計算機(jī)控制技術(shù)1狀態(tài)變量和模型

2024/11/71第一節(jié)動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)變量和狀態(tài)變量模型2024/11/72

現(xiàn)代控制理論以n個一階微方程來描述系統(tǒng)，這些微分方程又組合成一個一階向量-矩陣微分方程。稱為狀態(tài)方程.應(yīng)用向量-矩陣表示方法，可極大地簡化系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。狀態(tài)變量、輸入或輸出數(shù)目的增多并不增加方程的復(fù)雜性。事實(shí)上，分析復(fù)雜的多輸入-多輸出系統(tǒng)，僅比分析用一階純量微分方程描述的系統(tǒng)在方法上稍復(fù)雜一些。

2024/11/73系統(tǒng)描述中常用的基本概念系統(tǒng)的外部描述傳遞函數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)部描述狀態(tài)空間表達(dá)式2024/11/74動力學(xué)系統(tǒng)能儲存輸入信息的系統(tǒng)，系統(tǒng)中要有儲能元件。[術(shù)語]：

狀態(tài)：指系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)（可以是物理的或非物理的）。狀態(tài)可以理解為系統(tǒng)記憶，t=to時刻的初始狀態(tài)能記憶系統(tǒng)在t<to時的全部輸入信息。狀態(tài)變量：指足以完全描述系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量。

完全描述：如果給定了t=to時刻這組變量值，和t>=to時輸入的時間函數(shù)，那么，系統(tǒng)在t>=to的任何瞬間的行為就完全確定了。最小個數(shù)：意味著這組變量是互相獨(dú)立的。減少變量，描述不完整，增加則一定存在線性相關(guān)的變量，毫無必要。2024/11/75狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的n維空間。在某一特定時刻，狀態(tài)向量是狀態(tài)空間的一個點(diǎn)。狀態(tài)軌跡：以為起點(diǎn)，隨著時間的推移，在狀態(tài)空間繪出的一條軌跡。狀態(tài)向量：把這幾個狀態(tài)變量看成是向量 的分量，則稱為狀態(tài)向量。記作：或：2024/11/76狀態(tài)方程：由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組，稱為狀態(tài)方程。反映系統(tǒng)中狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系，也反映每個狀態(tài)變量對時間的變化關(guān)系。方程形式如下：其中n是狀態(tài)變量個數(shù)，r是輸入變量個數(shù)；是線性或非線性函數(shù)。通式為：2024/11/77將通式化為矩陣形式有：其中：2024/11/78輸出方程：在指定輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量和輸入之間的函數(shù)關(guān)系。反映系統(tǒng)中輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系。方程形式如下：其中n是狀態(tài)變量個數(shù)，r是輸入變量個數(shù)，m是輸出變量個數(shù)，是線性或非線性函數(shù)。通式為：2024/11/79將通式化為矩陣形式有：其中：2024/11/710(2)狀態(tài)空間表達(dá)式非唯一性,這是和傳遞函數(shù)明顯區(qū)別的地方。狀態(tài)變量非唯一，導(dǎo)致矩陣A,B,C,D非唯一。(1)為描述系統(tǒng)方便，經(jīng)常用代表一個動力學(xué)系統(tǒng)。[說明]：動態(tài)方程或狀態(tài)空間表達(dá)式：將狀態(tài)方程和輸出方程聯(lián)立，就構(gòu)成動態(tài)方程或狀態(tài)空間表達(dá)式。一般形式如下：其中：A、B、C、D矩陣含義同上。2024/11/711(3)定常系統(tǒng)：A,B,C,D各元素與時間無關(guān)；時變系統(tǒng)：A,B,C,D中的各元素一部分或全部是時間的函數(shù)；

定常系統(tǒng)；時變系統(tǒng)(5)系統(tǒng)輸出與狀態(tài)的區(qū)別：系統(tǒng)輸出：希望叢系統(tǒng)中測得的信息，物理上可以量測到；系統(tǒng)狀態(tài)：描述系統(tǒng)內(nèi)部行為的信息，物理上不一定可觀測。(4)非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：和是x與u的某類非線性函數(shù)?？梢杂镁€性系統(tǒng)來近似（關(guān)于線性化方法，自己看教材P13）2024/11/712常用符號：[系統(tǒng)動態(tài)方程的模擬結(jié)構(gòu)圖]：模擬結(jié)構(gòu)圖：積分器比例器加法器[小結(jié)]：注：積分器個數(shù)與狀態(tài)變量個數(shù)一致。2024/11/713第二節(jié)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立1、由系統(tǒng)物理機(jī)理建立動態(tài)方程2、由微分方程建立動態(tài)方程3、由傳遞函數(shù)建立動態(tài)方程（系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)問題）4、由結(jié)構(gòu)圖建立動態(tài)方程2024/11/714[狀態(tài)變量的選取]：建立狀態(tài)空間表達(dá)式的前提系統(tǒng)儲能元件的輸出系統(tǒng)輸出及其各階導(dǎo)數(shù)使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量（對角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型）一、從系統(tǒng)物理機(jī)理建立動態(tài)方程2024/11/715狀態(tài)空間分析法舉例例1求圖示機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式外力

