2023屆四川省涼山州高三第一次診斷性檢測數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

高三模擬試題PAGEPAGE1涼山州2023屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測數(shù)學(xué)（理科）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．第Ⅰ卷（選擇題），第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號、準考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．2．選擇題使用2B鉛筆涂在答題卡對應(yīng)題目標號的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知復(fù)數(shù)滿足，是的共軛復(fù)數(shù)，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗化簡等式得到，計算得到共軛復(fù)數(shù)，即可得到的值.〖詳析〗解：由題意在中，∴∴故選：B.2.從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機抽取10名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績，所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下．由此可估計甲，乙兩班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績情況，則下列結(jié)論正確的是（）A.甲班數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)比乙班大B.甲班數(shù)學(xué)成績的平均值比乙班小C.甲乙兩班數(shù)學(xué)成績的極差相等D.甲班數(shù)學(xué)成績的方差比乙班大〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗A選項，根據(jù)中位數(shù)的定義計算出甲乙兩班的中位數(shù)，比較大??；B選項，根據(jù)平均數(shù)的定義計算出甲乙兩班的平均數(shù)，比較出大??；C選項，根據(jù)極差的定義計算出甲乙兩班的極差，兩者不相等；D選項，由莖葉圖分析可得到甲班數(shù)學(xué)成績更集中在平均數(shù)的周圍，故方差小.〖詳析〗甲班的數(shù)學(xué)成績中位數(shù)為，乙班的數(shù)學(xué)成績中位數(shù)為，甲班數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)比乙班大，A正確；甲班的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為，乙班的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為，故甲班數(shù)學(xué)成績的平均值比乙班大，B錯誤；甲班的數(shù)學(xué)成績的極差為，乙班的數(shù)學(xué)成績的極差為，故甲乙兩班數(shù)學(xué)成績的極差不相等，C錯誤；從莖葉圖中可以看出甲班的成績更加的集中在平均數(shù)71.4的附近，而乙班的成績更分散，沒有集中到平均數(shù)70.6的附近，故甲班數(shù)學(xué)成績的方差比乙班小，D錯誤.故選：A3.設(shè)集合，，則子集個數(shù)為（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗首先根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)化簡集合，從而得到，再求子集個數(shù)即可.〖詳析〗，，所以，的子集個數(shù)為.故選：C4.設(shè)，向量，，且，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由向量垂直的坐標表示求，再由向量減法的坐標表示和模的坐標表示求.〖詳析〗因為，，且，所以，所以，則，可得．故選：D．5.已知為拋物線焦點，過作垂直軸的直線交拋物線于、兩點，以為直徑的圓交軸于，兩點，若，則的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題意可知圓是以焦點為圓心，為半徑的圓，根據(jù)弦長公式即得.〖詳析〗由題可知，由，可得，所以，所以以為直徑的圓的半徑是，圓心為，所以，，解得，所以拋物線方程.故選：B.6.一元二次方程的兩根滿足，這個結(jié)論我們可以推廣到一元三次方程中．設(shè)為函數(shù)的三個零點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗設(shè)（且）的三個實根分別為，依題意可得，再根據(jù)整式的乘法展開，再根據(jù)系數(shù)相等即可判斷.〖詳析〗設(shè)（且）的三個實根分別為，所以，所以，所以，所以，，，即，，，所以，所以函數(shù)中，，，，故選：D7.我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其撰寫的《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合．從后表卻行一百二十七步，亦與表末三合．問島高及去表各幾何．這一方法領(lǐng)先印度500多年，領(lǐng)先歐洲1300多年．其大意為：測量望海島的高度及海島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標桿，（，，共面，均垂直于地面），使目測點與，共線，目測點與，共線，測出，，，即可求出島高和的距離（如圖）．若，，，，則海島的高（）A.18 B.16 C.12 D.21〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由題可得，，結(jié)合條件即得.〖詳析〗由題可知，，所以，，又，，，，所以，，解得，.故選：A.8.如圖，在棱長為的正方體中，是底面正方形的中心，點在上，點在上，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設(shè)點，，其中，，由求出的值，即可得解.