2025年中考數(shù)學考點分類專題歸納之概率

2025年中考數(shù)學考點分類專題歸納概率知識點一、必然事件、不可能事件和隨機事件1.定義：（1）必然事件：在一定條件下重復(fù)進行試驗時，在每次試驗中必然會發(fā)生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件：在每次試驗中都不會發(fā)生的事件叫做不可能事件．（3）隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件.備注：（1）必然發(fā)生的事件和不可能發(fā)生的事件均為“確定事件”，隨機事件又稱為“不確定事件”；（2）要知道事件發(fā)生的可能性大小首先要確定事件是什么類型.一般地，必然發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最大，不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同.知識點二、概率的意義概率是從數(shù)量上刻畫了一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小.一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率(probability)，記為.備注：(1)概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；

(2)概率反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大??；

(3)事件A的概率是一個大于等于0，且小于等于1的數(shù)，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(隨機事件)＜1.知識點三、古典概型滿足下列兩個特點的概率問題稱為古典概型.（1）一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的；（2）一次試驗中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等的.古典概型可以從事件所包含的各種可能的結(jié)果在全部可能的試驗結(jié)果中所占的比例分析事件的概率.備注：如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=.知識點四、用列舉法求概率常用的列舉法有兩種：列表法和樹形圖法.1、列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.備注：（1）列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗的隨機事件發(fā)生的概率.2、樹形圖：當一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖.樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.備注：（1）樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；（2）在用列表法或樹形圖法求可能事件的概率時，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.知識點五、利用頻率估計概率當試驗的可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法來估計概率.備注：用試驗去估計隨機事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗次數(shù)，當試驗次數(shù)很大時，結(jié)果將較為精確.1．（2024株洲）從﹣5，，，﹣1，0，2，π這七個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，恰好為負整數(shù)的概率為（）A． B． C． D．2．（2024襄陽）下列語句所描述的事件是隨機事件的是（）A．任意畫一個四邊形，其內(nèi)角和為180° B．經(jīng)過任意兩點畫一條直線 C．任意畫一個菱形，是中心對稱圖形 D．過平面內(nèi)任意三點畫一個圓3．（2024衡陽）已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為，下列說法錯誤的是（）A．連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上 B．連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次都可能正面朝上 C．大量反復(fù)拋一枚均勻硬幣，平均每100次出現(xiàn)正面朝上50次 D．通過拋一枚均勻硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是公平的4．（2024鐵嶺）有8張看上去無差別的卡片，正面分別寫著1、2、3、4、5、6、7、8．把卡片背面朝上洗勻后，從中任意抽取一張卡片，卡片上的數(shù)字是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．5．（2024本溪）下列事件屬于必然事件的是（）A．經(jīng)過有交通信號的路口，遇到紅燈 B．任意買一張電影票，座位號是雙號 C．向空中拋一枚硬幣，不向地面掉落 D．三角形中，任意兩邊之和大于第三邊6．（2024青海）用扇形統(tǒng)計圖反映地球上陸地面積與海洋面積所占比例時，陸地面積所對應(yīng)的圓心角是108°，當宇宙中一塊隕石落在地球上，則落在陸地上的概率是（）A． B． C． D．7．（2024德陽）下列說法正確的是（）A．“明天降雨的概率為50%”，意味著明天一定有半天都在降雨 B．了解全國快遞包裹產(chǎn)生的包裝垃圾數(shù)量適合采用全面調(diào)查（普查）方式 C．擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動后，6點朝上是必然事件 D．一組數(shù)據(jù)的方差越大，則這組數(shù)據(jù)的波動也越大8．