人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊學案：習題課　兩個計數(shù)原理及排列組合

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1習題課兩個計數(shù)原理及排列組合課標要求素養(yǎng)要求1.進一步理解兩個計數(shù)原理，掌握解決計數(shù)實際問題的基本思想.2.理解排列、組合的概念，加深公式的理解應用；利用排列、組合解決一些簡單的實際問題.通過回顧相關的知識，進一步提升數(shù)學抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究有10個年輕人在一家飯店吃飯，幾個人商議想吃免費的午餐，老板說“你們每次來吃飯由我安排座位，如果我安排的座位與前面的哪一次完全重復了，就免去全部費用”．大家以為很快就能吃到免費的午餐，結(jié)果一年以后還沒吃到，你認為他們可能吃到嗎？問題上述情景中，他們能吃到免費的午餐嗎，為什么？〖提示〗上述情景中，老板安排10人的座位共有10?。?628800(種)排法，就算每天吃一餐，也要近1萬年才能排完，所以這10個人不可能吃到免費的午餐．1．分類加法計數(shù)原理計算公式：N＝m1＋m2＋…＋mn.分步乘法計數(shù)原理計算公式：N＝m1×m2×…×mn.2．排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)；組合數(shù)公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，m≤n)．3．解決受限制條件的排列、組合問題的一般策略(1)特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排的策略；(2)正難則反，等價轉(zhuǎn)化的策略；(3)相鄰問題，捆綁處理的策略；(4)不相鄰問題，插空處理的策略；(5)定序問題，除法處理的策略；(6)“小集團”排列問題，先整體后局部的策略；(7)平均分組問題，除法處理的策略；(8)構(gòu)造模型的策略．拓展深化〖微判斷〗1．從3，5，7，11中任取兩個數(shù)相除屬于組合問題．(×)〖提示〗由于兩個數(shù)相除與順序有關，所以是排列問題．2．由于組合數(shù)的兩個公式都是分式，所以結(jié)果不一定是整數(shù)．(×)〖提示〗Ceq\o\al(m,n)是從n個不同元素中取m個不同元素的情況的種數(shù)，故Ceq\o\al(m,n)一定是正整數(shù)．3．區(qū)別組合與排列的關鍵是看問題元素是否與順序有關．(√)〖微訓練〗1．Aeq\o\al(2,4)－Ceq\o\al(2,3)＝()A．9 B．12C．15 D．3〖解析〗由題意得Aeq\o\al(2,4)－Ceq\o\al(2,3)＝4×3－eq\f(3×2,2)＝12－3＝9.〖答案〗A2．若Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，則m等于()A．9 B．8C．7 D．6〖解析〗因為Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，所以m(m－1)(m－2)＝6·eq\f(m（m－1）（m－2）（m－3）,4×3×2×1)，即1＝eq\f(m－3,4)，解得m＝7.〖答案〗C3．3名男生和3名女生排成一排，男生不相鄰的排法有()A．144種 B．90種C．260種 D．120種〖解析〗3名女生先排好，有Aeq\o\al(3,3)種排法，讓3個男生去插空，有Aeq\o\al(3,4)種方法，故共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,4)＝144(種)排法．〖答案〗A〖微思考〗1．在排列數(shù)中，n，m的作用是什么？〖提示〗n是連續(xù)相乘正整數(shù)(因式)中的最大的數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個數(shù)取決于m.2．定序問題是排列問題還是組合問題？〖提示〗定序是指某些元素的順序是一定的，即順序?qū)υ夭辉佼a(chǎn)生影響，所以是組合問題.題型一兩個計數(shù)原理的應用〖例1〗(1)如圖所示，使電路接通，開關不同的開閉方式共有()A．11 B．12C．20 D．21〖解析〗根據(jù)題意，設5個開關依次為1，2，3，4，5，若電路接通，則開關1，2與3，4，5中分別至少有1個接通，對于開關1，2，共有2×2＝4(種)情況，其中全部斷開的有1種情況，則其至少有1個接通的有4－1＝3(種)情況；對于開關3，4，5，共有2×2×2＝8(種)情況，其中全部斷開的有1種情況，則其至少有1個接通的有8－1＝7(種)情況，則電路接通的情況有3×7＝21(種)．故選D.〖答案〗D(2)電視臺在某節(jié)目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有__________種不同的結(jié)果．