專題11.7 多邊形及其內(nèi)角和（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題11.7多邊形及其內(nèi)角和（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】多邊形及其相關(guān)概念1.多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.如果一個(gè)多邊形由n（n是大于或等于3的自然數(shù)）條線段組成，那么這個(gè)多邊形就叫做n邊形.2.多邊形的相關(guān)概念（1）多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.（2）多邊形的頂點(diǎn)：相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).（3）多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內(nèi)部的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱多邊形的角.（4）多邊形的外角：多邊形的一邊和它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.（5）多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線.特別提醒：①多邊形的邊數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)及角的個(gè)數(shù)相等；②把多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形問(wèn)題求解的常用方法是連接對(duì)角線.【知識(shí)點(diǎn)二】正多邊形各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形必須滿同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①各邊都相等；②各角都相等.【知識(shí)點(diǎn)三】凸多邊形與凹多邊形如圖①所示，畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在的直線，整個(gè)圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的多邊形成為凸多邊形；而圖②就不滿足上述凸多邊形的特征，因?yàn)槲覀儺嫵鯟D所在的直線，整個(gè)多邊形不都在這條直線的同一側(cè)，所以我們稱它為凹多邊形.我們?cè)趯W(xué)習(xí)中提到的多邊形大都是凸多邊形.【知識(shí)點(diǎn)四】多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°.特別地，正n邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是（n?2）×【知識(shí)點(diǎn)五】多邊形外角和定理1.多邊形的外角和：在多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.2.多邊形外角和定理：多邊形的外角和等于360°.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】由多邊形內(nèi)角和公式求度數(shù)【例1】（23-24八年級(jí)上·河南許昌·階段練習(xí)）求圖中的x的值(1)(2)【答案】(1)80；(2)110【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理：（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360度列出方程求解即可；（2）根據(jù)五邊形內(nèi)角和為列出方程求解即可．（1）解：由題意得，，解得；（2）解：由題意得，，解得．【變式1】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）若多邊形的邊數(shù)增加1，則其內(nèi)角和的度數(shù)（

）A．增加 B．為 C．不變 D．減少【答案】A【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，掌握多邊形的內(nèi)角和公式（n為多邊形的邊數(shù)）成為解題的關(guān)鍵.根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n為多邊形的邊數(shù)），然后進(jìn)行判斷解答.解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則原多邊形的內(nèi)角和為，邊數(shù)增加1后的多邊形的內(nèi)角和為，∴，∴其內(nèi)角和的度數(shù)增加．故選A．【變式2】（2024·四川自貢·中考真題）凸七邊形的內(nèi)角和是度．【答案】900【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理．應(yīng)用多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可．解：七邊形的內(nèi)角和，故答案為：900．【題型2】由多邊形內(nèi)角和公式求邊數(shù)【例2】（23-24八年級(jí)上·江西贛州·期末）下面是正多邊形M和N的對(duì)話：求M和N的邊數(shù)．【答案】M和N的邊數(shù)分別是4和6【分析】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，掌握多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法以及多邊形的性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)對(duì)話和多邊形的內(nèi)角和公式列方程求解即可；解：設(shè)M的邊數(shù)為，N的邊數(shù)為，由題意得：解得：，，，M和N的邊數(shù)分別是4和6．【變式1】（22-23八年級(jí)上·山東威海·期末）如果一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角都為，那么該正多邊形的邊數(shù)是（

）A．六 B．七 C．八 D．九【答案】D【分析】此題主要考查了多邊形的外角與內(nèi)角．首先根據(jù)求出外角度數(shù)，再利用外角和定理求出邊數(shù)．解：∵正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是，∴它的外角是：，．即這個(gè)正多邊形是九邊形．故選：D．【變式2】一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)．【答案】10【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列式求解即可．解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是，則，解得．故答案為：10．【題型3】由多邊形內(nèi)角和與外角和度數(shù)求邊數(shù)【例3】（23-24七年級(jí)下·福建泉州·期中）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的差剛好等于一個(gè)十邊形的內(nèi)角和，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．