〖詳析〗以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、，設(shè)點，，其中，，，，因為，則，解得，故.故選：D.9.定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（）A B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)新定義及等比數(shù)列的性質(zhì)運算即得.〖詳析〗因為，所以，即，又為等比數(shù)列，，所以同號，，又，所以．故選：C.10.小明去參加法制知識答題比賽，比賽共有，，三道題且每個問題的回答結(jié)果相互獨立．已知三道題的分值和小明答對每道題的概率如表：題分值：3分題分值：3分題分值：4分答對的概率記小明所得總分為（分），則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由概率乘法公式分別求出，由此可得結(jié)論.〖詳析〗由已知，，所以，故選：A.11.已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：①的最小正周期是；②若在處取得極值，則；③把的圖象向右平行移動個單位長度，所得的圖象關(guān)于坐標原點對稱；④在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最小值為．其中真命題的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由題可得，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷①②，根據(jù)圖象變換規(guī)律及三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷③，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，然后根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷④.〖詳析〗因為，所以的最小正周期是，故①正確；若在處取得極值，則，即，又，故，故②錯誤；把的圖象向右平行移動個單位長度，可得，因為，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于坐標原點對稱，故③正確；由，可得，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，故④正確；所以真命題的個數(shù)為3.故選：C.12.已知有兩個零點，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗對于選項A，通過令，構(gòu)建新函數(shù)，求導(dǎo)解出的單調(diào)性，再結(jié)合有兩個不同零點即可得出與的大小關(guān)系；對于選項C，通過對求導(dǎo)得出單調(diào)性，再由對稱定義得出關(guān)于對稱，得出，且，即可判斷；對于選項D，通過對零點的分析結(jié)合選項A中的證明，得出，結(jié)合選項C中的證明利用單調(diào)性得出即可判斷；對于選項B，結(jié)合選項C，D中的證明，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)再構(gòu)造得出的單調(diào)性即可由于單調(diào)性得出，即可證明比離遠，再結(jié)合對稱性得出，即可判斷.〖詳析〗對于選項A：令，則，即，令，則，則當時，當時，則在時單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減，則，則當有兩個不同零點時，，故選項A錯誤；對于選項B：，則，由基本不等式可得，則，則，則再定義域上單調(diào)遞增，，則關(guān)于對稱，令，則，，且由選項A得知，當時，解得的，即，由選項A中可知在時單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減，當有兩個零點時，則，則，且，令，且，則，令，則，即在上單調(diào)遞減，，，，則，即在上單調(diào)遞減，，即，，，，，，，在上單調(diào)遞增，，即，則比離遠，則，則，故選項B正確；對于選項C：由選項B中可知，且，則，故選項C錯誤；對于選項D：由選項B中可知再定義域上單調(diào)遞增，且，，則，則，則故選項D錯誤；故選：B〖『點石成金』〗導(dǎo)函數(shù)中常見的解題轉(zhuǎn)化方法：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常轉(zhuǎn)化不等式恒成立問題，需要注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；（2）函數(shù)零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問題處理.難題通常需要多段求導(dǎo)或構(gòu)造函數(shù)，這時需多注意函數(shù)前后聯(lián)系.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合直線在軸上的截距，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.〖詳析〗畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數(shù)，可化為直線，當直線過點時在上的截距最小，此時目標函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以目標函數(shù)的最小值為.故〖答案〗為：.14.展開式中的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）．〖答案〗5〖解析〗〖祥解〗由二項式展開式的通項公式求解即可.〖詳析〗因為的展開式通項為，所以，．故展開式中的系數(shù)為．故〖答案〗為：5.15.把正整數(shù)按如下規(guī)律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，……，構(gòu)成數(shù)列，則__________．〖答案〗13〖解析〗〖祥解〗根據(jù)正整數(shù)排列規(guī)律結(jié)合等差數(shù)列求和公式即得.