位移

牛頓力學(xué)令---彈性系數(shù)阻尼系數(shù)2024/11/716動態(tài)方程如下2024/11/717狀態(tài)空間表達(dá)式為：

例2求圖示RLC回路的狀態(tài)空間表達(dá)式2024/11/718電路如圖1所示。請建立該電路以電壓u1,u2為輸入量，uA為輸出量的狀態(tài)空間表達(dá)式。[例]L2uAu1u2+_+_i1i2R2R1圖1L1[解]：1)選擇狀態(tài)變量兩個儲能元件L1和L2，根據(jù)P8表，可以選擇i1和i2為狀態(tài)變量，且兩者是獨(dú)立的。2024/11/7192）根據(jù)克希荷夫電壓定律，列寫2個回路的微分方程：整理得：2024/11/7203）狀態(tài)空間表達(dá)式為：2024/11/721[例]試列出在外力f作用下，以質(zhì)量的位移為輸出的動態(tài)方程。[解]：該系統(tǒng)有四個獨(dú)立的儲能元件。取狀態(tài)變量如下：質(zhì)量塊受力圖如下：2024/11/722則有：及：將所選的狀態(tài)變量代入上式并整理出狀態(tài)方程得：輸出方程：狀態(tài)方程：2024/11/723寫成矩陣形式：úúúú?ùêêêê?éú?ùê?é=432100100001xxxxy2024/11/724二、由微分方程寫動態(tài)方程——可以轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為在經(jīng)典控制理論中,控制系統(tǒng)的時域模型為：解決問題:選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量,并由定出相應(yīng)的系數(shù)矩陣A、B、C、D.兩類問題：1、微分方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項2、微分方程中包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項2024/11/725微分方程形式:1、微分方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項2.）將上兩邊對t求導(dǎo)，化為狀態(tài)變量的一階微分方程組.1.）選擇狀態(tài)變量.

若給定初始條件則系統(tǒng)行為被完全確定故選擇為系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量——輸出及其各階導(dǎo)數(shù)

令:2024/11/7263.）化為向量矩陣形式：狀態(tài)方程為:

輸出方程為:注意：第一能觀標(biāo)準(zhǔn)型，見后。2024/11/7275.）說明：狀態(tài)變量是輸出y及y的各階導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)矩陣A特點(diǎn)：主對角線上方1個元素為1，最下面一行為微分方程系數(shù)的負(fù)值，其它元素全為0，友矩陣或相伴矩陣。（注意：不要和逆陣中的伴隨陣混淆）4.）畫模擬結(jié)構(gòu)圖：

2024/11/728[例]

設(shè)系統(tǒng)輸入-輸出微分方程為下式，求其狀態(tài)空間表達(dá)式。[解]：若選，可導(dǎo)出系數(shù)矩陣A，B，C

模擬結(jié)構(gòu)圖2024/11/7292、微分方程中包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項（兩種實(shí)現(xiàn)方法）微分方程形式：第一種方法：取拉氏變換后，用傳遞函數(shù)的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)第二種方法：用可觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)注：兩種方法見傳遞函數(shù)的直接實(shí)現(xiàn)一節(jié)。2024/11/730三、由傳遞函數(shù)列寫狀態(tài)空間表達(dá)式傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)方式：

1）直接分解（可控標(biāo)準(zhǔn)型、可觀標(biāo)準(zhǔn)型）

2）串聯(lián)分解

3）并聯(lián)分解（對角線標(biāo)準(zhǔn)型、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型）2024/11/7311、[直接分解的實(shí)現(xiàn)]：（可控標(biāo)準(zhǔn)型、可觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)）引入中間變量，有：令：傳遞函數(shù)為：1）可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)步驟：注意：如果分母中的系數(shù)不為1，則先化為1。2024/11/732選擇狀態(tài)變量如下：對應(yīng)的微分方程分別為（左邊不含有導(dǎo)數(shù)項）：則：2024/11/733寫成矩陣形式有：2024/11/734[例]：求的狀態(tài)