半角模型綜合應用（知識解讀）-2023年中考數(shù)學重難點題型專項訓練

專題06半角模型綜合應用（知識解讀）

【專駁說跚】

角含半角模型，顧名思義即一個角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角

形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種:

旋轉目標三角形法和翻折目標三角形法。

【方放技巧】

類型一：等腰直角三角形角含半角模型

⑴如圖，在4ABC中，AB=AC,ZBAC=90°，點D,E在BC上，且NDAE=45°，則：BD+CE=DE.

旋轉法翻折法

作法1:將aABD旋轉90°作法2：分別翻折△ABD,Z\ACE

（2）如圖，在△ABC中，AB=AC,/BAC=90°,點D在BC上，點E在BC延長線上，且/

DAE=45°，貝lj：BD+CE=DE.

（3）如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時，亦可以進行兩種方法的操作處理..

任意等腰三角形

旋轉法齷折法

類型二：正方形中角含半角模型

（1）如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別在邊BC,CD上，NEAF=45°,連接EF,過點

A作AG_L于EF于點G,貝U：EF=BE+DF,AG=AD.

圖示（1）作法：將4ABE繞點A逆時針旋轉90°

（2）如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別在邊CB,DC的延長線上，NEAF=45°,連接

EF,則：EF=DF-BE.

圖示（2）作法：將4ABE繞點A逆時針旋轉90°

（3）如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對角互補的四邊形，在四方形ABCD中，AB=A

D,ZBAD+ZC=180°,點E,F分別在邊BC,CD±,ZEAF=2

ZBAD,連接EF,貝ij：EF=BE+DF.

圖示（3）作法：將aABE繞點A逆時針旋轉/BAD的大小

類型三：等邊三角形中120°含60°的半角模型

作輔助線：延長FC到G,使得CG=BE,連接DG

結論：ADEF四▲DGF；EF=BE+CF

【真例今新】

【類型一：等腰直角三角形角含半角模型】

【典例1】如圖，四邊形ABCD中，ZA=ZBC￡>=90°,BC=CD,若將△ABC繞著點C

逆時針旋轉90°得△￡￡>(7.

(1)求證：ZADC+ZC￡>E=180°；

(2)若A8=3C7W,AC=472cn)求的長；

(3)在(2)的條件下，求四邊形A2C。的周長和面積.

DE

【變式1-1］如圖，RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,D、E為8c邊上兩點，NDAE

=45°,過A點作5.AF^AE,連接。/、BF.下列結論：?AABF^AACE,

其中正確的個數(shù)有()

A

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1-2］如圖，等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點M,N在邊BC

上，且NMAN=45°.若BM=1,CN=3,則MN的長為.

【類型二：正方形中角含半角模型】

【典例2】(2022春?西山區(qū)校級月考)如圖，已知正方形ABC。，點E、尸分別是A3、BC

邊上，且/￡￡甲=45°,將繞點。逆時針旋轉90°,得到△DCM.

(1)求證：AEDF名AMDR

(2)若正方形A8CD的邊長為5,AE=2時，求EF的長？

A,________________D

BM

F

【變式2-1](2022春?路北區(qū)期末)如圖，在邊長為6的正方形ABC。內作/EAF=45°,

AE交BC于點、E,A尸交于點凡連接ER將△AOP繞點A順時針旋轉90°得到△

ABG.

(1)求證：GE=FE；

(2)若。尸=3,求的長為

【變式2-2](2021秋?山西期末)閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：

從正方形的一個頂點引出夾角為45。的兩條射線，并連接它們與該頂點的兩對邊的交點

構成的基本平面幾何模型稱為半角模型.半角模型可證出多個幾何結論，例如：

如圖1,在正方形中，以A為頂點的/EAP=45°,AE,AF與BC、C￡>邊分別交

于E、尸兩點.易證得EF=BE+FD.

大致證明思路：如圖2,將△AD尸繞點A順時針旋轉90°,得到由/H8E=180°

可得X、B、E三點共線，ZHAE=ZEAF=45°,進而可證明故EP=

BE+DF.

任務：

圖1圖2圖3

如圖3,在四邊形A8CD中，AB=AD,NB=/D=90°,NA4￡>=120°,以A為頂點

的/EAF=60°,AE,AF與8C、CD邊分別交于E、尸兩點.請參照閱讀材料中的解題

方法，你認為結論EF^BE+DF是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，

請說明理由.

