2025版高考數(shù)學一輪復習第七章立體幾何第二講空間幾何體的表面積與體積學案新人教版

PAGE其次講空間幾何體的表面積與體積學問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學問點一柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積側(cè)面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝_S底·h__＝πr2h圓錐S側(cè)＝_πrl__V＝eq\f(1,3)S底·h＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))·h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝_ch__V＝_S底h__正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)ch′V＝eq\f(1,3)S底h正棱臺S側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h球S球面＝_4πR2V＝eq\f(4,3)πR3學問點二幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是_各面面積之和__.(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面綻開圖分別是_矩形__、_扇形__、_扇環(huán)形__；它們的表面積等于_側(cè)面積__與底面面積之和．eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)1．長方體的外接球：球心：體對角線的交點；半徑：r＝_eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)__(a，b，c為長方體的長、寬、高)．2．正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球：(1)外接球：球心是正方體中心；半徑r＝_eq\f(\r(3),2)a__(a為正方體的棱長)；(2)內(nèi)切球：球心是正方體中心；半徑r＝_eq\f(a,2)__(a為正方體的棱長)；(3)與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；半徑r＝_eq\f(\r(2),2)a__(a為正方體的棱長)．3．正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的一部分)：(1)外接球：球心是正四面體的中心；半徑r＝_eq\f(\r(6),4)a__(a為正四面體的棱長)；(2)內(nèi)切球：球心是正四面體的中心；半徑r＝_eq\f(\r(6),12)a__(a為正四面體的棱長)．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)多面體的表面積等于各個面的面積之和．(√)(2)臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差．(√)(3)錐體的體積等于底面積與高之積．(×)(4)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的棱長為a，則R＝eq\f(\r(3),2)a.(√)(5)圓柱的一個底面積為S，側(cè)面綻開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2πS.(×)題組二走進教材2．(必修2P27T1)已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面綻開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(B)A．1cm B．2cmC．3cm D．eq\f(3,2)cm[解析]由條件得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πrl＋πr2＝12π,\f(2πr,l)＝π))，∴3r2＝12，∴r＝2.題組三走向高考3．(2024·天津卷)若棱長為2eq\r(3)的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為(C)A．12π B．24πC．36π D．144π[解析]這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線長的一半，即R＝eq\f(\r(2\r(3)2＋2\r(3)2＋2\r(3)2),2)＝3，所以，這個球的表面積為S＝4πR2＝4π×32＝36π.故選：C．4．(2024·課標全國Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(B)A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π[解析]設(shè)圓柱底面半徑為r，則4r2＝8，即r2＝2.∴S圓柱表面積＝2πr2＋4πr2＝12π.5．(2024·浙江卷)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(A)A．eq\f(7,3) B．eq\f(14,3)C．3 D．6[解析]由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱，且三棱錐的一個側(cè)面垂直于底面．棱錐的高為1，棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2，所以幾何體的體積為：eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝eq\f(1,3)＋2＝eq\f(7,3).故選：A．考點突破·互動探究考點一幾何體的表面積——自主練透例1(1)(2024·北京模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是(C)A．2＋eq\r(5) B．4＋eq\r(5)C．2＋2eq\r(5) D．5(2)(2024·安徽江南十校聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該幾何體的表面積為(B)A．