第十二章 全等三角形（單元重點綜合測試）

第十二章全等三角形（單元重點綜合測試）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列各項中，兩個圖形屬于全等圖形的是（）A． B．C．

D．2．如圖，點P是平分線上一點，，垂足為點D，若，則點P到邊的距離是（）

A．1 B．2 C．1.5 D．43．如圖，一塊三角形的玻璃碎成3塊（圖中所標1、2、3），小華帶第3塊碎片去玻璃店，購買形狀相同、大小相等的新玻璃，這是利用三角形全等中的（）

A． B． C． D．4．如圖，點在內，且到三邊的距離相等，連接．若，則的度數是（）

A． B． C． D．5．如圖，已知．添加一個條件后，不能證明的是（）

A． B．C． D．6．如圖，方格紙是由9個相同的正方形組成，則與的和為（）

A．45° B．70° C．80° D．90°7．如圖，已知（點、、的對應點分別為點、、），若，，則的度數是（）A． B． C． D．8．如圖，三條公路把A，B，C三個村莊連成一個三角形區(qū)域，現決定在這個三角形區(qū)域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，則這個集貿市場應建在（

）

A．三角形三個內角的角平分線的交點B．三角形三條邊的垂直平分線的交點C．三角形三條高的交點D．三角形三條中線的交點9．如圖，平分，，于點E，，，則的長度為（）

A． B． C． D．10．如圖，已知、的角平分線、相交于點，，，垂足分別為、．現有四個結論：①平分；②；③；④．其中結論正確的是（填寫結論的編號）（）A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．如圖，四邊形四邊形，若，，，則_____°．12．如圖，要測量河兩岸相對的兩點的距離，先在的垂線上取兩點，使，再確定出的垂線，使得點在同一條直線上，測得米，因此，的長是_________米．13．如圖是兩把完全相同的長方形直尺，一把直尺壓住射線，且與射線交于點C，另一把直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點P，連接，已知，則的度數是________．

14．如圖，在中，是邊上的高線，的平分線交于E，當，的面積為2時，的長為__．15．如圖，為的中線，點在的延長線上，連接，且，過點作于點，連接，若，，則的長為_____．16．如圖，，，，點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上以的速度由點向點運動．它們運動的時間為．當與全等時，的值為______．

三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）17．如圖，在中，，是的平分線，過點D作，若，．求的長．

18．如圖，和的頂點C，E，F，B在同一直線上，點A，點D在兩側，已知，，．與全等嗎？說明理由．

19．如圖，已知，點在邊上，與相交于點．

(1)若，，求線段的長；(2)若，，求的度數．20．如圖是的正方形網格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中過點C作一條線段，使點C到AB所在直線的距離最短；(2)在圖2中過點C作一條直線，使點A，B到直線的距離相等．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）21．如圖，的外角的平分線交邊的垂直平分線于P點，于D，于E，連接，．

(1)求證：；(2)若，，求的長．22．在中，，，點D是AC邊上一點，交于點F，交直線于點E．

(1)如圖1，當D為的中點時，證明：．(2)如圖2，若于點M，當點D運動到某一位置時恰有，則與有何數量關系，并說明理由．(3)連接，當時，求的值．23．如圖，中，點在邊延長線上，，的平分線交于點E，過點E作，垂足為H，且．(1)求的度數；(2)求證：平分；(3)求的度數；(4)若，，且，求的面積．五、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）24．（1）問題發(fā)現：如圖1，射線在的內部，點B、C分別在的邊、上，且，若，求證：；（2）類比探究：如圖2，，且．（1）中的結論是否仍然成立，請說明理由；（3）拓展延伸：如圖3，在中，，．點E在邊上，，點D、F在線段上，．若的面積為，，求與的面積之比．

25．【發(fā)現問題】（1）數學活動課上，王老師提出了如下問題：如圖1，在中，，，求邊上的中線的取值范圍．

【探究方法】第一小組經過合作交流，得到了如下的解決方法：①延長到E，使得；②連接，通過三角形全等把、、轉化在中；③利用三角形的三邊關系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍是______．方法總結：解題時，條件中若出現“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．【問題解決】（2）如圖2，是的中線，是的中線，且，，下列四個選項中：直接寫出所有正確選項的序號是______．①②③④【問題拓展】（3）如圖3，，，與互補，連接、，E是的中點，求證：．（4）如圖4，在（3）的條件下，若，延長交于點F，，，則的面積是______．

