第十三章 軸對稱（4個易錯點）

第十三章軸對稱（易錯點）【易錯一求等腰三角形的周長時忽略構成三角形的三邊關系產生易錯】例題：已知是等腰三角形，如果它的兩條邊的長分別為和，則它的周長為________．【變式訓練】1．若的三邊長分別為，7，6，當為等腰三角形時，則的值為__________．2．用一條長為的細繩圍成一個等腰三角形，已知這個等腰三角形一邊長是另一邊長的1.5倍，則它的底邊長為______．【易錯二當等腰三角形中腰和底不明求角度時沒有分類討論產生易錯】例題：等腰三角形的一個角的度數是，則它的底角的度數是______．【變式訓練】1．等腰三角形的一個角比另一個角的2倍少，則這個等腰三角形的頂角度數是_____．2．在中，，，點D在邊上（不與B、C重合），連接，若是等腰三角形，則的度數為___________．【易錯三求有關等腰三角形中的多解題沒有分類討論產生易錯】例題：已知中，，，若沿射線方向平移m個單位得到，頂點A，B，C分別與頂點D，E，F對應，若以點A，D，E為頂點的三角形是等腰三角形，則m的值是______．【變式訓練】1．在中，，，，、分別是邊、上的動點將沿直線翻折，使點的對應點恰好落在邊上若是等腰三角形，則的長是______．【易錯四三角形的形狀不明時與高線及其他線結合沒有分類討論產生易錯】例題：等腰三角形一腰上的中線把三角形周長分為和兩部分,則此三角形的底邊長為()A． B． C．或 D．無法確定【變式訓練】1．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個三角形的頂角為（）A． B． C． D．或2．在中，，是邊上的高，，則____________．3．在中，，上的中線把三角形的周長分成和兩部分，則底邊的長為______．

第十三章軸對稱（易錯點）答案全解全析易錯專練【易錯一求等腰三角形的周長時忽略構成三角形的三邊關系產生易錯】例題：已知是等腰三角形，如果它的兩條邊的長分別為和，則它的周長為________．【答案】【分析】分兩種情況討論：①當等腰三角形的腰長為，底邊長為時；②當等腰三角形的腰長為，底邊長為時，利用三角形的三邊關系分別求解，即可得到答案．【詳解】解：①當等腰三角形的腰長為，底邊長為時，，不能構成三角形；②當等腰三角形的腰長為，底邊長為時，，能構成三角形，的周長為；綜上所述，的周長為故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，等腰三角形的定義，解題關鍵是掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【變式訓練】1．若的三邊長分別為，7，6，當為等腰三角形時，則的值為__________．【答案】3或4##4或3【分析】根據等腰三角形的性質分兩種情況：當時，當時，再結合三角形三邊關系檢驗即可．【詳解】解：∵為等腰三角形，∴當時，解得，∴三邊長為6，6，7∵，∴符合三角形三邊的條件，當時，解得，∴三邊長為7，7，6∵，∴符合三角形三邊的條件，∴的值為4和3．故答案為：4和3．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系和等腰三角形的定義（兩邊相等的三角形），靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．2．用一條長為的細繩圍成一個等腰三角形，已知這個等腰三角形一邊長是另一邊長的1.5倍，則它的底邊長為______．【答案】12或7【分析】可設一邊為，則另一邊為，然后分x為腰和底兩種情況，表示出周長，解出x，再利用三角形三邊關系進行驗證即可．【詳解】解：設一邊為，則另一邊為，①當長為的邊為腰時，此時三角形的三邊長分別為、、，由題意可列方程：，解得，此時三角形的三邊長分別為：、和，滿足三角形三邊之間的關系，符合題意；②當長為的邊為底時，此時三角形的三邊長分別為：、、，由題意可列方程：，解得：，此時三角形的三邊長分別為：、、，滿足三角形的三邊之間的關系，符合題意；∴這個三角形的底邊長為或．故答案為：12或7．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質及三角形三邊關系，分情況討論且進行三邊驗證是解題的關鍵．【易錯二當等腰三角形中腰和底不明求角度時沒有分類討論產生易錯】例題：等腰三角形的一個角的度數是，則它的底角的度數是______．【答案】或【分析】分的角是是底角和頂角的情況分析，根據三角形的內角和定理即可求解．【詳解】解：當的角是底角時，則底角為，當的角是頂角時，則底角為，故答案為：或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質，分類討論是解題的關鍵．【變式訓練】1．等腰三角形的一個角比另一個角的2倍少，則這個等腰三角形的頂角度數是_____．【答案】或或【分析】設另一個角是，表示出一個角是，然后分①是頂角，是底角，②是底角，是頂角，③與都是底角根據三角形的內角和等于與等腰三角形兩底角相等列出方程求解即可．【詳解】解：設另一個角是，表示出一個角是，①是頂角，是底角時，，解得，所以，頂角是；②是底角，是頂角時，，解得，所以，頂角是；③與都是底角時，，解得，所以，頂角是；綜上所述，這個等腰三角形的頂角度數是或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質，三角形的內角和定理，難點在于分情況討論，特別是這兩個角都是底角的情況容易漏掉而導致出錯．2．在中，，，點D在邊上（不與B、C重合），連接，若是等腰三角形，則的度數為___________．【答案】或【分析】在中，根據，，得到，再根據是等腰三角形及三角形外角公式分類討論即可得到答案．【詳解】解：如圖所示,在中，∵，，∴，若是等腰三角形，①當時，，，②當時，，，，綜上所述或．【點睛】本題考查利用等腰三角形性質求角度及三角形內外角關系，解題關鍵是分析出的腰．【易錯三求有關等腰三角形中的多解題沒有分類討論產生易錯】例題：已知中，，，若沿射線方向平移m個單位得到，頂點A，B，C分別與頂點D，E，F對應，若以點A，D，E為頂點的三角形是等腰三角形，則m的值是______．【答案】或或【分析】分，，三種情況進行討論求解即可．【詳解】解：∵，，∴，沿射線方向平移m個單位得到，∴，，點A，D，E為頂點的三角形是等腰三角形時，分三種情況①當時：如圖，此時；