78－eq\f(9π,2) B．78－eq\f(9π,4)C．78－π D．45－eq\f(9π,2)(3)(多選題)(2024·山東濰坊期末)等腰直角三角形直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為(AB)A．eq\r(2)π B．(1＋eq\r(2))πC．2eq\r(2)π D．(2＋eq\r(2))π[解析](1)由三視圖知，該幾何體是底面為等腰三角形，其中一條側(cè)棱與底面垂直的三棱錐(SA⊥平面ABC)，如圖所示，由三視圖中的數(shù)據(jù)可計算得S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S△SAC＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＝eq\f(\r(5),2)，S△SAB＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＝eq\f(\r(5),2)，S△SBC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝eq\r(5)，所以S表面積＝2＋2eq\r(5).故選C．(2)由三視圖可知該幾何體是一個長方體中挖去一個eq\f(1,8)球，如圖所示．∴S＝3×3×2＋3×5×4－eq\f(27π,4)＋eq\f(9π,2)＝78－eq\f(9,4)π.故選B．(3)若繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，其表面積為π＋eq\r(2)π；若繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是兩同底圓錐構(gòu)成的組合體，其表面積為eq\r(2)π，故選A、B．名師點撥空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題留意其軸截面及側(cè)面綻開圖的應(yīng)用．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積留意連接部分的處理．(3)已知幾何體的三視圖求其表面積，一般是先依據(jù)三視圖推斷空間幾何體的形態(tài)，再依據(jù)題目所給數(shù)據(jù)與幾何體的表面積公式，求其表面積．〔變式訓練1〕(2024·河南開封二模)已知某個幾何體的三視圖如圖所示，依據(jù)圖中標出的數(shù)據(jù)，可得出這個幾何體的表面積是(C)A．6 B．8＋4eq\r(6)C．4＋2eq\r(6) D．4＋eq\r(6)[解析]由三視圖得幾何體如圖所示，該幾何體是一個三棱錐，底面是一個底和高均為2的等腰三角形，一個側(cè)面是一個底和高均為2的等腰三角形，另外兩個側(cè)面是腰長為AC＝AB＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，底邊AD長為2eq\r(2)的等腰三角形，其高為eq\r(\r(5)2－\r(2)2)＝eq\r(3)，故其表面積為S＝2×eq\f(1,2)×22＋2×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝4＋2eq\r(6).故選C．考點二幾何體的體積——師生共研例2(1)(2024·浙江金色聯(lián)盟百校聯(lián)考)一個空間幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積為()cm3.(A)A．eq\f(π,6)＋eq\f(1,3) B．eq\f(π,3)＋eq\f(1,6)C．eq\f(π,6)＋eq\f(1,6) D．eq\f(π,3)＋eq\f(1,3)(2)(2024·云南師大附中月考)如圖，某幾何體的三視圖均為邊長為2的正方形，則該幾何體的體積是(D)A．eq\f(5,6) B．eq\f(8,3)C．1 D．eq\f(16,3)(3)(2024·湖北武漢部分學校質(zhì)檢)某圓錐母線長為4，其側(cè)面綻開圖為半圓面，則該圓錐體積為_eq\f(8\r(3)π,3)__.(4)(2024·江蘇省南通市通州區(qū))如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上一點，且C1P＝2PC．設(shè)三棱錐P－D1DB的體積為V1，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為V，則eq\f(V1,V)的值為_eq\f(1,6)__.[解析](1)由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1cm，高為1cm的半個圓錐和三棱錐S－ABC組成的，如圖，三棱錐的高為SO＝1cm，底面△ABC中，AB＝2cm，AC＝1cm，AB⊥AC．故其體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×12×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(1,3)))cm3.故選A．(2)由題意三視圖對應(yīng)的幾何體如圖所示，所以幾何體的體積為正方體的體積減去2個三棱錐的體積，即V＝23－2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(16,3)，故選D．(3)該圓錐母線為4，底面半徑為2，高為2eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)×π×22×2eq\r(3)＝eq\f(8\r(3)π,3).(4)設(shè)正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊長AB＝BC＝a，高AA1＝b則VABCD－A1B1C1D1＝S四邊形ABCD×AA1＝a2bVP－D1DB＝VB－D1DP＝eq\f(1,3)S△D1DP·BC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab·a＝eq\f(1,6)a2b，∴eq\f(VP－D1DB,VABCD－A1B1C1D1)＝eq\f(1,6)，即eq\f(V1,V)＝eq\f(1,6).[引申]若將本例(2)中的俯視圖改為，則該幾何體的體積為_eq\f(8,3)__，表面積為_8eq\r(3)__.