【典例3］已知正方形A8CD中，ZMAN=45°,/MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分

別交CB,DC(或它們的延長線)于點M,N,AHLMN于點、H.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，當NMAN繞點A旋轉到時，請你直接寫出AH與A8的數(shù)量關

系：;

(2)如圖②，當NM4N繞點A旋轉到BMWDN時，(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關

系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；

(3)如圖③，已知NM4N=45°,AH_LMN于點“，且M”=2,AH=6,求N”的長.(可

利用(2)得到的結論)

【變式3-1】探究：

(1)如圖1,在正方形ABC。中，E、尸分別是BC、CD上的點，且/E4P=45°,試

判斷3E、。尸與EF三條線段之間的數(shù)量關系，直接寫出判斷結果：；

(2)如圖2,若把(1)問中的條件變?yōu)?'在四邊形ABC。中，ZB+ZD=180°,

E、廠分別是邊3C、C。上的點，且/胡尸=工/胡。”，則(1)問中的結論是否仍然

2

成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；

(3)在(2)問中，若將△AEF繞點A逆時針旋轉，當點分別E、尸運動到8C、CD延

長線上時，如圖3所示，其它條件不變，則(1)問中的結論是否發(fā)生變化？若變化，請

給出結論并予以證明.

D

E

圖1圖2圖3

【變式3-2］已知：如圖邊長為2的正方形A8C。中，ZMAN的兩邊分別交BC、CD邊于

M、N兩點，且NAMN=45°

①求證：MN=BM+DN；

②若AM、AN交對角線8。于E、F兩點.設DE=x,求y與x的函數(shù)關系式.

【類型三：等邊三角形中120°含60°的半角模型】

【典例4］已知在△ABC中，AB=AC,D,E是BC邊上的點，將△42。繞點A旋轉，得

到△AC。，連接OE.

(I)如圖1,當/BAC=120°,NZME=60°時，求證：DE=DE；

(II)如圖2,當。七時，請寫出/D4E與/BAC的數(shù)量關系，并說明理由.

(III)當/BAC=90°,DE=DE,EC=C。時，請直接寫出80與。E的數(shù)量關系(不

必說明理由).

圖1圖2

【變式4-1](2017秋?錦江區(qū)期末)在△ABC中，AB=AC,點E,F是邊BC所在直線上

與點3,C不重合的兩點.

(1)如圖1,當NBAC=90°,ZEAF=45°時，直接寫出線段BE,CF,EE的數(shù)量關

系；(不必證明)

(2)如圖2,當NBAC=60°,ZEAF=30°時，已知8E=3,CF=5,求線段EF的長

度；

(3)如圖3,當/8AC=90°,ZEAF=135°時，請?zhí)骄烤€段CE,BF,EF的數(shù)量關系，

【變式4-2】等邊△ABC,。為△ABC外一點，ZBDC=120°,BD=DC,/MDN=60°,

射線DM與直線AB相交于點M,射線DN與直線AC相交于點N,

①當點A/、N在邊A3、AC上，且。時，直接寫出8M、NC、MN之間的數(shù)量關

系.

②當點M、N在邊AB、AC上，且。時，猜想①中的結論還成立嗎？若成立，請

證明.

③當點M、N在邊42、CA的延長線上時，請畫出圖形，并寫出NC、MN之間的

數(shù)量關系.

A

AA

專題06半角模型（知識解讀）

【專莖餞明】

角含半角模型，顧名思義即一個角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角

形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種:

旋轉目標三角形法和翻折目標三角形法。

【方注技巧】

類型一：等腰直角三角形角含半角模型

（1）如圖，在^ABC中，AB=AC,ZBAC=90°，點D,E在BC±,且/DAE=45°，則:BD+CE=DE.

DE

旋轉法翻折法

作法1:將4ABD旋轉90°作法2:分別翻折△ABD,4ACE

（2）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=9O°,點D在BC上,點E在BC延長線上，且N

DAE=45°，貝U：BD+CE=DE.

旋轉法翻折法

（3）如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時，亦可以進行兩種方法的操作處理..

A

任意等腰三角形

類型二：正方形中角含半角模型

（1）如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別在邊BC,CD上，ZEAF=45°,連接EF,過點

A作AGJ_于EF于點G,則：EF=BE+DF,AG=AD.