〖詳析〗由題可知正整數(shù)按1個1,2個2,3個3，……，進行排列，因為，當時，，所以.故〖答案〗為：13.16.如圖，已知橢圓，．若由橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向橢圓引切線和，若兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗設(shè)切線，，聯(lián)立橢圓方程根據(jù)判別式為零結(jié)合條件可得，然后根據(jù)離心率公式即得.〖詳析〗由題可知，，設(shè)切線，，由，可得，所以，整理可得，由，可得，所以，整理可得，又兩切線斜率之積等于，所以，即，所以，又，所以.故〖答案〗為：.三、解答題．（解答過程應(yīng)寫出必要的文字說明，解答步驟．共70分）17.2022年卡塔爾世界杯（英語：FIFAWorldCupQatar2022）是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，除此之外，卡塔爾世界杯還是首次在北半球冬季舉行，第二次世界大戰(zhàn)后首次由從未進過世界杯的國家舉辦的世界杯足球賽．為了解某校學(xué)生對足球運動的興趣，隨機從該校學(xué)生中抽取了100人進行調(diào)查，其中女生中對足球運動沒興趣的占女生人數(shù)的，男生有5人表示對足球運動沒有興趣．（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為“該校學(xué)生對足球是否有興趣與性別有關(guān)”？有興趣沒興趣合計男60女合計（2）從樣本中對足球沒有興趣的學(xué)生按性別分層抽樣的方法抽出6名學(xué)生，記從這6人中隨機抽取3人，抽到的男生人數(shù)為，求的分布列和期望，〖答案〗（1）填表見〖解析〗；有的把握認為“該校學(xué)生對足球是否有興趣與性別有關(guān)”（2）分布列見〖解析〗；期望為1〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，再結(jié)合公式求，分析理解；（2）根據(jù)分層求得抽取男生2人，女生4人，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.〖小問1詳析〗根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表：有興趣沒興趣合計男55560女301040合計8515100所以有的把握認為“該校學(xué)生對足球是否有興趣與性別有關(guān)”.〖小問2詳析〗按照分層抽樣的方法，抽取男生2人，女生4人，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，則有：，，∴的分布列為：012故，即的期望為1.18.如圖，在直三棱柱中，，，，，為的中點．（1）當時，求證：平面；（2）若，與平面所成的角為，求的取值范圍．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）首先取中點，連接，，為的中點，易證四邊形為平行四邊形，從而得到，再利用線面平行的判定即可證明平面.（2）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，再利用空間向量法求解即可.〖小問1詳析〗取中點，連接，，為的中點，如圖所示：因為分別為和的中點，所以且，又當時，為的中點，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面．〖小問2詳析〗因為，，，所以，即.又因為三棱柱為直三棱柱，所以以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：所以，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量，所以，令，得.又，所以，又，所以，所以的取值范圍為．19.在銳角中，角A，，所對的邊分別為．（1）求A；（2）若，求面積的取值范圍．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由正弦定理化邊為角后，由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式變形，然后結(jié)合同角關(guān)系可得角；（2）由（1）及已知得角范圍，利用正弦定理把表示為的三角函數(shù)，從而得出的范圍，再由三角形面積公式得面積范圍．〖小問1詳析〗因為，由正弦定理得，即，所以，因為，所以，由得．〖小問2詳析〗因為，由正弦定理得，由可得，所以，則，故，所以的面積．即面積的取值范圍為．20.已知，分別是橢圓的上下頂點，，點在橢圓上，為坐標原點．（1）求橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓交于軸上方兩點，．若，試判斷直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若否，說明理由．〖答案〗（1）；（2）是，直線過定點.〖解析〗分析〗（1）由題可得，然后把點代入橢圓方程可得，即得；（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理法結(jié)合數(shù)量積的坐標表示可得，進而即得.〖小問1詳析〗因為，所以，又點在圖像上，所以，所以，所以橢圓的方程為；〖小問2詳析〗由題可設(shè)直線：，、，，由，得，則，，又，即，所以，即，，解得，又，即，所以，，所以直線過定點．21.已知函數(shù)．（1）是的導(dǎo)函數(shù)，求的最小值；（2）已知，證明：；（3）若恒成立，求的取值范圍．〖答案〗（1）0（2）證明見〖解析〗（3）〖解析〗〖祥解〗（1）求出的表達式，求導(dǎo)，通過討論的單調(diào)性，即可求出的最小值；（2）通過（1）中的取值范圍得出，即可證明不等式；（3）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，通過（1）中的結(jié)論，可得出的取值范圍，即可求得的取值范圍.〖小問1詳析〗由題意，在中，所以，，在中，，，令，解得，又時，，時，，∴，即的最小值為0．〖小問2詳析〗在中，，