[解析]幾何體為如圖所示的正三棱錐(棱長都為2eq\r(2))．∴V＝8－4×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，S＝4×eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝8eq\r(3).名師點撥求體積的常用方法干脆法對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式干脆計算割補法首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟識的幾何體補成熟識的幾何體，便于計算等體積法選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換注：若以三視圖的形式給出的幾何體問題，應(yīng)先得到直觀圖，再求解．〔變式訓練2〕(1)(2024·海南)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A－NMD1的體積為_eq\f(1,3)__.(2)(2024·開封模擬)如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq\r(3)，D為BC的中點，則三棱錐A－B1DC1的體積為(C)A．3 B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(\r(3),2)(3)(2024·浙江)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(A)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1(4)(2024·浙北四校模擬)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(B)A．8 B．8πC．16 D．16π[解析](1)如圖，∵正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB∴S△ANM＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，∴VA－NMD1＝VD1－AMN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2＝eq\f(1,3)，故答案為：eq\f(1,3).(2)如題圖，在正△ABC中，D為BC的中點，則有AD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，又因為平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD?平面ABC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD為三棱錐A－B1DC1的底面B1DC1上的高，所以V三棱錐A－B1DC1＝eq\f(1,3)·S△B1DC1·AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1，故選C．(3)由三視圖可畫出三棱錐的直觀圖如圖所示．其底面是等腰直角三角形ACB，直角邊長為1，三棱錐的高為1，故體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).故選A．(4)由三視圖的圖形可知，幾何體是等邊圓柱斜切一半，所求幾何體的體積為：eq\f(1,2)×22π×4＝8π.故選B．考點三球與幾何體的切、接問題——多維探究角度1幾何體的外接球例3(1)(2024·河南中原名校質(zhì)量測評)已知正三棱錐P－ABC的底面邊長為3，若外接球的表面積為16π，則PA＝_2eq\r(3)或2__.(2)(2024·新課標Ⅰ)已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為(A)A．64π B．48πC．36π D．32π(3)(2024·全國)已知三棱錐P－ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E、F分別是PA，PB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為(D)A．8eq\r(6)π B．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)π D．eq\r(6)π[解析](1)由外接球的表面積為16π，可得其半徑為2，設(shè)△ABC的中心為O1，則外接球的球心肯定在PO1上，由正三棱錐P－ABC的底面邊長為3，得AO1＝eq\r(3)，在Rt△AOO1中，由勾股定理可得(PO1－2)2＋(eq\r(3))2＝22，解得PO1＝3或PO1＝1，又PA2＝POeq\o\al(2,1)＋AOeq\o\al(2,1)，故PA＝eq\r(9＋3)＝2eq\r(3)或PA＝eq\r(1＋3)＝2，故答案為：2eq\r(3)或2.(2)由題意可知圖形如圖：⊙O1的面積為4π，可得O1A則eq\f(AB,sin60°)＝2O1A＝4，∴AB＝4sin60°＝2eq\r(3)，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2eq\r(3)，外接球的半徑為：R＝eq\r(AO\o\al(2,1)＋OO\o\al(2,1))＝4，球O的表面積為：4×π×42＝64π，故選A．(3)∵PA＝PB＝PC，△ABC為邊長為2的等邊三角形，∴P－ABC為正三棱錐，∴PB⊥AC，又E，F(xiàn)分別為PA、AB中點，∴EF∥PB，∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴PB⊥平面PAC，∴∠APB＝90°，∴PA＝PB＝PC＝eq\r(2)，∴P－ABC為正方體一部分，2R＝eq\r(2＋2＋2)＝eq\r(6)，即R＝eq\f(\r(6),2)，∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\f(6\r(6),8)＝eq\r(6)π.名師點撥幾何體外接球問題的處理(1)解題關(guān)鍵是確定球心和半徑，其解題思維流程是：(R—球半徑，r—截面圓的半徑，h—球心到截面圓心的距離)．注：若截面為非特別三角形可用正弦定理求其外接圓半徑r.