圖示（1）作法：將4ABE繞點A逆時針旋轉90°

（2）如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別在邊CB,DC的延長線上，ZEAF=45°,連接

EF,則:EF=DF-BE.

圖示（2）作法：將4ABE繞點A逆時針旋轉90°

（3）如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對角互補的四邊形，在四方形ABCD中，AB=A

D,ZBAD+ZC=180°,點E,F分別在邊BC,CD上，NEAF=2

ZBAD,連接EF,貝l|：EF=BE+DF.

B,

A

圖示(3)作法：將AABE繞點A逆時針旋轉/BAD的大小

類型三：等邊三角形中120°含60°的半角模型

作輔助線：延長FC到G,使得CG=BE,連接DG

結論：▲DEF^^DGF；EF=BE+CF

【尊例今析】

【類型一：等腰直角三角形角含半角模型】

【典例1】如圖，四邊形A8C。中，ZA=ZBC￡>=90°,BC=CD,若將△ABC繞著點C

逆時針旋轉90°得△即C.

(1)求證：ZA￡)C+ZCDE=180°；

(2)若A3=3cwi,AC=4-72cn-求的長；

(3)在(2)的條件下，求四邊形ABC。的周長和面積.

ADF.

【解答】（1）證明：如圖，在四邊形ABCQ中，ZA=ZBCD=90°,則NB+NAr>C=

180°.

:將AABC繞著點C逆時針旋轉90°得△EOC,

AABC^AEDC,

：.ZCDE=ZCBA,

：.ZA￡)C+ZC￡>￡=180°；

(2)解::將△ABC繞著點C逆時針旋轉90°得△￡DC,

；.AC=EC=4V2cmAB=ED=3cm,ZAC￡=90°,

:.AE=y[^AC=8cm,

.\AD=AE-EC=AE-AB=5cm；

(3)解：如圖，連接8D.

由(2)知，AD=5cm.

則在直角△AB。中，由勾股定理得到：BD^7AB2+AD2^^34.

又■:BC=CD,NBCD=9Q°,

：.BC=CD=屏5,

V2

四邊形ABCD的周長為：42+4。+22。=3+5+2丁萬=8+2近7；

,?△ABC妾AEDC,

二四邊形ABC。的面積二人!。"的面積=』AC?CE=2X4aX4&=16(cm2).

22

綜上所述，四邊形ABC。的周長為(8+2^17)cm,面積為16c/w2.

【變式1-1］如圖，RtZsABC中，ZBAC=9Q°,AB=AC,D、E為8c邊上兩點，ZDAE

=45°,過A點作AB_LAE,5.AF^AE,連接。/、BF.下列結論：①△AB餐△ACE,

②平分/即/；③若BD=4,CE=3,則AB=6&；④若AB=BE,SMBD=

2-SAADE,

其中正確的個數(shù)有（）

C.3個D.4個

【答案】C

【解答】解：

.?.ZM￡=90°,

\'ZBAC=90°,

ZFAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,

：.ZFAB=ZEAC,

'：AB=AC,AF=AE,

：.AABF^AACE(SAS),

故①正確；

'：ZDAE=45°,ZFAE=90°,

：.ZFAD=ZFAE-Z￡)AE=45°,

.,.ZFAD^ZDAE,

'：AD=AD,AF=AE,

：./\FAD^/\EAD(SAS),

：.ZFDA=ZEDA,

.?.AD平分/即尸，

故②正確；

在RtZiABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZC=45°,BC=MAB,

'：△ABPdACE,

AZABF=ZC=45Q,BF=CE=3,

：.ZFBD=ZABF+ZABD=90°,

???DF=VBF2+BD2=VS2+42=5'

VAMD^AEAD,

：.FD=ED=5,

???8C=8D+DE+CE=4+5+3=12,

???A8=6&,

故③正確；

*：AB^BE,ZABE=45°,

:?NBAE=NBEA=675°,

VZDAE=45°,

ZAZ)E=180°-ZDAE-ZAED=67.5°,

???ZADB=ZAECf

VAB=AC,ZABE=ZC=45°,

AABD^AACE(AAS),

：.BD=CE,

?；BF=CE,

:.BD=BF,

'：ZFBD=90°,

:?DF=?BD,

：.DE=42BD,

SAADE=SAABD,

故④錯誤；

綜上所述，正確的個數(shù)有3個，

故選：C

【變式1-2］如圖，等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,A8=AC,點M,N在邊BC

上，且NMAN=45°.若8M=1,CN=3,則MN的長為.

