB=|b|cos<a,b>ao=----------=----------a；

l?l

3、數(shù)量投影的定義與求法

一1_一

據(jù)圖：如果令為向量。的單位向量，那么

\a\

bCOSa，b>

向量B在向量Z方向上的向量投影為：\b\cos<a,b>^^^ai

其中，實數(shù)同cos<2,3〉（*）稱為向量B在向量Z方向上的數(shù)量投影；

理解：（1）當時；實數(shù)國cos<Z,書〉（*）大于0；

（2）當<。，6〉=5時；實數(shù)回cos<a,b〉（*）等于0；

（3）當<a,刃〉e乃）時；實數(shù)向cos<a,否〉（*）小于0；

特別的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相應(yīng)的數(shù)量投影的絕對值是該

投影的模，因此，這個數(shù)量投影等于0；

11.向量1=(1,0)萬與非零向量B的夾角為60。，則日在B上的投影數(shù)量為()

A.vB.—C.1D.-V3

22

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用投影數(shù)量的定義計算即得.

-1

【詳解】依題意，萬在B上的投影數(shù)量為|a|cos〈a,6〉=lxcos600=5.

故選：A

12.若a=(2,1),)=(-4,2),c=(2,左),)/石,貝!在之方向上的投影向量為()

【答案】D

【分析】由)宿求得左值，根據(jù)投影向量的定義公式計算即得.

【詳解】由)/書可得，-4k=2x2,解得左=-1,則3=(2,-1),

a.cf3f63

Z在C方向上的投影向量為篝?c==c=J-j.

|c|555

故選：D.

13.若向量"=(2,3),&=(-1,1),貝呼在Z上的投影向量的坐標是()

A。［<I2?一3旬、B.(323百)、C,(23)D.(「百2,3"、

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的坐標運算可得同=后,限3=1,再結(jié)合投影向量的定義運算求解.

【詳解】因為2=(2,3),6=(-1,1),則同=亞耳手=疽〉Z=-2+3=l,

所以3在Z上的投影向量［粵］，=，=償

<?J13<1313J

故選：B.

14.已知向量2=(缶osa,V^sina)3=(2sin￡,2cos￡),忸-*4,則$在行上的投影向量為

()

-C-1r1-

A.2bB.2aC.—bD.—a

22

【答案】D

【分析】由模長公式可得展彼=-1，即可由投影向量的公式求解.

【詳解】因為忸-可=4,所以敏+7-43防=16,又因為|開=2,向2=4,所以

a-b=-l，所以B在日上的投影向量為粵方=-4小

1?|22

故選:D.

15.空間向量￡=(1,0,1)在各=(0,1,1)上的投影向量為()

A.B.[*,0當C.D.1o,

U2)I22JI22j(

【答案】C

【分析】根據(jù)投影向量公式計算即可.

【詳解】a*b=1?片=1+1=2，

由投影向量的定義和公式可知日在B的投影向量為續(xù)5=；(0,1,1)=(0,1,；

b2122,

故選：C.

16.下列關(guān)于向量的說法正確的是()

A.若萬〃B，bllc，貝!J3//1

B.若單位向量方，日夾角為則向量方在向量B上的投影向量為"3

62

C.若方與3不共線，且如+區(qū)=6,則s=t=o

D.若心,且貝！11=不

【答案】BC

【分析】根據(jù)向量的線性運算及數(shù)量積的幾何意義可判斷各選項.

【詳解】A：當B=0時，若五〃B，bHc，則汗與己不一定平行，A錯誤；

Ixlxcos—

B：向量)在向量B上的投影向量為例.?=_______&心必,B正確;

WW1X12

c：若日與B不共線，且城+區(qū)=0，貝ijs=/=o,c正確；

D：a-c=b-c<則同,同，cos)=1斗同.COS,Q,又

?cos(R@,顯然3=不不能確定，D錯誤;

故選：BC.

17.已知向量2=(-1,5),3=(-3,4),則向量B在1％方向上的投影向量的坐標

為.

【答案】(-/-6

【分析】利用向量的坐標運算，結(jié)合投影向量的定義求解即得.

【詳解】由1=(-1,5),加=(-3,4),得￡-3=(2,1),

則|1_]|=右,S-(a-6)=-3x2+4xl=-2,

所以向量否在U方向上的投影向量空二瞿0/)=一1(2,1)=(-

\a-b\555

42

故答案為：j)

18.已知萬=(加一1,2),b=(l,m).

⑴若歸+同=2且機＜0,求行在B方向上的投影向量;

(2)若7與B的夾角為鈍角，求實數(shù)加的取值范圍.

【答案】⑴⑵(-叫-1)4-1,

【分析】(1)根據(jù)模長的坐標運算求得加=-2,再結(jié)合投影向量的定義分析求解;

(2)根據(jù)題意可知心?。?且G與B不共線，結(jié)合向量的坐標運算分析求解.

