2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)六校聯(lián)考高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)六校聯(lián)考高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)l，m，n均為直線，其中m，n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥m且l⊥n”是“l(fā)⊥α”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，BD⊥CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體A?BCD，使平面ABD⊥平面BCD，則下列說(shuō)法中不正確的是(

)

①平面ACD⊥平面ABD

②AB⊥AC

③平面ABC⊥平面ACDA.①② B.②③ C.①③ D.①②③3.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2A.5

B.15

C.2+224.如圖，設(shè)P為正四面體A?BCD表面(含棱)上與頂點(diǎn)不重合的一點(diǎn)，由點(diǎn)P到四個(gè)頂點(diǎn)的距離組成的集合記為M，如果集合M中有且只有2個(gè)元素，那么符合條件的點(diǎn)P有(

)

A.4個(gè) B.6個(gè) C.10個(gè) D.14個(gè)二、填空題：本題共12小題，共54分。5.如果一條直線和兩條異面直線中的一條平行，那么它和另一條直線的位置關(guān)系是______．6.若平面α?β=l，直線a?α，直線b?β，a∩b=M，則點(diǎn)M與l的位置關(guān)系為______．7.正方體ABCD?A1B1C1D8.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，9.△AOB的斜二測(cè)直觀圖△A′O′B′如圖所示，則△AOB的面積是______．10.以下四個(gè)命題中，真命題是______(只填真命題的序號(hào))．

①若a，b是兩條直線，且a//b，則a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面；

②若直線a和平面α滿足a//α，則a與α內(nèi)的任何直線平行；

③若直線a，b和平面α滿足a//α，b//α，則a//b；

④若直線a，b和平面α滿足a//b，a//α，b?α，則b//α．11.一個(gè)圓臺(tái)的兩個(gè)底面半徑分別為1和2，高為1，則該圓臺(tái)的體積為______．12.已知圓錐的表面積為12π，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓.則圓錐的高為______．13.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，14.如圖所示，求一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正四面體的體積，可以看成一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體切去四個(gè)角后得到，類比這種分法，一個(gè)相對(duì)棱長(zhǎng)都相等的四面體A?BCD，其三組棱長(zhǎng)分別為AB=CD=5，AD=BC=1315.某同學(xué)在參加魔方實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為63的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分，(球心與正方體的中心重合)，若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為6π，則該球的表面積是______．16.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱之為鱉臑，在鱉臑A?BCD中，AB⊥平面BCD，且有BD⊥CD，AB=BD=2，CD=1，點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三角形PBD的面積的最小值為

．三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題14分)

如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD?A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中點(diǎn)，且EF與HG相交于點(diǎn)Q．

(1)求證：點(diǎn)18.(本小題14分)

在如圖所示的圓柱中，AB是底面直徑，PA是圓柱的母線，且PA=AB=2.設(shè)C是底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求圓柱的表面積和體積；

(2)當(dāng)二面角P?BC?A的大小為π3時(shí)，求點(diǎn)C到平面PAB的距離．19.(本小題14分)

我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了有關(guān)特殊幾何體的定義：“陽(yáng)馬”是指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐；“塹堵”是指底面是直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.如圖所示，在塹堵ABC?A1B1C1中，若AC⊥BC，A1A=AB=2．

(1)求證：四棱錐B?AA1C1C20.(本小題18分)

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2，AB=1，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．

(1)求證：AF//平面BCE；

(2)求證：平面BCE⊥平面CDE；

(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．21.(本小題18分)

在棱長(zhǎng)均為2的正三棱柱ABC?A1B1C1中，E為B1C1的中點(diǎn).過(guò)AE的截面與棱BB1，A1C1分別交于點(diǎn)F，G．

(1)若F為BB1的中點(diǎn)，試確定點(diǎn)G的位置，并說(shuō)明理由；

(2)在(1)的條件下，求截面AGEF與底面ABC所成銳二面角的正切值；

(3)設(shè)截面AFEG的面積為S

參考答案1.B

2.D

3.D

4.C

5.相交或異面

6.M∈l

7.45°

8.2

9.4

10.④

11.7π312.2313.214.2

15.144π

16.217.證明：(1)根據(jù)題意，平面ABCD∩平面DCC1D1=DC，而直線EF與直線HG相交于點(diǎn)Q，

則Q∈直線EF，Q∈直線HG，

又由EF?平面ABCD，

則Q∈平面ABCD，

同理：Q∈平面DCC1D1，

故Q∈直線DC；

(2)根據(jù)題意，A1B1?平面ABB1A1，18.解：(1)因?yàn)锳B是底面直徑，PA是圓柱的母線，且PA=AB=2，

所以底面圓半徑為1，

故圓柱的表面積為2πr2+2πr?PA=2π×1+2π×1×2=6π；

圓錐體積為V=πr2?PA=π×1×2=2π；

(2)依題意：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，由三垂線定理可得PC⊥AB，

所以∠PCA即為二面角P?BC?A，為60°，

在△PAC中，PA=2，AC=233，所以BC=63，

根據(jù)面積法求19.解：(1)證明：由題意在塹堵ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，

因?yàn)锳C?底面ABC，BC?底面ABC，

所以AA1⊥AC，AA1⊥BC，

在三棱柱ABC?A1B1C1中，四邊形AA1C1C為平行四邊形，

所以四邊形AA1C1C為矩形，

又因?yàn)锳C⊥BC，AA1∩AC=A，

所以BC⊥平面AA1C1C，

所以根據(jù)題中“陽(yáng)馬”的定義得：四棱錐B?AA1C1C為陽(yáng)馬．

(2)由(1)知，BC⊥平面AA1C1C，

所以斜線20.(1)證明：AD=DE=2，AB=1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，則

A(0,0,0)，C(2,0,0)，B(0,0,1)，D(1,3,0)，E(1,3,2)，

∵F為CD的中點(diǎn)，∴F(32,32,0)．

AF=(32,32,0)，BE=(1,3,1)，

BC=(2,0,?1)，

∵AF=12(BE+BC)，AF?平面BCE，

∴AF/?/平面BCE．

(2)解：設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z)，由n?BE=0n?BC=0可得：

x+3y+z=02x?z=0，取x=1，則n=(1,?3,2)；

∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，

∴DE⊥AF，

又∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，21.解：(1)在平面BCC1B1內(nèi)延長(zhǎng)CC1，F(xiàn)E相交于點(diǎn)P，

則P∈平面AGEF，又P∈CC1?平面ACC1A1，

則有平面AGEF∩平面ACC1A1=AG，P∈AG，即A，G，P三點(diǎn)共線，

因?yàn)镋為B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)為BB1的中點(diǎn)，所以PC1=B1F=12CC1，所以PC1PC=13，

又因?yàn)镚C1//AC，所以GC1AC=PC1PC=13，

所以GC1=13AC=13A1C1=23，即點(diǎn)G為棱A1C1上靠近點(diǎn)C1的三等分點(diǎn)．

(2)在平面BCC1B1內(nèi)延長(zhǎng)CB，EF相交于點(diǎn)Q，連接AQ，

則平面AGEF∩平面ABC=AQ，

在平面ACC1A1內(nèi)作GM⊥AC于點(diǎn)M，則GM⊥平面ABC，

又AQ?平面ABC，所以GM⊥AQ，

在平面ABC內(nèi)作MN⊥AQ