【解答】解：將逆時針旋轉90°到△ACE連接NR

/.CF=BM,AF=AM,ZB=ZACF.Z2=Z3,B、

「△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,ZBAC=90°,/h

.,.ZB=ZACB=45°,\/I\

'：ZMAN=45°,

/.ZNAF=Zl+Z3=Zl+Z2=90°-45°=45°=ZNAF,

在和△H1N中

fAN=AN

,ZMAN=ZFAN

AM=AF

/\MAN^/\FAN,

:.MN=NF,

VZACF=ZB=45°,ZACB=45°,

：.ZFCN=90°,

\'CF=BM=1,CN=3,

...在RtzXCFN中，由勾股定理得：

故答案為：Vio.

【類型二：正方形中角含半角模型】

【典例2】(2022春?西山區(qū)校級月考)如圖，已知正方形ABC。，點E、尸分別是AB、BC

邊上，且/EDF=45°,將△D4E繞點。逆時針旋轉90°,得到△QCM.

(1)求證：4EDF24MDF；

(2)若正方形A8CD的邊長為5,AE=2時，求斯的長？

【解答】(1)證明：???四邊形ABCO是正方形,

ZA=ZB=ZDCF=90°,AD=AB=BC=5,

由旋轉得：

ZA=ZDCM=90°,DE=DM,ZEDM=90°,

/.ZDCF+ZDCM=180°,

???RC、M三點在同一條直線上，

VZEZ)F=45°,

：.ZFDM=ZEDM-ZEDC=45°,

???ZEDF=FDM,

*；DF=DF,

:?叢EDF絲叢MDF(SAS)；

(2)設。尸=x,

：.BF=BC-CF=5-x,

由旋轉得：AE=CM=2,

：.BE=AB-AE=3,FM=CF+CM=2+x,

〈△EDF沼LMDF,

：.EF=FM=2+x,

在Rt△防廠中，BE2+BF2=EF2,

???9+(5-x)2=(2+x)2,

.??尸人—15,

7

.,.EF=2+x=-^-,

7

，￡1尸的長為空.

7

【變式2-1](2022春?路北區(qū)期末)如圖，在邊長為6的正方形4BC。內作/EAE=45°,

AE交BC于點E,AF交C。于點八連接E凡將△A。尸繞點A順時針旋轉90°得到△

ABG.

(1)求證：GE=FE；

【解答】（1）證明：:將△&￡）/繞點A順時針旋轉90°得到△ABG,

AADF^AABG,

：.DF=BG,ZDAF=ZBAG,

'：ZDAB=90°,Z￡AF=45°,

：.ZDAF+ZEAB^45°,

：.ZBAG+ZEAB=45°,

：.ZEAF=ZEAG,

在△EAG和廠中，

'AG=AF

，ZEAG=ZEAF>

AE=AE

：./\EAG^/\EAF(SAS),

：.GE=FE,

(2)解：設2￡=尤，貝l|GE=2G+2E=3+x,CE=6-x,

.'.EF=3+x,

'：CD=6,DF=3,

；.CP=3,

；NC=90°,

:.(6-x)2+32=(3+x)2,

解得，尤=2,

即BE=2,

【變式2-2](2021秋?山西期末)閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：

從正方形的一個頂點引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點的兩對邊的交點

構成的基本平面幾何模型稱為半角模型.半角模型可證出多個幾何結論，例如：

如圖1,在正方形A3。中，以A為頂點的/EAF=45°,AE、A尸與BC、邊分別交

于E、尸兩點.易證得EF=BE+FD

大致證明思路：如圖2,將△A。F繞點A順時針旋轉90°,得到△ABH,由ZHBE=180°

可得X、B、E三點共線，/HAE=NEAF=45°,進而可證明之△AER故跖=

BE+DF.

任務:

圖1圖2圖3

如圖3,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,ZBA￡)=120°,以4為頂點

的/EAF=60°,AE,A尸與BC、CO邊分別交于E、B兩點.請參照閱讀材料中的解題

方法，你認為結論EF=BE+DF是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，

請說明理由.

【解答】解：成立.