(2)三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球．留意：不共面的四點確定一個球面．角度2幾何體的內(nèi)切球例4(1)(2024·新課標Ⅲ)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_eq\f(\r(2),3)π__.(2)(2024·安徽蚌埠質(zhì)檢)如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AB，AD的中點，把△AEF，△CBE，△CFD折起構(gòu)成一個三棱錐P－CEF(A，B，D重合于P點)，則三棱錐P－CEF的外接球與內(nèi)切球的半徑之比是_2eq\r(6)__.[解析](1)因為圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)當為該圓錐的內(nèi)切球，如圖，圓錐母線BS＝3，底面半徑BC＝1，則其高SC＝eq\r(BS2－BC2)＝2eq\r(2)，不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線BS切于點D，令OD＝OC＝r，由△SOD∽△SBC，則eq\f(OD,OS)＝eq\f(BC,BS)，即eq\f(r,2\r(2)－r)＝eq\f(1,3)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(\r(2),3)π，故答案為：eq\f(\r(2),3)π.(2)不妨設(shè)正方形的邊長為2a，由題意知三棱錐P－CEF中PC、PF、PE兩兩垂直，∴其外接球半徑R＝eq\f(\r(PC2＋PF2＋PE2),2)＝eq\f(\r(6),2)a，下面求內(nèi)切球的半徑r，解法一(干脆法)：由幾何體的對稱性知，內(nèi)切球的球心在平面PCH(H為EF的中點)內(nèi)，M、N、R、S為球與各面的切點，又2eq\r(2)＝tan∠CHP＝tan2∠OHN，∴tan∠OHN＝eq\f(\r(2),2)＝eq\f(r,NH)，∴NH＝eq\r(2)r，又PN＝eq\r(2)r，∴2eq\r(2)r＝PH＝eq\f(\r(2),2)a，∴r＝eq\f(a,4).解法二(體積法)：VC－PEF＝eq\f(1,3)r·(S△PEF＋S△PCE＋S△PCF＋S△CEF)，∴a3＝r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)＋a2＋a2＋\f(\r(2)a,2)×\f(3\r(2)a,2)))，∴r＝eq\f(a,4)，故eq\f(R,r)＝eq\f(\r(6)a,2)·eq\f(4,a)＝2eq\r(6).名師點撥幾何體內(nèi)切球問題的處理(1)解題時常用以下結(jié)論確定球心和半徑：①球心在過切點且與切面垂直的直線上；②球心到各面距離相等．(2)利用體積法求多面體內(nèi)切球半徑．〔變式訓練3〕(1)(角度1)(2024·南寧摸底)三棱錐P－ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱錐P－ABC的外接球的體積為(B)A．eq\f(27π,2) B．eq\f(27\r(3)π,2)C．27eq\r(3)π D．27π(2)(角度1)(2024·山西運城調(diào)研)在四面體ABCD中，AB＝AC＝2eq\r(3)，BC＝6，AD⊥平面ABC，四面體ABCD的體積為eq\r(3).若四面體ABCD的頂點均在球O的表面上，則球O的表面積是(B)A．eq\f(49π,4) B．49πC．eq\f(49π,2) D．4π(3)(角度2)棱長為a的正四面體的體積與其內(nèi)切球體積之比為_eq\f(6\r(3),π)__.[解析](1)因為三棱錐P－ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC≌△PAC．因為PA⊥PB，所以PA⊥PC，PC⊥PB．以PA，PB，PC為過同一頂點的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時也是三棱錐P－ABC的外接球．因為正方體的體對角線長為eq\r(32＋32＋32)＝3eq\r(3)，所以其外接球半徑R＝eq\f(3\r(3),2).因此三棱錐P－ABC的外接球的體積V＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))3＝eq\f(27\r(3)π,2).故選B．(2)如圖，H為BC的中點，由題意易知AH＝eq\r(3)，設(shè)△ABC外接圓圓心為O1，則|O1C|2＝32＋(eq\r(3)－|O1C|)2，∴|O1C|＝2eq\r(3)，又eq\f(1,2)×6×eq\r(3)×eq\f(|AD|,3)＝eq\r(3)，∴|AD|＝1，則|OA|2＝|O1C|2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(49,4)，∴S球O＝4πR2＝49π，故選B．(3)如圖，將正四面體納入正方體中，明顯正四面體內(nèi)切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD的中心O1都在正方體的對角線上，設(shè)正四面體的棱長為a，則|AO|＝eq\f(\r(6),4)a，又|O1A|＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2)＝eq\f(\r(6),3)a，∴內(nèi)切球半徑|OO1|＝eq\f(\r(6),12)a，∴eq\f(V正四面體,V內(nèi)切球)＝eq\f(\f(1,3)×\f(\r(3),4)a2×\f(\r(6),3)a,\f(4π,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),12)a))3)＝eq\f(6\r(3),π).名師講壇·素養(yǎng)提升最值問題、開放性問題例5(1)(最值問題)(2024·課標全國Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為(B)A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)(2)(2024·四川涼山州模擬)已知長方體ABCD－A1B1C1D1的體積V＝12，AB＝2，若四面體A－B1CD1的外接球的表面積為S，則SA．8π B．9πC．16π D．32π