②當時：如圖，

則：，在中，，即：，解得：；③當時，如圖：

此時，∵，∴，∴；綜上：，或；故答案為：或或．【點睛】本題考查平移的性質，勾股定理，等腰三角形的性質．根據題意，準確的畫圖，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．【變式訓練】1．在中，，，，、分別是邊、上的動點將沿直線翻折，使點的對應點恰好落在邊上若是等腰三角形，則的長是______．【答案】或或【分析】分三種情況討論：當時，是等腰三角形；當時，是等腰三角形；當時，是等腰三角形，分別根據等腰三角形的性質以及勾股定理進行計算，即可得到的值．【詳解】解：，，，，，分三種情況討論：如圖所示，當點與點重合時，，

，，，，即是等腰三角形，此時，；如圖所示，當時，是等腰三角形，

，由折疊可得，，，又，是等腰直角三角形，設，則，中，，解得，舍去，；如圖所示，當點與點重合時，，

，，即是等腰三角形，此時，綜上所述，當是等腰三角形時，的值是或或．故答案為：或或．【點睛】本題主要考查了折疊問題，等腰三角形的性質，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是依據是等腰三角形，畫出圖形進行分類討論，解題時注意方程思想的運用．【易錯四三角形的形狀不明時與高線及其他線結合沒有分類討論產生易錯】例題：等腰三角形一腰上的中線把三角形周長分為和兩部分,則此三角形的底邊長為(

)A． B． C．或 D．無法確定【答案】C【分析】根據題意作出圖形，設，然后分兩種情況列出方程組求解，再根據三角形的三邊關系判斷即可求解．【詳解】解：如圖所示，根據等腰三角形的定義和三角形中線的性質得：．可設，∴．由題意得：或，解得：或．當時，即此時等腰三角形的三邊為，，，，符合三角形的三邊關系，此情況成立；當時，即此時等腰三角形的三邊為，，，，符合三角形的三邊關系，此情況成立．綜上可知這個等腰三角形的底邊長是或．故選：C．【點睛】本題考查三角形三邊關系，等腰三角形的定義，三角形中線的性質．利用分類討論的思想是解題關鍵．【變式訓練】1．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個三角形的頂角為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分三角形是銳角三角形時，利用直角三角形兩銳角互余求解；三角形是鈍角三角形時，利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解．【詳解】如圖1，三角形是銳角三角時，

∵，∴頂角；如圖2，三角形是鈍角時，

∵，∴頂角，綜上所述，頂角等于或．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．2．在中，，是邊上的高，，則____________．【答案】或/或【分析】根據三角形的內角和定理，求出的度數然后再求出的度數；【詳解】如圖，當在內時

如圖當在外時

故答案為或【點睛】本題考查的是等腰