安徽省2024屆高三數(shù)學(xué)信息押題卷(三)（含答案解析）

2024屆高三信息押題卷（三）數(shù)學(xué)試題1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（）A.0.45 B.0.55 C.0.1 D.0.9【答案】A【解析】【分析】由題可知，所以和對稱，據(jù)此求解即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以；所以．故選：A．2.已知全集，集合，則集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合交集、并集、補(bǔ)集的定義逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，故錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔇正確.故選：D3.已知非零平面向量，，那么“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】在向量非零向量的情況下，若，即，即有，即．又，故，又，所以，即方向相反，故，即“”是“”的必要條件；若，則共線，但與的方向可能相同也可能相反，所以由推不出，故充分性不成立；綜上所述，“”是“”的必要而不充分條件．故選：B．4.已知滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先應(yīng)用兩角和的正弦化簡得出，再應(yīng)用兩角差的正弦計(jì)算即可.【詳解】，所以，所以，故選:C．5.設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（）A若，，則B.若與所成的角相等，則C.若，，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對于A，平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤；對于B，與所成的角相等，則可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯(cuò)誤，對于C，，，則可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯(cuò)誤；對于D，，則，D正確.故選：D．6.已知雙曲線分別為的右焦點(diǎn)和左頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)、點(diǎn)在上，求出可得答案．【詳解】由題設(shè)知，，則，所以，且，易知，又因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，所以，因?yàn)椋?，則，化簡得，解得或（舍去）．所以，故的離心率為．故選：B．7.已知成等比數(shù)列，且．若，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先證不等式，再確定公比的取值范圍，進(jìn)而作出判斷.【詳解】令則，令得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，若公比，則，不合題意；若公比，則但，即，不合題意；因此，，選B.【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)對不等式進(jìn)行放縮，進(jìn)而限制參數(shù)取值范圍，是一個(gè)有效方法.如8.已知函數(shù)滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意先賦值代入等量關(guān)系式求出，再賦值得，進(jìn)而依據(jù)此計(jì)算規(guī)則逐步求出，即求出是周期為6的周期函數(shù)，再依據(jù)此計(jì)算規(guī)則結(jié)合和求出，進(jìn)而結(jié)合周期即可求解.【詳解】取代入，得即，由題解得，令代入得，故，所以是周期為6的周期函數(shù)，又，，所以，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：依次賦值和代入分別得到和，再依據(jù)所得條件推出即函數(shù)周期為6和，進(jìn)而根據(jù)周期性和即可求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】先設(shè)，其中，對于選項(xiàng)A、B結(jié)合共軛復(fù)數(shù)定義、復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算直接進(jìn)行運(yùn)算即可判斷；對于C，設(shè)且，結(jié)合三角恒等變換公式、復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模長公式進(jìn)行運(yùn)算即可求解判斷；對于D，根據(jù)復(fù)數(shù)模長公式進(jìn)行運(yùn)算且結(jié)合特殊值法舉例即可求解判斷.【詳解】設(shè)，其中，對于選項(xiàng)A：，，因?yàn)榕c不一定相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：設(shè)且，則，所以，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)椋裕?，而與不一定相等，如當(dāng)時(shí)，，兩者不相等，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，對于任意，有，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.函數(shù)在上共有6個(gè)極值點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】由題意推導(dǎo)出周期，求出的值，再利用函數(shù)關(guān)于對稱，可求出的值，再利用三角函數(shù)的對稱性和單調(diào)性逐一分析選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)椋裕虼?，從而，注意到，故，所以，又，所以的圖象關(guān)于直線對稱，從而，即，所以，又，所以，所以，所以的最小正周期為，故A正確；因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C正確；令，得，令，得，故，易知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故函數(shù)在上共有6個(gè)極值點(diǎn)，故D正確．故選：ACD．11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)和點(diǎn)在點(diǎn)的兩側(cè)），則下列命題正確的是（）A.存在直線，使得B.若為的中線，則C.若為的角平分線，則D.對于任意直線，都有【答案】BD【解析】【分析】設(shè)，不妨令都在第一象限，，聯(lián)立拋物線，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，則，再根據(jù)各選項(xiàng)描述、拋物線定義判斷它們正誤.【詳解】由題意，設(shè)，不妨令都第一象限，，聯(lián)立和，則，且，即，所以，則．A選項(xiàng)，若，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，即為等腰直角三角形，此時(shí)，即，所以，所以，所以，所以，則此時(shí)為同一點(diǎn)，不合題設(shè)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若為的中線，則，所以，所以，故，所以，則，故B正確；C選項(xiàng)，若為的角平分線，則，作垂直準(zhǔn)線于，則且，所以，即，則，將代入整理得，則，所以，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，而，結(jié)合，可得，即恒成立，故D正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.一個(gè)勞動(dòng)小組有名同學(xué)，其中名女生，名男生．從這個(gè)小組中任意選出名同學(xué)，則選出的同學(xué)中既有男生又有女生的概率為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，求出基本事件的總數(shù)及既有男生又有女生的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概率公式，即可求出結(jié)果.【詳解】一個(gè)勞動(dòng)小組有3名同學(xué)，其中2名女生，1名男生，所以從這個(gè)小組中任意選出2名同學(xué)基本事件總數(shù)為，選出的同學(xué)中既有男生又有女生包含的基本事件個(gè)數(shù)為，則所求事件的概率為，故答案為：．13.