2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第四節(jié)隨機(jī)事件的概率學(xué)案理含解析

PAGE第四節(jié)隨機(jī)事務(wù)的概率[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.了解隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)分.2.了解兩個(gè)互斥事務(wù)的概率加法公式.隨機(jī)事務(wù)的概率仍是2024年高考考查的熱點(diǎn)，主要考查利用頻率估計(jì)隨機(jī)事務(wù)的概率，互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的概念以及概率加法公式．在解答題中出現(xiàn)較多，有時(shí)也以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，分值為5～12分.1.數(shù)學(xué)建模2.數(shù)學(xué)運(yùn)算‖學(xué)問梳理‖1．事務(wù)的相關(guān)概念2．頻數(shù)、頻率和概率(1)頻數(shù)、頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，視察某一事務(wù)A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事務(wù)A出現(xiàn)的eq\x(5)次數(shù)nA為事務(wù)A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事務(wù)A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\x(6)eq\f(nA,n)為事務(wù)A出現(xiàn)的頻率．(2)概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事務(wù)A，假如隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事務(wù)A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作eq\x(7)P(A)，稱為事務(wù)A的概率．3．事務(wù)的關(guān)系與運(yùn)算名稱條件結(jié)論符號(hào)表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生?B發(fā)生事務(wù)Beq\x(8)包含事務(wù)A(事務(wù)Aeq\x(9)包含于事務(wù)B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?B事務(wù)A與事務(wù)B相等A＝B并(和)事務(wù)A發(fā)生或B發(fā)生事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))eq\x(10)A∪B(或A＋B)交(積)事務(wù)A發(fā)生且B發(fā)生事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))eq\x(11)A∩B(或AB)互斥事務(wù)A∩B為eq\x(12)不行能事務(wù)事務(wù)A與事務(wù)B互斥A∩B＝?對(duì)立事務(wù)A∩B為不行能事務(wù)，A∪B為必定事務(wù)事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立事務(wù)A∩B＝?，P(A∪B)＝14.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：eq\x(13)0≤P(A)≤1．(2)必定事務(wù)的概率為eq\x(14)1．(3)不行能事務(wù)的概率為eq\x(15)0．(4)概率的加法公式：假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥，則P(A∪B)＝eq\x(16)P(A)＋P(B)．(5)對(duì)立事務(wù)的概率：若事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立事務(wù)，則A∪B為必定事務(wù)，P(A∪B)＝eq\x(17)1，P(A)＝eq\x(18)1－P(B)．?常用結(jié)論探究概率加法公式的推廣(1)當(dāng)一個(gè)事務(wù)包含多個(gè)結(jié)果時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(2)P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1)－P(A2)－…－P(An)．留意涉及的各事務(wù)要彼此互斥．‖基礎(chǔ)自測(cè)‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)“方程x2＋2x＋8＝0有兩個(gè)實(shí)根”是不行能事務(wù)．()(2)對(duì)立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)，互斥事務(wù)也肯定是對(duì)立事務(wù)．()(3)事務(wù)發(fā)生的頻率與概率是相同的．()(4)若事務(wù)A發(fā)生的概率為P(A)，則0<P(A)<1.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×二、走進(jìn)教材2．(必修3P123A3改編)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，40)的頻率為()A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65答案：B3．(必修3P121T5改編)某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參與演講競(jìng)賽，事務(wù)“至少有一名女生”與事務(wù)“全是男生”()A．是互斥事務(wù)，不是對(duì)立事務(wù)B．是對(duì)立事務(wù)，不是互斥事務(wù)C．既是互斥事務(wù)，也是對(duì)立事務(wù)D．既不是互斥事務(wù)也不是對(duì)立事務(wù)答案：C三、易錯(cuò)自糾4．從某班學(xué)生中隨意找出一人，假如該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.3，該同學(xué)的身高在[160，175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身超群過175cm的概率為()A．0.2 B．0.3C．0.7 D．0.8解析：選A由題意得，身超群過175cm的概率為P＝1－0.3－0.5＝0.2，故選A．5．(2025屆湖北十市聯(lián)考)從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事務(wù)是()A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”D．“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”解析：選DA中的兩個(gè)事務(wù)是包含關(guān)系，不是互斥事務(wù)；B中的兩個(gè)事務(wù)是對(duì)立事務(wù)；C中的兩個(gè)事務(wù)都包含“一個(gè)黑球一個(gè)紅球”的事務(wù)，不是互斥關(guān)系；D中的兩個(gè)事務(wù)是互斥而不對(duì)立的事務(wù)．6．拋擲一粒骰子，視察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事務(wù)A為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事務(wù)B為“出現(xiàn)2點(diǎn)”，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，則“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)”的概率為________．