【答案】這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12．【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得出方程，求出方程的解即可．解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得：，解得：．答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12．【變式】（23-24八年級(jí)下·浙江溫州·期中）若邊形的內(nèi)角和等于外角和的3倍，則邊數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和以及多邊形的外角和；利用多邊形的外角和是度，一個(gè)邊形的內(nèi)角和等于它外角和的倍，則內(nèi)角和是，而邊形的內(nèi)角和是，則可得到方程，解方程即可．解：根據(jù)題意列方程，得：，解得：，故選：C．【題型4】由多邊形內(nèi)、外角和公式求角度【例4】（23-24八年級(jí)下·湖南永州·期中）一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是外角和的倍，求這個(gè)正多邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，設(shè)此多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意得出，求出的值即可．解：∵該正多邊形的內(nèi)角和等于外角和的倍，設(shè)此多邊形的邊數(shù)為，則有：，解得：，內(nèi)角的度數(shù)為．【變式1】（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，是四邊形的外角，且，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和定理，掌握邊形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，得出，再求出，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理解答即可．解：，，，，是四邊形的外角，，，，．故選：C【變式2】（23-24七年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，在五邊形中，分別是的外角，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)得，進(jìn)而得，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義的，，，由此可得的度數(shù)．解：∵五邊形的內(nèi)角和為：，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴．故答案為：．【題型5】由多邊形對(duì)角線數(shù)量求角度或?qū)蔷€條數(shù)【例5】（23-24八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期中）【觀察思考】

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】（1）七邊形的對(duì)角線條數(shù)為______．（2）三邊形的對(duì)角線條數(shù)可表示為，四邊形對(duì)角線條數(shù)可表示為，五邊形的對(duì)角線條數(shù)可表示為，…，n邊形的對(duì)角線條數(shù)可表示為______．(3)【規(guī)律應(yīng)用】若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和對(duì)角線的條數(shù)．【答案】(1)14；(2)(3)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為11，對(duì)角線的條數(shù)為44．【分析】此題考查多邊形對(duì)角線計(jì)算公式，多邊形內(nèi)角和公式，圖形類規(guī)律探究，（1）根據(jù)各圖形分別求出對(duì)角線條數(shù)，由規(guī)律即可得到答案；（2）利用（1）的計(jì)算結(jié)果即可得到規(guī)律；（3）設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則列方程為，解得，再根據(jù)（2）求出對(duì)角線．（1）三邊形的對(duì)角線條數(shù)可表示為，四邊形對(duì)角線條數(shù)可表示為，五邊形對(duì)角線條數(shù)可表示為，六邊形對(duì)角線條數(shù)可表示為，七邊形對(duì)角線條數(shù)可表示為，故答案為：14；（2）三邊形的對(duì)角線條數(shù)可表示為，四邊形對(duì)角線條數(shù)可表示為，五邊形對(duì)角線條數(shù)可表示為，…n邊形的對(duì)角線條數(shù)可表示為，故答案為：；（3）設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則，解得，對(duì)角線為（條），∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為11，對(duì)角線的條數(shù)為44．【變式1】（23-24八年級(jí)上·河北唐山·期中）若從一個(gè)正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以引6條對(duì)角線，則它的一個(gè)內(nèi)角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了多邊形的對(duì)角線，多邊形內(nèi)角和公式及正多邊形的內(nèi)角，根據(jù)邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對(duì)角線，求得多邊形的邊數(shù)，結(jié)合多邊形內(nèi)角和公式及正多邊形的內(nèi)角求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．解：設(shè)正多邊形邊數(shù)為，由題意得：，可得，則內(nèi)角和：，∴它的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為：，故選：C．【變式2】（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）已知某正多邊形的每個(gè)外角均為，則該正多邊形的對(duì)角線共有條．【答案】5【分析】根據(jù)正多邊形的每一個(gè)外角都相等，多邊形的邊數(shù)，進(jìn)而求得多邊形的對(duì)角線條數(shù)．本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，熟記正多邊形的邊數(shù)與外角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．解：這個(gè)正多邊形的邊數(shù)：，則對(duì)角線的條數(shù)是：．故答案為：5．【題型6】由多邊形截角問(wèn)題【例6】（22-23八年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí)）閱讀下題及解題過(guò)程．如圖（），我們知道四邊形的內(nèi)角和為，現(xiàn)在將一張四邊形的紙剪掉一個(gè)角后，剩余紙所有內(nèi)角的和是多少？如圖（），剩余紙為五邊形，所以剩余紙所有內(nèi)角的和為．