可知，當且僅當時等號成立，∴時，，即，∴.∴不等式成立．〖小問3詳析〗由題意及（1）（2）得，.當時，恒成立，∴不等式恒成立，令，則命題等價于，∵，∴.∴，當，即時能取等號，∴，即.∴的取值范圍為．〖『點石成金』〗本題考查導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)，二次求導(dǎo)，以及求參數(shù)，具有較強的綜合性.請考生在第22、23兩題中選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．〖選修4-4：坐標系與參數(shù)方程〗．22.在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程；（2）是曲線上的點，求到距離的最大值．〖答案〗（1），（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用三角函數(shù)公式和極坐標公式，代入?yún)?shù)方程即可得到直線的直角坐標方程與曲線的普通方程（2）根據(jù)是曲線上的點設(shè)出點的坐標，寫出點到直線的距離的表達式，求出取值范圍，即可得到到距離的最大值.〖小問1詳析〗由題意在中，，將代入上式得：，即直線的直角坐標方程為：，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∴，且，則曲線的普通方程為：．〖小問2詳析〗由題意及（1）得，在中，是曲線上的點，設(shè)，則點到直線的距離．∵，∴，∴，∴到距離的最大值為.〖選修4-5：不等式選講〗23.已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題意分類討論去絕對值解不等式；（2）根據(jù)絕對值三角不等式求的最小值，再結(jié)合恒成立問題解不等式即得.〖小問1詳析〗由于，當時，，解得，此時；當時，，解得，此時；當時，，解得，此時．綜上：的解集為；〖小問2詳析〗，當且僅當時等號成立，，即，解得，的取值范圍是．高三模擬試題PAGEPAGE1涼山州2023屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測數(shù)學(xué)（理科）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．第Ⅰ卷（選擇題），第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號、準考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．2．選擇題使用2B鉛筆涂在答題卡對應(yīng)題目標號的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知復(fù)數(shù)滿足，是的共軛復(fù)數(shù)，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗化簡等式得到，計算得到共軛復(fù)數(shù)，即可得到的值.〖詳析〗解：由題意在中，∴∴故選：B.2.從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機抽取10名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績，所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下．由此可估計甲，乙兩班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績情況，則下列結(jié)論正確的是（）A.甲班數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)比乙班大B.甲班數(shù)學(xué)成績的平均值比乙班小C.甲乙兩班數(shù)學(xué)成績的極差相等D.甲班數(shù)學(xué)成績的方差比乙班大〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗A選項，根據(jù)中位數(shù)的定義計算出甲乙兩班的中位數(shù)，比較大??；B選項，根據(jù)平均數(shù)的定義計算出甲乙兩班的平均數(shù)，比較出大?。籆選項，根據(jù)極差的定義計算出甲乙兩班的極差，兩者不相等；D選項，由莖葉圖分析可得到甲班數(shù)學(xué)成績更集中在平均數(shù)的周圍，故方差小.〖詳析〗甲班的數(shù)學(xué)成績中位數(shù)為，乙班的數(shù)學(xué)成績中位數(shù)為，甲班數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)比乙班大，A正確；甲班的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為，乙班的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為，故甲班數(shù)學(xué)成績的平均值比乙班大，B錯誤；甲班的數(shù)學(xué)成績的極差為，乙班的數(shù)學(xué)成績的極差為，故甲乙兩班數(shù)學(xué)成績的極差不相等，C錯誤；從莖葉圖中可以看出甲班的成績更加的集中在平均數(shù)71.4的附近，而乙班的成績更分散，沒有集中到平均數(shù)70.6的附近，故甲班數(shù)學(xué)成績的方差比乙班小，D錯誤.故選：A3.設(shè)集合，，則子集個數(shù)為（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗首先根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)化簡集合，從而得到，再求子集個數(shù)即可.〖詳析〗，，所以，的子集個數(shù)為.故選：C4.設(shè)，向量，，且，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由向量垂直的坐標表示求，再由向量減法的坐標表示和模的坐標表示求.〖詳析〗因為，，且，所以，所以，則，可得．故選：D．5.已知為拋物線焦點，過作垂直軸的直線交拋物線于、兩點，以為直徑的圓交軸于，兩點，若，則的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題意可知圓是以焦點為圓心，為半徑的圓，根據(jù)弦長公式即得.〖詳析〗由題可知，由，可得，所以，所以以為直徑的圓的半徑是，圓心為，所以，，解得，所以拋物線方程.故選：B.6.