（2024鎮(zhèn)江）小明將如圖所示的轉(zhuǎn)盤分成n（n是正整數(shù)）個扇形，并使得各個扇形的面積都相等，然后他在這些扇形區(qū)域內(nèi)分別標連接偶數(shù)數(shù)字2，4，6，…，2n（每個區(qū)域內(nèi)標注1個數(shù)字，且各區(qū)域內(nèi)標注的數(shù)字互不相同），轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，若事件“指針所落區(qū)域標注的數(shù)字大于8”的概率是，則n的取值為（）A．36 B．30 C．24 D．189．（2024荊州）如圖，將一塊菱形ABCD硬紙片固定后進行投針訓練．已知紙片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD．若隨意投出一針命中了菱形紙片，則命中矩形區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．10．（2024阜新）如圖所示，陰影是兩個相同菱形的重合部分，假設(shè)可以隨機在圖中取點，那么這個點取在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．11．（2024大連）一個不透明的袋子中有三個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，隨機摸出一個小球，記下標號后放回，再隨機摸出一個小球并記下標號，兩次摸出的小球標號的和是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．12．（2024銅仁市）擲一枚均勻的骰子，骰子的6個面上分別刻有1、2、3、4、5、6點，則點數(shù)為奇數(shù)的概率是（）A． B． C． D．13．（2024蘇州）如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形除顏色外都相同．若某人向游戲板投擲飛鏢一次（假設(shè)飛鏢落在游戲板上），則飛鏢落在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．14．（2024呼和浩特）某學習小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如下折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的試驗最有可能的是（）A．袋中裝有大小和質(zhì)地都相同的3個紅球和2個黃球，從中隨機取一個，取到紅球 B．擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面的點數(shù)是偶數(shù) C．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都出現(xiàn)反面 D．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，兩次向上的面的點數(shù)之和是7或超過915．（2024懷化）下列說法正確的是（）A．調(diào)查舞水河的水質(zhì)情況，采用抽樣調(diào)查的方式 B．數(shù)據(jù)2，0，﹣2，1，3的中位數(shù)是﹣2 C．可能性是99%的事件在一次實驗中一定會發(fā)生 D．從2000名學生中隨機抽取100名學生進行調(diào)查，樣本容量為2000名學生16．（2024齊齊哈爾）下列成語中，表示不可能事件的是（）A．緣木求魚 B．殺雞取卵 C．探囊取物 D．日月經(jīng)天，江河行地17．（2024玉林）某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，繪出的某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率折線圖，則符合這一結(jié)果的試驗可能是（）A．拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上 B．擲一個正六面體的骰子，出現(xiàn)3點朝上 C．一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃 D．從一個裝有2個紅球1個黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球18．（2024海南）在一個不透明的袋子中裝有n個小球，這些球除顏色外均相同，其中紅球有2個，如果從袋子中隨機摸出一個球，這個球是紅球的概率為，那么n的值是（）A．6 B．7 C．8 D．919．（2024綏化）如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構(gòu)成，向游戲板隨機投擲一枚飛鏢，擊中黑色區(qū)域的概率是_____．20．（2024常州）中華文化源遠流長，如圖是中國古代文化符號的太極圖，圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于圓心中心對稱．在圓內(nèi)隨機取一點，則此點取黑色部分的概率是______．21．（2024成都）漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶．如圖所示的弦圖中，四個直角三角形都是全等的，它們的兩直角邊之比均為2：3．現(xiàn)隨機向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為_______．22．（2024東麗區(qū)一模）小明擲一枚均勻的骰子，骰子的六個面上分別刻有1，2，3，4，5，6點，得到的點數(shù)為奇數(shù)的概率是______．23．