若直線是曲線fx=lnx的切線，也是曲線的切線，則__________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在切點(diǎn)的橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)即為斜率和切點(diǎn)在直線上即可先求出公切線的方程，然后根據(jù)函數(shù)在切點(diǎn)的橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)即為斜率和切點(diǎn)在直線上即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)設(shè)直線與的切點(diǎn)為，則切線方程為,即，又因?yàn)樗裕獾?，，所以切線方程：，因?yàn)椋?，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，所以①，又因?yàn)榍悬c(diǎn)在直線上，所以②，由①和②可得，所以，解得故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究兩個(gè)函數(shù)的公切線問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用函數(shù)在切點(diǎn)橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)即為斜率以及切點(diǎn)在切線上求解即可.14.在平面四邊形中，，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)，且，則四面體的外接球的體積為____________；若點(diǎn)在線段上，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓中面積最小的圓半徑為____________．【答案】①.②.##【解析】【分析】先由題意求出，從而得的中點(diǎn)滿足，進(jìn)而得的中點(diǎn)為四面體的外接球的球心，再依據(jù)條件求出外接球半徑即可得四面體的外接球的體積；過點(diǎn)作球的截面，截面圓面積最小只需截面圓半徑最小，從而依據(jù)球的截面性質(zhì)可知，截面圓面積最小，只需球心到截面的距離最大即可，再由球的結(jié)構(gòu)特征可知，接著取的中點(diǎn)，依據(jù)已知條件求出即可依據(jù)求出，進(jìn)而依據(jù)求出.詳解】由題意知，，，，由勾股定理可知，所以，取的中點(diǎn)，所以，所以四面體的外接球的球心在斜邊的中點(diǎn)處，四面體的外接球的半徑，外接球的體積；根據(jù)題意可知，過點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面圓面積最小，只需截面圓半徑最小，設(shè)球到截面的距離為，則由球的截面性質(zhì)可知，故若要所得的截面圓面積最小，只需球心到截面的距離最大即可，又由球的結(jié)構(gòu)特征可知當(dāng)且僅當(dāng)與截面垂直時(shí)，球心到截面的距離最大，即，取的中點(diǎn)，所以，所以截面圓的半徑為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）球心與球的截面圓圓心所在直線垂直于截面，（2）球的半徑R與球的截面圓半徑r以及球心與球的截面圓的距離d的關(guān)系為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，證明：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）將原函數(shù)求導(dǎo)，就參數(shù)進(jìn)行分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即得函數(shù)的單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)gx=fx?ax，在條件下，判斷的符號，得到得證【小問1詳解】的定義域,若則在0,+∞上單調(diào)遞增；若當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，時(shí)，則單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因，設(shè)則，則在1,+∞上單調(diào)遞減，故.16.如圖，多面體中，已知面是邊長為4的正方形，是等邊三角形，，，平面平面．（1）求證：；（2）求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)推理即可得證.（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求出二面角.【小問1詳解】由是正方形，得，而平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，于是，又，所以.【小問2詳解】在平面內(nèi)過作，由平面平面，平面平面，得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，而平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，顯然為銳角，于是，則，所以二面角的大小.17.已知橢圓，左右頂點(diǎn)分別為，長半軸等于焦距，過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)不與重合．（1）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求的值；（2）若直線過橢圓的焦點(diǎn)，且滿足，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)題意知長半軸等于焦距可得且，設(shè)出坐標(biāo)后表示出斜率，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，計(jì)算即可得；(2)結(jié)合(1)問所得，聯(lián)立方程計(jì)算即可得.【小問1詳解】根據(jù)題意知長半軸等于焦距可得且，可得．設(shè)，則，由題可知，，所以①，由在橢圓上，得，即代入①得．【小問2詳解】由對稱性，不妨設(shè)直線過焦點(diǎn)，根據(jù)(1)問知，，，所以直線的斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式可設(shè)直線為：，與橢圓聯(lián)立方程組得化簡得：，，解之得或(因?yàn)樗陨釛?，故代入直線，得．，解得，所以橢圓的方程為：．18.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束．（1）求事件“且乙獲勝”的概率；（2）求；（3）記事件“且甲獲勝”的概率為，求證：．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）事件“且乙獲勝”，表示在雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了2個(gè)球，且這兩個(gè)求均由乙得分;（2）事件“”表示在雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了4個(gè)球，且這4個(gè)球分為前兩球是甲、乙各得1分，后兩個(gè)球均由甲得分，或則均由乙得分;（3）對和進(jìn)行分析研究，，再求出甲先發(fā)球，記“比賽2局結(jié)果為平局”為事件，求出其概率為，最后得到當(dāng)時(shí)，，再利用等比數(shù)列得通項(xiàng)公式以及求和公式可得答案.【小問1詳解】記事件“且乙獲勝”為事件，則這兩個(gè)求均由乙得分，所以.【小問2詳解】由題可得：事件“”表示在雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了4個(gè)球，且這4個(gè)球分為前兩球是甲、乙各得1分，后兩個(gè)球均由甲得分，或則均由乙得分，所以【小問3詳解】由比賽規(guī)則可知：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，事件“且甲獲勝”，就是在雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了個(gè)球，且這個(gè)球的得分情況為：前個(gè)球是每兩個(gè)球甲、乙各得1分，最后第，個(gè)球均由甲得分；記“比賽2局結(jié)果為平局”為事件，則．則．又因?yàn)椋裕C上，所以，因?yàn)?，，所?9.已知數(shù)列滿足：．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求實(shí)數(shù)的值，使得數(shù)列是等差數(shù)列；（3）對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中．如果的一階差分?jǐn)?shù)列滿足，則稱是“絕對差異數(shù)列”．判斷數(shù)列是否為“絕對差異數(shù)列”并給出證明．【答案】（1）（2）（3）數(shù)列是“絕對差異數(shù)列”，證明見解析【解