一元二次方程的兩根滿足，這個結(jié)論我們可以推廣到一元三次方程中．設(shè)為函數(shù)的三個零點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗設(shè)（且）的三個實根分別為，依題意可得，再根據(jù)整式的乘法展開，再根據(jù)系數(shù)相等即可判斷.〖詳析〗設(shè)（且）的三個實根分別為，所以，所以，所以，所以，，，即，，，所以，所以函數(shù)中，，，，故選：D7.我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其撰寫的《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，今前表與后表三相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合．從后表卻行一百二十七步，亦與表末三合．問島高及去表各幾何．這一方法領(lǐng)先印度500多年，領(lǐng)先歐洲1300多年．其大意為：測量望海島的高度及海島離海岸的距離，在海岸邊立兩等高標桿，（，，共面，均垂直于地面），使目測點與，共線，目測點與，共線，測出，，，即可求出島高和的距離（如圖）．若，，，，則海島的高（）A.18 B.16 C.12 D.21〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由題可得，，結(jié)合條件即得.〖詳析〗由題可知，，所以，，又，，，，所以，，解得，.故選：A.8.如圖，在棱長為的正方體中，是底面正方形的中心，點在上，點在上，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設(shè)點，，其中，，由求出的值，即可得解.〖詳析〗以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、，設(shè)點，，其中，，，，因為，則，解得，故.故選：D.9.定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（）A B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)新定義及等比數(shù)列的性質(zhì)運算即得.〖詳析〗因為，所以，即，又為等比數(shù)列，，所以同號，，又，所以．故選：C.10.小明去參加法制知識答題比賽，比賽共有，，三道題且每個問題的回答結(jié)果相互獨立．已知三道題的分值和小明答對每道題的概率如表：題分值：3分題分值：3分題分值：4分答對的概率記小明所得總分為（分），則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由概率乘法公式分別求出，由此可得結(jié)論.〖詳析〗由已知，，所以，故選：A.11.已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：①的最小正周期是；②若在處取得極值，則；③把的圖象向右平行移動個單位長度，所得的圖象關(guān)于坐標原點對稱；④在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最小值為．其中真命題的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由題可得，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷①②，根據(jù)圖象變換規(guī)律及三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷③，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，然后根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷④.〖詳析〗因為，所以的最小正周期是，故①正確；若在處取得極值，則，即，又，故，故②錯誤；把的圖象向右平行移動個單位長度，可得，因為，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于坐標原點對稱，故③正確；由，可得，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，故④正確；所以真命題的個數(shù)為3.故選：C.12.已知有兩個零點，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗對于選項A，通過令，構(gòu)建新函數(shù)，求導(dǎo)解出的單調(diào)性，再結(jié)合有兩個不同零點即可得出與的大小關(guān)系；對于選項C，通過對求導(dǎo)得出單調(diào)性，再由對稱定義得出關(guān)于對稱，得出，且，即可判斷；對于選項D，通過對零點的分析結(jié)合選項A中的證明，得出，結(jié)合選項C中的證明利用單調(diào)性得出即可判斷；對于選項B，結(jié)合選項C，D中的證明，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)再構(gòu)造得出的單調(diào)性即可由于單調(diào)性得出，即可證明比離遠，再結(jié)合對稱性得出，即可判斷.〖詳析〗對于選項A：令，則，即，令，則，則當時，當時，則在時單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減，則，則當有兩個不同零點時，，故選項A錯誤；對于選項B：，則，由基本不等式可得，則，則，則再定義域上單調(diào)遞增，，則關(guān)于對稱，令，則，，且由選項A得知，當時，解得的，即，由選項A中可知在時單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減，當有兩個零點時，則，則，且，令，且，則，令，則，即在上單調(diào)遞減，，，，則，即在上單調(diào)遞減，，即，，，，，，，在上單調(diào)遞增，，即，則比離遠，則，則，故選項B正確；對于選項C：由選項B中可知，且，則，故選項C錯誤；對于選項D：由選項B中可知再定義域上單調(diào)遞增，且，，則，則，則故選項D錯誤；故選：B〖『點石成金』〗導(dǎo)函數(shù)中常見的解題轉(zhuǎn)化方法：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常轉(zhuǎn)化不等式恒成立問題，需要注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；（2）函數(shù)零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問題處理.