【詳解】(1)因為5=(冽一1,2),b=(l,m),貝H+刃=(加,加+2),

若B+司=2且相<0,則1療+(〃'+2)=2,解得“=一2,

m<0

則)=(-3,2),5=(1,-2),可得本各=一7,M=遙,

(a-b\7T('

所以3在B方向上的投影向量—b=--b^\--

Ib)5I、

(2)因為)=(加—1,2),b=(l,m).

若1與B的夾角為鈍角，則小B＜0且1與B不共線,

+＜01

則｛(，解得加＜￡且加。一1，

所以實數(shù)m的取值范圍為

19.已知向量Q=(l,百)，b=

⑴若機=3,求卜+可；

⑵若求B在］上的投影向量(用坐標表示)

【答案】⑴B++2⑺⑵(竽］

【分析】(1)把加=3代入B中，再根據(jù)￡+5的坐標去求模長即可；

(2)根據(jù)把坐標代入計算求出加的值，再列式求得3在°上的投影向量.

【詳解】(1)當俏=3時，加=(3,百)，a+B=(4,2百)，

??.|a+5|="+(2⑹2=2A/7.

-?(-3-、-(-3-)-?23--

(2)'：aL\a——b,：.a-\a——6=0,：.a——a-b=0,

?了在Z上的投影向量為4.2=二1*￥i=2(1⑹至1

問問71+371+33、，(33J

20.已知同=痣州=1,1與B的夾角為45。.

⑴求B在日方向上的投影向量；

(2)求忸+可的值.

【答案】⑴］(2)713.

【分析】(1)根據(jù)向量在向量上的投影向量的概念求解；

(2)根據(jù)數(shù)量積的運算法則求模即可.

【詳解】(1)B在。方向上的投影向量為限BV2X1X-一

—,u=---------------a=-CL

手1=..

(2)|25+61=7(25+^)2=^4a2+4a-b+b2=J8+4xVIx1

考點03:奔馳定理解決三角形面積比問題

奔馳定理一解決面積比例問題

重心定理：三角形三條中線的交點.

已知△48。的頂點/（西，%），8（迎，%），C（x3,y｝）,則△4BC的重心坐標為

X,+X2+X3yt+y2+y3

133'

注意：（1）在△NBC中，若。為重心，則方+礪+反=6.

（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1,且分的三個三角形面積相等.

重心的向量表示:.

奔馳定理：S/C?+SB-9+SC?雙=02!|44O8、△40C、ABOC的面積

之比等于4：4：4

奔馳定理證明：如圖，令4厲=兩，4礪=兩，4碇=西，即滿足

區(qū)+函+元=o

—?1—?2―?

21.點。在AASC的內(nèi)部，且滿足：AO=—AB+—AC,則AASC的面積與的面積之

比是（）

75

A.-B.3C.-D.2

22

【答案】C

4

【分析】利用向量的平行四邊形法則可知點。在的中線上，且。臺與此，從而可得

41

皿，根據(jù)S”皿=jS“蛇即可求解.

【詳解】

B

所以前=；（前一刀）+|■（反，即無+2方+2雙=6,

取NC中點為點。,

則E+反=2歷，即4歷=-礪，

4

所以。在中線上，SLOB=-BD

過O,。，分別作邊上的高，垂足為M,N,

0MOB4

貝nljl——=——=-,

DNBD5

41

所以S&AOB=yS&ABD'S"BD=JABC?

2

所以S“05=]S"蛇，

所以產(chǎn)=,

'△AOB2

故選：C.

22.設(shè)點。是。3C所在平面內(nèi)一點，則下列說法錯誤的是（）

A.若方+礪+云=6，則。為的重心；

B.若（E+礪）.五§=（醞+工）.芯=0,則。為。BC的垂心;

C.若嗡+煮）"c=a篙胎則“BC為等邊三角形;

2

D.若刀+2①+3元=6，則△8OC與AJ8C的面積之比為S讖GSMCULG.

【答案】B

【分析】利用向量數(shù)乘運算和三角形重心定義判斷選項A；利用向量數(shù)量積運算和三角形垂

心定義判斷選項B；利用向量數(shù)量積運算和等邊三角形定義判斷選項C；求得aBOC與aABC

的面積之比判斷選項D.

【詳解】對于A,如圖，取N8邊中點。，連接48邊上的中線CD,則E+麗=2礪，

X---04+05+OC=o，?,?2O5+OC=0.：.\OC\=2\OD\,

二。為。8c的重心，故選項A正確;

對于B,如圖，取48邊中點。，3c邊中點E,連接0。，OE,

貝?出+礪=2無，OB+OC=2OE，

???@+珂?益=（礪+西灰=0,

:2歷?方=2礪灰=0，

■■OD-7B=OEJC=Q^■■ODLAB^OE\.~BC，

：.OD±AB,OEYBC,

■■OD,OE分別是48,8c邊上的垂直平分線,

：.OA=OB=OC,。為“BC的外心，故選項B錯誤;

對于C,作角A的內(nèi)角平分線4E與BC邊交于點E,

ABAC_

為萬方向的單位向量，同為元方向的單位向量,

AB

ABAC_