〖解析〗在甲箱或乙箱中抽取幸運之星，決定了后邊選幸運伙伴是不同的，故要分兩類分別計算：(1)幸運之星在甲箱中抽，先確定幸運之星，再在兩箱中各確定一名幸運伙伴，有30×29×20＝17400(種)結(jié)果；(2)幸運之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11400(種)結(jié)果．因此共有17400＋11400＝28800(種)不同結(jié)果．〖答案〗28800規(guī)律方法“類”與“步”可進一步地理解為：“類”用“＋”號連接，“步”用“×”號連接，“類”獨立，“步”連續(xù)，“類”標志一件事的完成，“步”缺一不可．〖訓練1〗(1)現(xiàn)有4種不同顏色，要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A．24種 B．30種C．36種 D．48種〖解析〗將原圖從上而下的4個區(qū)域標為1，2，3，4.因為1，2，3之間不能同色，1與4可以同色，因此，要分類討論1，4同色與不同色這兩種情況．故不同的著色方法種數(shù)為4×3×2＋4×3×2×1＝48.故選D.〖答案〗D(2)有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復．若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測一人，則不同的安排方式共有__________種(用數(shù)字作答)．〖解析〗上午總測試方法有4×3×2×1＝24(種)；我們以A，B，C，D，E依次代表五個測試項目．若上午測試E的同學下午測試D，則上午測試A的同學下午只能測試B，C，確定上午測試A的同學后其余兩位同學上、下午的測試方法共有2種；若上午測試E的同學下午測試A，B，C之一，則上午測試A，B，C中任何一個的同學下午都可以測試D，安排完這位同學后其余兩位同學的測試方式就確定了，故共有3×3＝9(種)測試方法，即下午的測試方法共有11種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，總的測試方法共有24×11＝264(種)．〖答案〗264題型二有限制條件的排列、組合問題〖例2〗為迎接國慶，某校舉辦了“祖國，你好”詩歌朗誦比賽．該校高三年級準備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學生中選派4名學生參加，要求甲、乙、丙這3名學生中至少有1人參加，且當這3名學生都參加時，甲和乙的朗誦順序不能相鄰，那么選派的4名學生不同的朗誦順序的種數(shù)為()A．720 B．768C．810 D．816〖解析〗根據(jù)題意，在7名學生中選派4名學生參加詩歌朗誦比賽，有Aeq\o\al(4,7)＝840(種)情況，其中甲、乙、丙都沒有參加，即選派其他四人參加的情況有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)，則甲、乙、丙這3名學生中至少有1人參加的情況有840－24＝816(種)，其中當甲、乙、丙都參加且甲和乙相鄰的情況有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝48(種)，則滿足題意的朗誦順序有816－48＝768(種)．故選B.〖答案〗B規(guī)律方法(1)排列問題的限制條件一般表現(xiàn)為：某些元素不能在某個位置，某個位置只能放某些元素等．要先處理特殊元素或先處理特殊位置，再去排其他元素．當用直接法比較麻煩時，可以用間接法，先不考慮限制條件，把所有的排列數(shù)算出，再從中減去全部不符合條件的排列數(shù)，這種方法也稱為“去雜法”，但必須注意要不重復，不遺漏(去盡)．(2)對于某些特殊問題，可采取相對固定的特殊方法，如相鄰問題，可用“捆綁法”，即將相鄰元素看成一個整體與其他元素排列，再進行內(nèi)部排列；不相鄰問題，則用“插空法”，即先排其他元素，再將不相鄰元素排入形成的空位中．(3)對于定序問題，可采用“除階乘法”解決，即用不限制的排列數(shù)除以順序一定元素的全排列數(shù)．〖訓練2〗某食堂每天中午準備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；(2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯．則每天不同午餐的搭配方法共有()A．210種 B．420種C．56種 D．22種〖解析〗由分類加法計數(shù)原理知，兩類配餐的搭配方法之和即為所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,7)＝210(種)．〖答案〗A題型三排列、組合的綜合應用〖例3〗有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門不同學科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔任語文課代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔任數(shù)學課代表；(4)某女生一定要擔任語文課代表，某男生必須擔任課代表，但不擔任數(shù)學課代表．