專題12.15 三角形全等幾何模型（半角模型）（人教版）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題12.15三角形全等幾何模型（半角模型）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【定義】把過(guò)等腰三角形頂角的頂點(diǎn)引兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半，這樣的模型稱為半角模型。【特征】（1）大角內(nèi)部有一個(gè)小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的兩邊相等?！绢愋汀咳缦聢D，有三類型半角模型【解題思路】半角模型解題思路是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等，應(yīng)用兩次全等（兩次全等判定都是SAS型）解題，具體步驟如下：（1）將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并形成新的三角形（但要注意解題時(shí)通常不一定是說(shuō)旋轉(zhuǎn)，因?yàn)椴荒鼙ＷC旋轉(zhuǎn)后兩個(gè)三角形的邊共線）；（2）證明（1）中構(gòu)造的三角形與原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通過(guò)旋轉(zhuǎn)方式得到三角形，則沒(méi)有這一步）；（3）證明合并形成的新三角形與原半角形成的三角形全等（SAS）；（4）通過(guò)全等的性質(zhì)得出線段相等、角度相等，從而解決問(wèn)題.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】“等邊三角形含半角”模型【例1】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在四邊形中，分別是上的點(diǎn)，且．求證：．【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接，先證明，得到；再證明，進(jìn)而證明，得到，則．證明：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接．在和中，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴，∴，∴．【變式】（22-23八年級(jí)上·河北石家莊·期中）已知四邊形中，，，，，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)．（1）當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），試猜想線段之間存在的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．（不需要證明）；（2）當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并證明．【答案】(1)(2)以上結(jié)論不成立，應(yīng)為，證明見(jiàn)詳解【分析】本題幾何變換綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助性、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)使，連接，分別證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、結(jié)合圖形證明結(jié)論；（2）延長(zhǎng)至G，使仿照（1）的證明方法解答．（1）解：，理由如下：延長(zhǎng)至點(diǎn)使，連接，在與中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴；（2）解：以上結(jié)論不成立，應(yīng)為，理由如下：延長(zhǎng)至G，使由（1）可知，，∴，∴，∵∴∴∴【題型2】“等腰三角形含半角”模型【例2】（23-24八年級(jí)上·河南漯河·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，．（1）求證：．（2）求證：平分．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；（1）延長(zhǎng)到，使，連接．先說(shuō)明，然后利用全等三角形的性質(zhì)和已知條件證得，最后再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和線段的和差即可解答；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得，，即可得出，即可得證．（1）證明：延長(zhǎng)到，使，連接．，，．，．