證明：將繞點A順時針旋轉120°得到

ZABM=ZD=90°,ZMAB=ZFAD,AM=AF,MB=DF,

：.NMBE=ZABM+ZABE^180°,

：.M,B、E三點共線，

AZMAE=ZMAB+ZBAE^ZFAD+ZBAE=ZBAD-ZEAF=60°,

：.ZMAE=ZFAE,

'：AE^AE,AM^AF,

：./\MAE^/\FAE(SAS),

：.ME=EF,

：.EF=ME=MB+BE=DF+BE.

【典例3］已知正方形ABC。中，ZMAN=45°,/MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分

別交CB,OC(或它們的延長線)于點M,N,AHLMN于點、H.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，當NMAN繞點A旋轉到時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關

系：;

(2)如圖②，當NM4N繞點A旋轉到時，(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與4?的數(shù)量關

系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；

(3)如圖③，已知/MAN=45°,AH_LMN于點"，且MH=2,AH=6,求的長.(可

利用(2)得到的結論)

【解答】解：(1)?..正方形ABCD

：.AB^AD,NB=ND=NBAD=9O°,

在RtAABM和RtAADN中，

'AB=AD

<ZB=ZD-

BM=DN

RtAABM^RtAADN(SAS),

ZBAM=ADAN,AM=AN,

VZMAN=45°,

：.ZBAM+ZDAN=45°,

4M=NZMN=22.5°,

VZAMN=45°,AM=AN,AHLMN

：.ZMAH=ZNAH=22.5°,

：.ZBAM=ZMAH,

在RtAABM和RtAAHM中，

，ZBAM=ZMAH

<ZB=ZAHM'

AM=AM

RtAABM^RtAAHM(AAS),

故答案為：AB=AH；

(2)AB=A8成立，理由如下：

延長CB至E,使BE=DN,如圖:

"/四邊形ABCD是正方形，

：.AB=AD,ZD=ZABE=90°,

ARt/\AEB^Rt/\AND(SAS),

：.AE=AN,/EAB=NNAD,

VZDAN+ZBAM=45°,

：.ZEAB+ZBAM^45°,

：.ZEAM=45°,

:.NEAM=NNAM=45°,

又AM=AM,

：.(SAS),

,：AB,4H是△AEM和△ANM對應邊上的高,

：.AB=AH.

(3)分別沿AM,AN翻折和得到△ABM和△3￡>,分別延長BM和

ON交于點C,如圖：

?.,沿AM,A2V翻折△AM”和得到△ABM和△AN。，

.?.AB=AH=A￡>=6,ZBAD^2ZMAN^90°,ZB=ZAHM=90°=NAHN=ND,

四邊形ABC。是正方形，

AH=AB=BC=CD=AD=6.

由(2)可知，設NH=x,則MC=BC-8M=BC-HM=4,NC=CD-DN=CD-NH=

6-x,

在RtZJWCN中，由勾股定理，得M^uMC^+NC?,

(2+x)2=42+(6-x)2,

解得無=3,

:.NH=3

【變式31】探究：

(1)如圖1,在正方形48CD中，E、尸分別是BC、C。上的點，且/E4P=45°,試

判斷8E、與跖三條線段之間的數(shù)量關系，直接寫出判斷結果：；

(2)如圖2,若把(1)問中的條件變?yōu)?在四邊形A2CZ)中，A2=AZ),ZB+ZD=180°,

E、廠分別是邊BC、C。上的點，且,則(1)問中的結論是否仍然

2

成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；

(3)在(2)問中，若將斯繞點A逆時針旋轉，當點分別￡、尸運動到BC、CD延

長線上時，如圖3所示，其它條件不變，則(1)問中的結論是否發(fā)生變化？若變化，請

給出結論并予以證明.

【解答】解：⑴如圖1,將△4￡>/繞點A順時針旋轉，使A。與重合，得到,

VZ￡AF=45°,

：.ZEAF'=ZEAF=45°,

在斯和△?!￡1尸'中，

'AF=AF'

<ZEAF7=ZEAF-

AE=AE

:.△AEQAAEF'(SAS),

:.EF=EF',

又EF'=BE+BF'=BE+DF,

:.EF=BE+DF；

(2)結論所=2E+D/仍然成立.

