2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)2直線和圓的方程2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課后素養(yǎng)落實(shí)含解析新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE課后素養(yǎng)落實(shí)(十八)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．以兩點(diǎn)A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝10B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x－1)2＋(y－2)2＝5D．(x－1)2＋(y－2)2＝25D[圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝eq\r(5－12＋5－22)＝5，故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.]2．點(diǎn)(sin30°，cos30°)與圓x2＋y2＝eq\f(1,2)的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓內(nèi)C．點(diǎn)在圓外 D．不能確定C[因?yàn)閟in230°＋cos230°＝1>eq\f(1,2)，所以點(diǎn)在圓外，故選C．]3．圓心在y軸上，半徑為1，且過點(diǎn)(1,3)的圓的方程為()A．x2＋(y－3)2＝1 B．x2＋(y＋3)2＝1C．(x－3)2＋y2＝1 D．(x＋3)2＋y2＝1A[設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，a)，∵圓的半徑為1，且過點(diǎn)(1,3)，∴(0－1)2＋(a－3)2＝1，解得a＝3，∴所求圓的方程為x2＋(y－3)2＝1.]4．若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0,1) B．{－1,1}C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C[∵點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得－1<a<1.故選C．]5．圓心在直線x＋y＝0上，且與x軸交于點(diǎn)A(－3,0)和B(1,0)的圓的方程為()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝5B．(x－1)2＋(y＋1)2＝eq\r(5)C．(x－1)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋1)2＋(y－1)2＝eq\r(5)A[由題意得圓心在直線x＝－1上，又圓心在直線x＋y＝0上，所以圓心M的坐標(biāo)為(－1,1)．又A(－3,0)，半徑r＝|AM|＝eq\r(－1＋32＋1－02)＝eq\r(5).則圓的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝5.]二、填空題6．已知點(diǎn)P(x，y)在圓x2＋y2＝1上，則eq\r(x－12＋y－12)的最大值為________．1＋eq\r(2)[eq\r(x－12＋y－12)的幾何意義是圓上的點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)(1,1)的距離，因此最大值為eq\r(2)＋1.]7．若一圓的圓心坐標(biāo)為(2，－3)，一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．(x－2)2＋(y＋3)2＝13[易知直徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)，(0，－6)，可得圓的半徑為eq\r(13)，因?yàn)閳A心坐標(biāo)為(2，－3)，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.]8．圓(x＋1)2＋y2＝5關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．x2＋(y＋1)2＝5[圓(x＋1)2＋y2＝5的圓心坐標(biāo)為(－1,0)，它關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－1)，即所求圓的圓心坐標(biāo)為(0，－1)，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝5.]三、解答題9．矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M(2,1)，AB邊所在直線的方程為x－2y－4＝0，點(diǎn)T(－1,0)在AD邊所在直線上．(1)求AD邊所在直線的方程；(2)求矩形ABCD外接圓的方程．[解](1)因?yàn)锳B邊所在直線的方程為x－2y－4＝0，且直線AD與直線AB垂直，所以直線AD的斜率為－2.又因?yàn)辄c(diǎn)T(－1,0)在直線AD上，所以AD邊所在直線的方程為y－0＝－2(x＋1)，即2x＋y＋2＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－4＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－2，))所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，－2)，因?yàn)榫匦蜛BCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為M(2,1)，所以M為矩形外接圓的圓心．又|AM|＝eq\r(2－02＋1＋22)＝eq\r(13)，從而矩形ABCD外接圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝13.10．已知A(0,1)，B(2,1)，C(－1,2)，能否確定一個(gè)圓？若能，推斷D(3,4)與該圓的位置關(guān)系．[解]由于kAB≠kAC，所以三點(diǎn)不共線，則A，B，C三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓．設(shè)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋1－b2＝r2，,2－a2＋1－b2＝r2，,－1－a2＋2－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3，,r2＝5，))所以經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋(y－3)2＝5.把點(diǎn)D的坐標(biāo)(3,4)代入圓的方程的左邊，得(3－1)2＋(4－3)2＝5.所以點(diǎn)D在經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓上．所以A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，圓的方程為(x－1)2＋(y－3)2＝5.1．(多選題)若經(jīng)過點(diǎn)P(5m＋1,12m)可以作出圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，則實(shí)數(shù)A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,13)C．－eq\f(1,13) D．－eq\f(1,2)AD[過P可作圓的兩條切線，說明點(diǎn)P在圓的外部，所以(5m＋1－1)2＋(12m)2>1，解得m>eq\f(1,13)或m<－eq\f(1,13)，可知AD可能．]2．若圓C與圓(x＋2)2＋(y－1)2＝1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則圓C的方程為()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1A[由題意可知圓(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圓心坐標(biāo)為(－2,1)，半徑為1，所以其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圓的圓心坐標(biāo)為(2，－1)，半徑為1，所以所求圓C的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝1.]3．已知圓C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，當(dāng)m改變時(shí)，圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離是________．1[由題意可得，圓C的圓心坐標(biāo)為(2,4－m)，半徑為1，圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離是圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1，即求d＝eq\r(22＋4－m2)－1的最小值，當(dāng)m＝4時(shí)，d最小，dmin＝1.]4．已知A，B兩點(diǎn)是圓x2＋(y－1)2＝4上的兩點(diǎn)，若A，B關(guān)于直線x＋ay－3＝0對(duì)稱，則a＝________；若點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)P(1,2)對(duì)稱，則直線AB的方程為________．3x＋y－3＝0[圓x2＋(y－1)2＝4的圓心C的坐標(biāo)為(0,1)，若A，B關(guān)于直線x＋ay－3＝0對(duì)稱，則直線經(jīng)過圓心(0,1)，∴a＝3.又若圓x2＋(y－1)2＝4上存在A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P(1,2)中心對(duì)稱，則CP⊥AB，P為AB的中點(diǎn)，∵kCP＝eq\f(2－1,1－0)＝1，∴kAB＝－1，∴直線AB的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點(diǎn)A(0，－1)，B(0,1)，設(shè)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，令d＝|PA|2＋|PB|2