2025年高考數(shù)學(xué)專項題型點撥訓(xùn)練之平面向量

年高考數(shù)學(xué)專項題型點撥訓(xùn)練平面向量【題型一】奔馳定理【題型二】極化恒等式【題型三】等和線平面向量是近幾年小題的熱點必考題型，主要考察學(xué)生對于向量的轉(zhuǎn)化也就是基底思想的熟練程度，包含了對于復(fù)雜知識的簡單化也就是化歸與轉(zhuǎn)化的思想的掌握。近幾年的向量也出現(xiàn)過單選的壓軸題，考察的大多為向量的三大定理之一。還有新教材新加的投影向量也是今年的熱門知識點。注意題目的問法，分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之間的區(qū)別。易錯點：投影向量、投影向量的模與向量的投影1.同方向單位向量：的同方向單位向量為，指的是方向和相同，模長為1的向量。2.向量在方向上的投影：設(shè)為、的夾角，則為在方向上的投影.3.投影也是一個數(shù)量，不是向量.當(dāng)為銳角時投影為正值；當(dāng)為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時投影為；當(dāng)時投影為；當(dāng)時投影為.4.向量在方向上的投影向量：設(shè)為、的夾角，則為在方向上的投影向量.5.向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上投影的乘積.易錯提醒：1.投影和投影向量的模都是數(shù)量，區(qū)別在于投影有正負(fù)，投影向量的模永遠(yuǎn)是正值。2.投影向量結(jié)果是向量，所以是其投影（大?。┏松掀渫较騿挝幌蛄浚ǚ较颍?。例（多選）（2024·海南·模擬預(yù)測）已知向量，則（

）A．若，則B．在方向上的投影向量為C．存在，使得在方向上投影向量的模為1D．的取值范圍為變式1：（2024·遼寧鞍山·二模）已知非零向量，滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．變式2：（多選）（2024·廣東廣州·一模）已知向量，不共線，向量平分與的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C．向量，在上的投影向量相等 D．變式3：（2024·青?！ひ荒＃┮阎蛄浚?，則向量在方向上的投影為．【題型一】奔馳定理為內(nèi)一點，，則.重要結(jié)論：，，.結(jié)論1：對于內(nèi)的任意一點，若、、的面積分別為、、，則：.即三角形內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對的三角形的面積.結(jié)論2：對于平面內(nèi)的任意一點，若點在的外部，并且在的內(nèi)部或其對頂角的內(nèi)部所在區(qū)域時，則有.結(jié)論3：對于內(nèi)的任意一點，若，則、、的面積之比為.即若三角形內(nèi)共點向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.結(jié)論4：對于所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點，，則、、的面積分別為.奔馳定理與三角形四心的關(guān)系：一、三角形的“重心”1、重心的定義：中線的交點，重心將中線長度分成2:1三角形中線向量式：AM2、重心的性質(zhì)：（1）重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1。（2）重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。所以二、三角形的“垂心”垂心的定義：高的交點。銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外。奔馳定理推論：S?BOC:tanA?OA三、三角形的“內(nèi)心”1、內(nèi)心的定義：角平分線的交點(或內(nèi)切圓的圓心)。2、常見內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長，四、三角形的“外心”1、外心的定義：三角形三邊的垂直平分線的交點(或三角形外接圓的圓心到三角形三個頂點的距離相等2、常用外心向量式：O是?ABC的外心，1、OA2、OA3、若OA+OB?AB=【例1】（2021·四川涼山·三模）如圖，為內(nèi)任意一點，角，，的對邊分別為，，.總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.現(xiàn)有以下命題：①若是的重心，則有；②若成立，則是的內(nèi)心；③若，則；④若是的外心，，，則.則正確的命題有.【例2】（多選）（22-23高一下·山東·階段練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，的面積分別為，且.以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，為的外心，則D．若為的垂心，，則【例3】（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【變式1】（2024·吉林·一模）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、內(nèi)心分別為，，，，若（其中），當(dāng)取最大值時，（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（22-23高三上·江西·階段練習(xí)）奔馳定理：已知點O是內(nèi)的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．【變式3】（2022·安徽·三模）平面上有及其內(nèi)一點O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【題型二】極化恒等式基礎(chǔ)知識：簡化：在△中，是邊的中點，則.【例1】已知△是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是（）【例2】在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，，，則的值是________.【例3】已知球的半徑為1，是球面上的兩點，且，若點是球面上任意一點，則的取值范圍是A．B．C．D．【變式1】（23-24高三上·云南保山·期末）如圖，已知正方形的邊長為4，若動點在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【變式2】（2024·江西·一模）如圖，正六邊形的邊長為，半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點M在正六邊形的邊上運動，動點A，B在圓O上運動且關(guān)于圓心O對稱，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點都在圓上，為圓的直徑，點是直線上任意一點；則的最小值為（

）A．4 B．12 C．16 D．18【題型三】等和線向量基本定理：等和線原理：【例1】如圖，中，是斜邊上一點，且滿足：,點在過點的直線上，若,,則的最小值為（）A．2B．C．3D．【例2】設(shè)，，是平面內(nèi)共線的三個不同的點，點是，，所在直線外任意-點，且滿足，若點在線段的延長線上，則（）A．， B．， C． D．【例3】如圖，∠BAC=2π3，圓M與AB、AC分別相切于點D、E，AD=1，點P是圓M及其內(nèi)部任意一點，且AP=xA．1,4+23B．4?23,4+23【變式1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在菱形中，，，分別為上的點，，．若線段上存在一點，使得，則等于（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·