理由如下：如圖2,將△A。/繞點A順時針旋轉，使AD與AB重合，得到△ABP',

貝l|△AZ)/絲△ABF',

ZBAF'=ZDAF,AF'=AF,BF'=DF,/ABF'=ZD,

2

ZEAF=NDAF+NBAE=ZBAE+ZBAF',

AZEAF=ZEAF',

又?.,NABC+/O=180°,

:.NABF'+ZABE=180°,

：.F'>B、E三點共線，

在與△AEP中，

'AF=AF'

-ZEAF=ZEAFy，

AE=AE

△A￡F^AA￡F,(SAS)，

：.EF=EF',

又,：EF=BE+BF',

:.EF=BE+DF；

(3)發(fā)生變化.EF、BE、。尸之間的關系是E/=BE-￡>E

理由如下：如圖3,將AA。尸繞點A順時針旋轉，使AO與重合，點F落在BC上點

F,處，得至！J△ABP,

：./\ADF^^\ABF',

/.ZBAF'=ZDAF,AF'=AF,BF'=DF,

又且=NDAF,

2

：.ZF'AE=ZBAD-(ZBAF'+ZEAD)=ABAD-(ZDAF+ZEAD)=ZBAD-Z

FAE=NFAE,

即/AE=ZFAE,

，研，=AF

在△尸'AE與△於E中，，NF'AE=ZFAE>

AE=AE

△尸'AE^/\FAE(SAS),

：.EF=EF',

又,：BE=BF'+EF',

：.EF'=BE-BF',

即EF=BE-DF.

【變式3-2］已知：如圖邊長為2的正方形ABCD中，/MAN的兩邊分別交BC、CD邊于

M,N兩點，且NMAN=45°

①求證：MN=BM+DN；

②若AM、AN交對角線2。于E、尸兩點.設DE=x,求y與x的函數(shù)關系式.

【解答】（1）證明：將繞點A逆時針旋轉90°至△A0M',

ZM'AN^ZDAN+ZMAB^45°,AM'=AM,BM=DM'

"：M'AN=ZMAN=45°,AN=AN,

:.叢AMN沿AAM'N',

：.MN=NM',

：.M'N=M'D+DN^BM+DN,

：.MN=BM+DN.

(2)解：VZAED=45°+/BAE,ZMB=45°+ZBAE,

：.NAED=NFAB,

NABF=ZADE,

；.ABFASADAE,

.BF.AB

ADDE

?v_=2_

2x'

【類型三：等邊三角形中120°含60°的半角模型】

【典例4］已知在△ABC中，AB=AC,D,E是邊上的點，將△A3。繞點A旋轉，得

到△AC。，連接D'E.

(I)如圖1,當/54C=120°,ZZ)AE=60°時，求證：DE=DE；

(II)如圖2,當。七時，請寫出/D4E與/BAC的數(shù)量關系，并說明理由.

(III)當NBAC=90°,DE=DE,EC=C。時，請直接寫出8。與。E的數(shù)量關系(不

必說明理由).

圖1圖2

【解答】（/）證明：：將繞點A旋轉，得到△AC。,

：.AD=AD',ZCAD'=BAD,

VZBAC=120°,Z￡）A￡=60°,

ZD'AE=Z.CAD'+ACAE

=ZBAD+ZCAE

=ABAC-ZDAE

=120°-60°

=60°,

ZDAE=ZD'AE,

在△4￡)￡1與△A77E中，

'AD=AD'

'ZDAE=ZDZAE-

AE=AE

Z.(SAS),

：.DE=D'E-,

(II)解：Z￡>AE=-A-^Z,理由如下：

在△ADE與△AOE中，

，AD=AD/

<AE=AE，

DE=D'E

AADE^AAD'E(SSS),

ZDAE=ZD'AE,

：.ZBAD+ZCAE=ZCAD'+ZCAE=ZD'AE=ZDAE,

'ZZ)A￡=2-ZBAC；

(III)解：DE=y[^BD,理由如下：

9：ZBAC=90°,AB=AC,

：.ZB=ZACD=45°,

:?NECD=90°,

'：EC=CD',

???△EC。是等腰直角三角形，

:.D'E=MCD'=BD,

,:DE=D'E,

:.DE=?BD.

【變式4-1](2017秋?錦江區(qū)期末)在AABC中，AB=AC,點E,尸是邊BC所在直線上

與點8,C不重合的兩點.

(1)如圖1,當/BAC=90°,ZEAF=45°時，直接寫出線段BE,CF,跖的數(shù)量關

系；(不必證明)

(2)如圖2,當4c=60°,ZEAF=3Q°