．．又，．．．；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，即平分．【變式】（23-24八年級(jí)上·北京朝陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與重合），以為一邊在的右側(cè)作，使．設(shè)．（1）如圖1，如果___________度；（2）如圖2，你認(rèn)為之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．（3）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出你的結(jié)論．（B、C、E三點(diǎn)不共線）【答案】(1)；(2)；(3)圖象見(jiàn)詳解；；【分析】（1）先證明（），則可得，根據(jù)，可知；（2）已知，則，則，根據(jù)則．（3）連接，作使得，，連接、：根據(jù)，，可得，證明，進(jìn)而可得，則，由此可證明之間存在數(shù)量關(guān)系為；（1）解：在與中，，∴（），∴，∵，∴∴故答案為：；（2）解：已知，∴，∴，∵∴∴．（3）解：連接，作使得，，連接、，可得下圖：∵，，∴；在和中，，∴；∴；∴，∴之間存在數(shù)量關(guān)系為．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，能夠熟練掌握全等三角形的判定定理，找出相應(yīng)的判定條件是解決本題的關(guān)鍵．【題型3】“正方形含半角”模型【例3】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在直線BC上，作射線AP，將射線AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線AQ，交直線CD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E，交AQ于點(diǎn)F，連接DF．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）用等式表示線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析；（2）BE+DF=EF，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可．（2）延長(zhǎng)FE到H,使EH=EF，根據(jù)題意證明△ABH≌△ADF，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．（1）補(bǔ)全圖形（2）BE+DF=EF．證明：延長(zhǎng)FE到H,使EH=EF∵BE⊥AP，∴AH=AF，∴∠HAP=∠FAP=45°，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°∴∠BAP+∠2=45°，∵∠1+∠BAP=45°∴∠1=∠2，∴△ABH≌△ADF，∴DF=BH，∵BE+BH=EH=EF，∴BE+DF=EF．【點(diǎn)撥】此題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線．【變式】將銳角為45°的直角三角板MPN的一個(gè)銳角頂點(diǎn)P與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，正方形ABCD固定不動(dòng)，然后將三角板繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，∠MPN的兩邊分別與正方形的邊BC、DC或其所在直線相交于點(diǎn)E、F，連接EF．（1）在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠MPN的兩邊分別與正方形的邊CB、DC相交時(shí)，如圖1所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE、DF、EF滿足的數(shù)量關(guān)系；（2）在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠MPN的兩邊分別與正方形的邊CB、DC的延長(zhǎng)線相交時(shí)，如圖2所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE、DF、EF滿足的數(shù)量關(guān)系；（3）若正方形的邊長(zhǎng)為4，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠MPN的一邊恰好經(jīng)過(guò)BC邊的中點(diǎn)時(shí)，試求線段EF的長(zhǎng)．【答案】（1）EF=DF+BE；（2）EF=DF-BE；（3）線段EF的長(zhǎng)為或．【分析】（1）延長(zhǎng)FD至G，使DG=BE，連接AG，先證△ABE≌△ADG，再證△GAF≌△EAF即可；（2）在DC上截取DH=BE，連接AH，先證△ADH≌△ABE，再證△HAF≌EAF即可；（3）分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題．解：（1）結(jié)論：EF=BE+DF．理由：延長(zhǎng)FD至G，使DG=BE，連接AG，如圖①，∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF（AAS），∴EF=GF，∴GF=DF+DG=DF+BE，即：EF=DF+BE；（2）結(jié)論：EF=DF-BE．理由：在DC上截取DH=BE，連接AH，如圖②，∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，∴∠DAH+∠BAF=45°，∴∠HAF=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△HAF≌EAF（SAS），∴HF=EF，∵DF=DH+HF，∴EF=DF-BE；（3）①當(dāng)MA經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)E時(shí)，同（1）作輔助線，如圖：設(shè)FD=x，由（1）的結(jié)論得FG=EF=2+x，F(xiàn)C=4-x．在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，∴x=，∴EF=x+2=．②當(dāng)NA經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)G時(shí)，同（2）作輔助線，設(shè)BE=x，由（2）的結(jié)論得EC=4+x，EF=FH，∵K為BC邊的中點(diǎn)，∴CK=BC=2，同理可證△ABK≌FCK（SAS），∴CF=AB=4，EF=FH=CF+CD-DH=8-x，在Rt△EFC中，由勾股定理得到：（4+x）2+42=（8-x）2，∴x=，∴EF=8-=．綜上，線段EF的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)撥】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．第三部分【拓展延伸】【例1】（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·開(kāi)學(xué)考試）【基本模型】

如圖，是正方形，，當(dāng)在邊上，在邊上時(shí)，如圖1，、與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．【模型運(yùn)用】當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，請(qǐng)你探究、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論：__________．【拓展延伸】如圖3，已知，，在線段上，在線段上，，請(qǐng)你直接寫(xiě)出、與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】【基本模型】；【模型運(yùn)用】：，證明見(jiàn)解析；【拓展延伸】：．【分析】（1）結(jié)論：．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，然后求出，利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，從而得解；（2）結(jié)論：，證明方法同法（1）；（3）結(jié)論：．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，對(duì)應(yīng)邊相等可得，，對(duì)應(yīng)角相等可得，再根據(jù)證明，并證明、、三點(diǎn)共線，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，從而得解．解：（1）結(jié)論：．理由：如圖1，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，

則：，，，∴，即：三點(diǎn)共線，，∴，∴，，在和中，，，，又，．故答案為：；（2）結(jié)論：．理由：如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，

則：，同法（1）可得：，，又，．故答案為：；（3）結(jié)論：．理由：如圖3，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，

則，，，，，又，，，又，，、、三點(diǎn)共線，在和中，，，，又，．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。本題蘊(yùn)含半角模型，遇到半角經(jīng)常要通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形。【例2】（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知四邊形中，，，，，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)．（1）當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），求證：．（2）當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到F時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并給予證明．小明第（1）問(wèn)的證明步驟是這樣的：延長(zhǎng)到Q使，連接，證出得到，；再證，得到，證出，即．請(qǐng)你仿照小明的證題步驟完成第（2）問(wèn)的證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)圖2成立；圖3不成立，見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)到Q使，連接，先證明，證出得到，；再證，得到，證出，即（2）在圖2仿照（1）的解法證明即可，圖3也可以仿