解(1)先選后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)種，后排有Aeq\o\al(5,5)種，共(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3))·Aeq\o\al(5,5)＝5400種．(2)除去該女生后，先取后排，有Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(4,4)＝840種．(3)先選后排，但先安排該男生，有Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝3360種．(4)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有Ceq\o\al(3,6)種，再安排該男生有Ceq\o\al(1,3)種，其中3人全排有Aeq\o\al(3,3)種，共Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360(種)．規(guī)律方法解決有關排列與組合的綜合應用問題尤其應注意兩點：(1)審清題意，區(qū)分哪是排列，哪是組合；(2)往往綜合問題會有多個限制條件，應認真分析確定分類還是分步．〖訓練3〗有五張卡片，它們的正、反面分別寫著0與1，2與3，4與5，6與7，8與9.將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？解法一從0和1這個特殊情況考慮，可分三類：第1類：取0不取1，可先從另四張卡片中選一張作百位，有Ceq\o\al(1,4)種方法；0可在后兩位，有Ceq\o\al(1,2)種方法；最后需從剩下的三張中任取一張，有Ceq\o\al(1,3)種方法；又除含0的那張外，其他兩張都有正面或反面兩種可能，故此時可得不同的三位數(shù)有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,3)×22個．第2類：取1不取0，同上分析可得不同的三位數(shù)Ceq\o\al(2,4)×22×Aeq\o\al(3,3)個．第3類：0和1都不取，有不同的三位數(shù)Ceq\o\al(3,4)×23×Aeq\o\al(3,3)個．綜上所述，不同的三位數(shù)共有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,3)×22＋Ceq\o\al(2,4)×22×Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)×23×Aeq\o\al(3,3)＝432(個)．法二任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)Ceq\o\al(3,5)×23×Aeq\o\al(3,3)個，其中0在百位的有Ceq\o\al(2,4)×22×Aeq\o\al(2,2)個，這是不合題意的，故不同的三位數(shù)共有Ceq\o\al(3,5)×23×Aeq\o\al(3,3)－Ceq\o\al(2,4)×22×Aeq\o\al(2,2)＝432(個).一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學習，進一步提升數(shù)學抽象及邏輯推理素養(yǎng)．2．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是兩個最基本、也是最重要的原理，是解答排列、組合問題，尤其是較復雜的排列、組合問題的基礎．3．解排列、組合綜合題一般是先選元素、后排元素，或充分利用元素的性質(zhì)進行分類、分步，再利用兩個基本計數(shù)原理作最后處理．4．對于分配問題，解題的關鍵是要搞清楚事件是否與順序有關，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復或遺漏．二、素養(yǎng)訓練1．給一些書編號，準備用3個字符，其中首字符用A，B，后兩個字符用a，b，c(允許重復)，則不同編號的書共有()A．8本 B．9本C．12本 D．18本〖解析〗由分步乘法計數(shù)原理得，不同編號的書共有2×3×3＝18(本)．〖答案〗D2．從4男3女志愿者中選1女2男分別到A，B，C三地去執(zhí)行任務，則不同的選派方法有()A．36種 B．108種C．210種 D．72種〖解析〗從4男3女志愿者中選1女2男有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＝18(種)方法，分別到A，B，C地執(zhí)行任務，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的選派方法有18×6＝108(種)．〖答案〗B3．有5本不同的教科書，其中語文書2本，數(shù)學書2本，物理書1本．若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數(shù)是()A．24 B．48C．72 D．96〖解析〗根據(jù)題意可先擺放2本語文書，當1本物理書在2本語文書之間時，只需將2本數(shù)學書插在前3本書形成的4個空中即可，此時共有Aeq\o