難題通常需要多段求導(dǎo)或構(gòu)造函數(shù)，這時需多注意函數(shù)前后聯(lián)系.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合直線在軸上的截距，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.〖詳析〗畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數(shù)，可化為直線，當直線過點時在上的截距最小，此時目標函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以目標函數(shù)的最小值為.故〖答案〗為：.14.展開式中的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）．〖答案〗5〖解析〗〖祥解〗由二項式展開式的通項公式求解即可.〖詳析〗因為的展開式通項為，所以，．故展開式中的系數(shù)為．故〖答案〗為：5.15.把正整數(shù)按如下規(guī)律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，……，構(gòu)成數(shù)列，則__________．〖答案〗13〖解析〗〖祥解〗根據(jù)正整數(shù)排列規(guī)律結(jié)合等差數(shù)列求和公式即得.〖詳析〗由題可知正整數(shù)按1個1,2個2,3個3，……，進行排列，因為，當時，，所以.故〖答案〗為：13.16.如圖，已知橢圓，．若由橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向橢圓引切線和，若兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗設(shè)切線，，聯(lián)立橢圓方程根據(jù)判別式為零結(jié)合條件可得，然后根據(jù)離心率公式即得.〖詳析〗由題可知，，設(shè)切線，，由，可得，所以，整理可得，由，可得，所以，整理可得，又兩切線斜率之積等于，所以，即，所以，又，所以.故〖答案〗為：.三、解答題．（解答過程應(yīng)寫出必要的文字說明，解答步驟．共70分）17.2022年卡塔爾世界杯（英語：FIFAWorldCupQatar2022）是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，除此之外，卡塔爾世界杯還是首次在北半球冬季舉行，第二次世界大戰(zhàn)后首次由從未進過世界杯的國家舉辦的世界杯足球賽．為了解某校學(xué)生對足球運動的興趣，隨機從該校學(xué)生中抽取了100人進行調(diào)查，其中女生中對足球運動沒興趣的占女生人數(shù)的，男生有5人表示對足球運動沒有興趣．（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為“該校學(xué)生對足球是否有興趣與性別有關(guān)”？有興趣沒興趣合計男60女合計（2）從樣本中對足球沒有興趣的學(xué)生按性別分層抽樣的方法抽出6名學(xué)生，記從這6人中隨機抽取3人，抽到的男生人數(shù)為，求的分布列和期望，〖答案〗（1）填表見〖解析〗；有的把握認為“該校學(xué)生對足球是否有興趣與性別有關(guān)”（2）分布列見〖解析〗；期望為1〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，再結(jié)合公式求，分析理解；（2）根據(jù)分層求得抽取男生2人，女生4人，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.〖小問1詳析〗根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表：有興趣沒興趣合計男55560女301040合計8515100所以有的把握認為“該校學(xué)生對足球是否有興趣與性別有關(guān)”.〖小問2詳析〗按照分層抽樣的方法，抽取男生2人，女生4人，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，則有：，，∴的分布列為：012故，即的期望為1.18.如圖，在直三棱柱中，，，，，為的中點．（1）當時，求證：平面；（2）若，與平面所成的角為，求的取值范圍．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）首先取中點，連接，，為的中點，易證四邊形為平行四邊形，從而得到，再利用線面平行的判定即可證明平面.（2）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，再利用空間向量法求解即可.〖小問1詳析〗取中點，連接，，為的中點，如圖所示：因為分別為和的中點，所以且，又當時，為的中點，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面．〖小問2詳析〗因為，，，所以，即.又因為三棱柱為直三棱柱，所以以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：所以，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量，所以，令，得.又，所以，又，所以，所以的取值范圍為．19.在銳角中，角A，，所對的邊分別為．（1）求A；（2）若，求面積的取值范圍．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由正弦定理化邊為角后，由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式變形，然后結(jié)合同角關(guān)系可得角；（2）由（1）及已知得角范圍，利用正弦定理把表示為的三角函數(shù)，從而得出的范圍，再由三角形面積公式得面積范圍．〖小問1詳析〗因為，由正弦定理得，即，所以，因為，所以，由得．〖小問2詳析〗因為，由正弦定理得，由可得，所以，則，故，所以的面積．即面積的取值范圍為．20.已知，分別是橢