（2024畢節(jié)市）2017年9月，我國中小學生迎來了新版“教育部統(tǒng)編義務(wù)教育語文教科書”，本次“統(tǒng)編本”教材最引人關(guān)注的變化之一是強調(diào)對傳統(tǒng)文化經(jīng)典著作的閱讀，某校對A《三國演義》、B《紅樓夢》、C《西游記》、D《水滸》四大名著開展“最受歡迎的傳統(tǒng)文化經(jīng)典著作”調(diào)查，隨機調(diào)查了若干名學生（每名學生必選且只能選這四大名著中的一部）并將得到的信息繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖：（1）本次一共調(diào)查了____名學生；（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）某班語文老師想從這四大名著中隨機選取兩部作為學生暑期必讀書籍，請用樹狀圖或列表的方法求恰好選中《三國演義》和《紅樓夢》的概率．24．（2024甘孜州）某區(qū)域為響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，加強了綠化建設(shè)．為了解該區(qū)域群眾對綠化建設(shè)的滿意程度，某中學數(shù)學興趣小組在該區(qū)域的甲、乙兩個片區(qū)進行了調(diào)查，得到如下不完整統(tǒng)計圖．請結(jié)合圖中信息，解決下列問題：（1）此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為____人，其中“非常滿意”的人數(shù)為____人；（2）興趣小組準備從“不滿意”的4位群眾中隨機選擇2位進行回訪，已知這4位群眾中有2位來自甲片區(qū)，另2位來自乙片區(qū)，請用畫樹狀圖或列表的方法求出選擇的群眾來自甲片區(qū)的概率．25．（2024永州）永州植物園“清風園”共設(shè)11個主題展區(qū)．為推進校園文化建設(shè)，某校九年級（1）班組織部分學生到“清風園”參觀后，開展“我最喜歡的主題展區(qū)”投票調(diào)查．要求學生從“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理學文化”、“瑤文化”五個展區(qū)中選擇一項，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出了兩幅不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．結(jié)合圖中信息，回答下列問題．（1）參觀的學生總?cè)藬?shù)為____人；（2）在扇形統(tǒng)計圖中最喜歡“瑤文化”的學生占參觀總學生數(shù)的百分比為_____；（3）補全條形統(tǒng)計圖；（4）從最喜歡“德文化”的學生中隨機選兩人參加知識搶答賽，最喜歡“德文化”的學生甲被選中的概率為______．26．（2024蘇州）如圖，在一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤中，指針位置固定，三個扇形的面積都相等，且分別標有數(shù)字1，2，3．（1）小明轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針所指扇形中的數(shù)字是奇數(shù)的概率為________；（2）小明先轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄下指針所指扇形中的數(shù)字；接著再轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，再次記錄下指針所指扇形中的數(shù)字，求這兩個數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率（用畫樹狀圖或列表等方法求解）．27．（2024煙臺）隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，人們?nèi)ド虉鲑徫锏闹Ц斗绞礁佣鄻?、便捷．某校?shù)學興趣小組設(shè)計了一份調(diào)查問卷，要求每人選且只選一種你最喜歡的支付方式．現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果進行統(tǒng)計并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題：（1）這次活動共調(diào)查了_____人；在扇形統(tǒng)計圖中，表示“支付寶”支付的扇形圓心角的度數(shù)為_____；（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整．觀察此圖，支付方式的“眾數(shù)”是“____”；（3）在一次購物中，小明和小亮都想從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進行支付，請用畫樹狀圖或列表格的方法，求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率．28．（2024遵義）某超市在端午節(jié)期間開展優(yōu)惠活動，凡購物者可以通過轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的方式享受折扣優(yōu)惠，本次活動共有兩種方式，方式一：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲，指針指向A區(qū)域時，所購買物品享受9折優(yōu)惠、指針指向其它區(qū)域無優(yōu)惠；方式二：同時轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙，若兩個轉(zhuǎn)盤的指針指向每個區(qū)域的字母相同，所購買物品享受8折優(yōu)惠，其它情況無優(yōu)惠．在每個轉(zhuǎn)盤中，指針指向每個區(qū)城的可能性相同（若指針指向分界線，則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤）（1）若顧客選擇方式一，則享受9折優(yōu)惠的概率為________；（2）若顧客選擇方式二，請用樹狀圖或列表法列出所有可能，并求顧客享受8折優(yōu)惠的概率．29．（2024湘潭）為進一步深化基礎(chǔ)教育課程改革，構(gòu)建符合素質(zhì)教育要求的學校課程體系，某學校自主開發(fā)了A書法、B閱讀，C足球，D器樂四門校本選修課程供學生選擇，每門課程被選到的機會均等．（1）學生小紅計劃選修兩門課程，請寫出她所有可能的選法；（2）若學生小明和小剛各計劃選修一門課程，則他們兩人恰好選修同一門課程的概率為多少？