上面的解答過(guò)程是否正確？若正確，說(shuō)出你的判斷根據(jù)；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明原因，并寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論．【答案】不正確，見(jiàn)解析，正確結(jié)論是將一張四邊形紙剪掉一個(gè)角后，剩余紙所有內(nèi)角的和是或或．【分析】一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后形成的多邊形邊數(shù)有三種可能：比原多邊形邊數(shù)小1、相等、大1，由此即可解決問(wèn)題，考慮到不過(guò)頂點(diǎn)，只有一種情形，據(jù)此分析即可得出答案．上面的解答不正確，出錯(cuò)的原因是思考問(wèn)題不全面．除了題目中的解法外，還要補(bǔ)充正確的解答如下：如圖（）所示，剪掉一個(gè)角后，剩余紙的所有內(nèi)角的和是；如圖（）所示，剪掉一個(gè)角后，剩余紙的所有內(nèi)角的和是．所以將一張四邊形紙剪掉一個(gè)角后，剩余紙所有內(nèi)角的和是或或．【點(diǎn)撥】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，解題的關(guān)鍵是記住一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少1，或不變，掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．【變式1】（22-23八年級(jí)上·貴州安順·期末）將一個(gè)五邊形紙片，剪去一個(gè)角后得到另一個(gè)多邊形，則得到的多邊形的內(nèi)角和是（

）A． B． C．或 D．或或【答案】D【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，找出五邊形紙片剪去一個(gè)角出現(xiàn)的情況，再根據(jù)邊形內(nèi)角和公式得出多邊形的內(nèi)角和，即可解題．解：如圖，將一個(gè)五邊形沿虛線裁去一個(gè)角后得到的多邊形的邊數(shù)是或或，其中四邊形內(nèi)角和為，五邊形內(nèi)角和為，六邊形內(nèi)角和為，得到的多邊形的內(nèi)角和是或或，故選：D．【變式2】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）小明同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心少算一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得到的結(jié)果是，則少算的這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，解不等式，設(shè)多邊形的邊數(shù)是n（，且n為整數(shù)），根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理列出不等式，進(jìn)而求出，再計(jì)算出該多邊形內(nèi)角和即可得到答案．解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n（，且n為整數(shù)），依題意得，解得．∵少算一個(gè)內(nèi)角，且該內(nèi)角小于，∴．∴多邊形的內(nèi)角和是，∴少算的這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2022·四川攀枝花·中考真題）同學(xué)們?cè)谔剿鳌岸噙呅蔚膬?nèi)角和”時(shí)，利用了“三角形的內(nèi)角和”．請(qǐng)你在不直接運(yùn)用結(jié)論“n邊形的內(nèi)角和為”計(jì)算的條件下，利用“一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°”，結(jié)合圖形說(shuō)明：五邊形的內(nèi)角和為540°．【分析】如下圖，連接，，將五邊形分成三個(gè)三角形，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可．解：連接，，五邊形的內(nèi)角和等于，，的內(nèi)角和的和，五邊形的內(nèi)角和．【點(diǎn)撥】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理，熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，并將五邊形轉(zhuǎn)化為三個(gè)三角形是解答此題的關(guān)鍵．【例2】（2024·四川遂寧·中考真題）佩佩在“黃娥古鎮(zhèn)”研學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)扎染技術(shù)，得到了一個(gè)內(nèi)角和為的正多邊形圖案，這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了正多邊形的外角，設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，先根據(jù)內(nèi)角和求出正多邊形的邊數(shù)，再用外角和除以邊數(shù)即可求解，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，則，∴，∴這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為，故選：．2、拓展延伸【例1】（23-24七年級(jí)下·江蘇·期中）在平面內(nèi)有個(gè)點(diǎn)，其中每三個(gè)點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形，我們把具有這樣性質(zhì)的個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集稱為愛(ài)爾特希點(diǎn)集，如圖，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成愛(ài)爾特希點(diǎn)集，若平面內(nèi)存在一個(gè)點(diǎn)與，，，也構(gòu)成愛(ài)爾特希點(diǎn)集，則．【答案】或【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角，三角形內(nèi)角和定理；由題意知為某正五邊形的任意四個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，即滿足題意，分點(diǎn)為正五邊形的中心和頂點(diǎn)兩種情況討論．解：依題意，當(dāng)為正五邊形的中心點(diǎn)時(shí)即滿足題意，．當(dāng)為正五邊形的頂點(diǎn)時(shí)即滿足題意，∴故答案為：或．【例2】一個(gè)正方形紙片，用剪刀沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分：又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過(guò)任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分……如此下去，最后得到了45個(gè)48邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】根據(jù)題意，用剪刀沿不過(guò)頂點(diǎn)的直線剪成兩部分時(shí)，每剪開一次，則各部分的內(nèi)角和增加．于是，剪過(guò)k次后，可