解析：因?yàn)槭聞?wù)A與事務(wù)B是互斥事務(wù)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一\a\vs4\al(隨機(jī)事務(wù)的頻率與概率))【例1】某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬千瓦時(shí))與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X＝70時(shí)，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成如下的頻率分布表；近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(4,20)eq\f(2,20)(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時(shí))或超過530(萬千瓦時(shí))的概率．[解](1)在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個(gè)，為160毫米的有7個(gè)，為200毫米的有3個(gè)，故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(4,20)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(2,20)(2)由已知可得Y＝eq\f(X,2)＋425，故P(“發(fā)電量低于490萬千瓦時(shí)或超過530萬千瓦時(shí)”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝eq\f(1,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(2,20)＝eq\f(3,10).故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時(shí))或超過530(萬千瓦時(shí))的概率為eq\f(3,10).?名師點(diǎn)津1．概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事務(wù)概率的估計(jì)值．2．隨機(jī)事務(wù)概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事務(wù)的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事務(wù)發(fā)生的頻率會(huì)漸漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．|跟蹤訓(xùn)練|1．隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對(duì)某市該年4月份的天氣狀況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計(jì)該市在該天不下雨的概率；(2)該市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天起先實(shí)行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率．解：(1)在4月份任取一天，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計(jì)概率，估計(jì)該市在該天不下雨的概率為eq\f(13,15).(2)稱相鄰的兩個(gè)日期為“互鄰日期對(duì)”，由題意，4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對(duì)有16個(gè)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，所以晴天的次日不下雨的概率為eq\f(7,8).從而估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為eq\f(7,8).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二\a\vs4\al(互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)概率公式的應(yīng)用))【例2】某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，支配一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)/人x3025y10結(jié)算時(shí)間/(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率(將頻率視為概率)．[解](1)由已知得25＋y＋10＝55%×100，x＋30＝(1－55%)×100，所以x＝15，y＝20.該超市全部顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)潔隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分鐘)．(2)記A表示事務(wù)“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘”，A1，A2，A3分別表示事務(wù)“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為1.5分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”．將頻率視為概率得P(A1)＝eq\f(15,100)＝eq\f(3,20)，P(A2)＝eq\f(30,100)＝eq\f(3,10)，P(A2)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4).因?yàn)锳＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事務(wù)，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,20)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,10).故一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率為eq\f(7,10).?名師點(diǎn)津求互斥事務(wù)的概率的方法(1)干脆法(2)間接法(正難則反)|跟蹤訓(xùn)練|2．某班選派5人，參與學(xué)校實(shí)行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，獲獎(jiǎng)的人數(shù)及其概率如下：獲獎(jiǎng)人數(shù)012345概率0.10.16xy0.2z(1)若獲獎(jiǎng)人數(shù)不超過2人的概率為0.56，求x的值；(2)若獲獎(jiǎng)人數(shù)最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.44，求y，z的值．解：記事務(wù)“在競(jìng)賽中，有k人獲獎(jiǎng)”為Ak(k∈N，k≤5)，則事務(wù)Ak彼此互斥．(1)∵獲獎(jiǎng)人數(shù)不超過2人的概率為0.56，∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56，解得x＝0.3.(2)由獲獎(jiǎng)人數(shù)最多4人的概率為0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由獲獎(jiǎng)人數(shù)最少3人的概率為0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(隨機(jī)事務(wù)概率的創(chuàng)新交匯應(yīng)用))【例】現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，－3為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是()A．eq\f(3,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,10) D．eq\f(1,5)[解析]由題意得an＝(－3)n－1，易知前10項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以小于8的項(xiàng)為第一項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，共6項(xiàng)，即6個(gè)數(shù)，所以所求概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).[答案]A?名師點(diǎn)津隨機(jī)事務(wù)概率常與數(shù)列、不等式、平面對(duì)量等學(xué)問交匯應(yīng)用，求解時(shí)留意事務(wù)的分析與推斷．|跟蹤訓(xùn)練|若A，B互為對(duì)立事務(wù)，其概率分別為P