30．（2024鹽城）端午節(jié)是我國傳統(tǒng)佳節(jié)．小峰同學帶了4個粽子（除粽餡不同外，其它均相同），其中有兩個肉餡粽子、一個紅棗餡粽子和一個豆沙餡粽子，準備從中任意拿出兩個送給他的好朋友小悅．（1）用樹狀圖或列表的方法列出小悅拿到兩個粽子的所有可能結(jié)果；（2）請你計算小悅拿到的兩個粽子都是肉餡的概率．31．（2024臨安區(qū)）不透明的口袋里裝有白、黃、藍三種顏色的乒乓球（除顏色外其余都相同），其中白球有2個，黃球有1個，現(xiàn)從中任意摸出一個是白球的概率為．（1）試求袋中藍球的個數(shù)；（2）第一次任意摸一個球（不放回），第二次再摸一個球，請用畫樹狀圖或列表格法，求兩次摸到都是白球的概率．32．（2024無錫）某校4月份八年級的生物實驗考查，有A、B、C、D四個考查實驗，規(guī)定每位學生只參加其中一個實驗的考查，并由學生自己抽簽決定具體的考查實驗．小明、小麗都參加了本次考查．（1）小麗參加實驗A考查的概率是__；（2）用列表或畫樹狀圖的方法求小明、小麗都參加實驗A考查的概率．33．（2024廣元）為了提高學生的身體素質(zhì)，某班級決定開展球類活動，要求每個學生必須在籃球、足球、排球、兵乓球、羽毛球中選擇一項參加訓練（只選擇一項），根據(jù)學生的報名情況制成如下統(tǒng)計表：項目籃球足球排球乒乓球羽毛球報名人數(shù)1284a10占總?cè)藬?shù)的百分比24%b（1）該班學生的總?cè)藬?shù)為____人；（2）由表中的數(shù)據(jù)可知：a＝____，b＝_____；（3）報名參加排球訓練的四個人為兩男（分別記為A、B）兩女（分別記為C、D），現(xiàn)要隨機在這4人中選2人參加學校組織的校級訓練，請用列表或樹狀圖的方法求出剛好選中一男一女的概率．34．（2024鄂爾多斯）“金山銀山，不如綠水青山”．鄂爾多斯市某旗區(qū)不斷推進“森林城市”建設(shè)，今春種植四類樹苗，園林部門從種植的這批樹苗中隨機抽取了4000棵，將各類樹苗的種植棵數(shù)繪制成扇形統(tǒng)計圖，將各類樹苗的成活棵數(shù)繪制成條形統(tǒng)計圖，經(jīng)統(tǒng)計松樹和楊樹的成活率較高，且楊樹的成活率為97%，根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：（1）扇形統(tǒng)計圖中松樹所對的圓心角為_____度，并補全條形統(tǒng)計圖．（2）該旗區(qū)今年共種樹32萬棵，成活了約多少棵？（3）園林部門決定明年從這四類樹苗中選兩類種植，請用列表法或樹狀圖求恰好選到成活率較高的兩類樹苗的概率．（松樹、楊樹、榆樹、柳樹分別用A，B，C，D表示）35．（2024本溪）某校在宣傳“民族團結(jié)”活動中，采用四種宣傳形式：A．器樂，B．舞蹈，C．朗誦，D．唱歌．每名學生從中選擇并且只能選擇一種最喜歡的，學校就宣傳形式對學生進行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合圖中所給信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查的學生共有_____人；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）該校共有1200名學生，請估計選擇“唱歌”的學生有多少人？（4）七年一班在最喜歡“器樂”的學生中，有甲、乙、丙、丁四位同學表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)從這四位同學中隨機選出兩名同學參加學校的器樂隊，請用列表或畫樹狀圖法求被選取的兩人恰好是甲和乙的概率．36．（2024百色）密碼鎖有三個轉(zhuǎn)輪，每個轉(zhuǎn)輪上有十個數(shù)字：0，1，2，…9．小黃同學是9月份中旬出生，用生日“月份+日期”設(shè)置密碼：9××小張同學要破解其密碼：（1）第一個轉(zhuǎn)輪設(shè)置的數(shù)字是9，第二個轉(zhuǎn)輪設(shè)置的數(shù)字可能是_____．（2）請你幫小張同學列舉出所有可能的密碼，并求密碼數(shù)能被3整除的概率；（3）小張同學是6月份出生，根據(jù)（1）（2）的規(guī)律，請你推算用小張生日設(shè)置的密碼的所有可能個數(shù)．37．（2024巴彥淖爾）小美周末來到公園，發(fā)現(xiàn)在公園一角有一種“守株待兔”游戲．游戲設(shè)計者提供了一只兔子和一個有A，B，C，D，E五個出入口的兔籠，而且籠內(nèi)的兔子從每個出入口走出兔籠的機會是均等的．規(guī)定：①玩家只能將小兔從A，B兩個出入口放入：②如果小兔進入籠子后選擇從開始進入的出入口離開，則可獲得一只價值4元的小兔玩具，否則應(yīng)付費3元．（1）請用畫樹狀圖的方法，列舉出該游戲的所有可能情況；（2）小美得到小兔玩具的機會有多大？（3）假設(shè)有125人次玩此游戲，估計游戲設(shè)計者可賺多少元．38．（2024青海）某中學為了解學生對新聞、體育、娛樂、動畫四類電視節(jié)目的喜愛情況，進行了統(tǒng)計調(diào)查．隨機調(diào)查了某班所有同學最喜歡的節(jié)目（每名學生必選且只能選擇四類節(jié)目中的一類）并將調(diào)查結(jié)果繪成如下不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)兩圖提供的信息，回答下列問題：（1）最喜歡娛樂類節(jié)目的有____人，圖中x＝____；（2）請補全條形統(tǒng)計圖；（3）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，若該校有1800名學生，請你估計該校有多少名學生最喜歡娛樂類節(jié)目；（4）在全班同學中，有甲、乙、丙、丁等同學最喜歡體育類節(jié)目，班主任打算從甲、乙、丙、丁4名同學中選取2人參加學校組織的體育知識競賽，請用列表法或樹狀圖求同時選中甲、乙兩同學的概率．39．（2024蘭州）在一個不透明的布袋里裝有4個標有1、2、3、4的小球，它們的形狀、大小完全相同，李強從布袋中隨機取出一個小球，記下數(shù)字為x，王芳在剩下的3個小球中隨機取出一個小球，記下