第十二章全等三角形（單元重點綜合測試）答案全解全析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列各項中，兩個圖形屬于全等圖形的是（）A． B．C． D．

【答案】C【分析】利用全等圖形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形可得答案．【詳解】解：A、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；B、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；C、兩個圖形能夠完全重合，是全等圖形，符合題意；D、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是全等形的識別、全等圖形的基本性質，屬于較容易的基礎題．2．如圖，點P是平分線上一點，，垂足為點D，若，則點P到邊的距離是（）

A．1 B．2 C．1.5 D．4【答案】B【分析】根據角平分線的性質直接可得．【詳解】解：如圖，過點P作，垂足為點G，

根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質；掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．3．如圖，一塊三角形的玻璃碎成3塊（圖中所標1、2、3），小華帶第3塊碎片去玻璃店，購買形狀相同、大小相等的新玻璃，這是利用三角形全等中的（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意應先假定選擇哪塊，再對應三角形全等判定的條件進行驗證．【詳解】解：1、2塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內的三個證明全等的要素，所以不能帶它們去，只有第3塊有完整的兩角及夾邊，符合，滿足題目要求的條件，是符合題意的，故選：B．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定，看這3塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定．判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．4．如圖，點在內，且到三邊的距離相等，連接．若，則的度數是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由點在內，且到三邊的距離相等，可知是角平分線的交點，則，，由，可得，根據，計算求解即可．【詳解】解：∵點在內，且到三邊的距離相等，∴是角平分線的交點，∴，，∵，∴，即，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的判定定理，三角形內角和定理．解題的關鍵在于明確角度之間的數量關系．5．如圖，已知．添加一個條件后，不能證明的是（）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據全等三角形的判定定理，逐個進行判斷即可．【詳解】解：A、∵，，∴，即，在和中，，∴，故A不符合題意；B、在和中，，∴，故B不符合題意；C、在和中，，∴，故C不符合題意；D、在和中，，，，不能得出，故D符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法有：．6．如圖，方格紙是由9個相同的正方形組成，則與的和為（）

A．45° B．70° C．80° D．90°【答案】D【分析】由全等三角形的判定與性質即可求解．【詳解】解：設正方形的邊長為．如圖所示：

故選：D【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質．掌握相關幾何結論是解題關鍵．7．如圖，已知（點、、的對應點分別為點、、），若，，則的度數是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角形內角和求出的度數，再利用全等三角形的性質得到的度數．【詳解】解：∵，，∴，∵∴故選：A．【點睛】此題考查了全等三角形的性質，三角形內角和的定理，熟練掌握全等三角形的對應角相等是解題的關鍵．8．如圖，三條公路把A，B，C三個村莊連成一個三角形區(qū)域，現決定在這個三角形區(qū)域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，則這個集貿市場應建在（

）

A．三角形三個內角的角平分線的交點 B．三角形三條邊的垂直平分線的交點C．三角形三條高的交點 D．三角形三條中線的交點【答案】A【分析】根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等解答即可．【詳解】解：根據角平分線的性質，集貿市場應建在三個角的角平分線的交點處．故選：A．【點睛】本題主要考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，熟記性質是解題的關鍵．9．如圖，平分，，于點E，，，則的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過C作交延長線與F，先根據角平分線的定義和全等三角形的判定與性質，證明和得到，，進而可求解．【詳解】解：過C作交延長線與F，

∵平分，，，∴，，在和中，，∴，∴；∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，，∴，則，故選：D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解答的關鍵．10．如圖，已知、的角平分線、相交于點，，，垂足分別為、．現有四個結論：①平分；②；③；④．其中結論正確的是（填寫結論的編號）（

）A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【答案】A【分析】作于點，根據角平分線的判定定理和性質定理，即可判斷①結論；根據角平分線的定義和三角形外角的性質，即可判斷②結論；先根據四邊形內角和，得出，再證明，，得到，，即可判斷③結論；根據全等三角形面積相等，即可判斷④結論．【詳解】解：①作于點，平分，，，平分，，，，點在的角平分線上，平分，①結論正確；②平分，平分，，，，，，，，，②結論正確；③，，，，，，在和中，，，同理可證，，，，，故③結論正確；④，，，，故④結論不正確；綜上所述，正確的結論是①②③，故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的判定定理和性質定理，三角形外角的定義，四邊形內角和，全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．如圖，四邊形四邊形，若，，，則_____°．【答案】【分析】根據全等圖形的性質，，再根據四邊形的內角和為得到，進而求解即可．【詳解】解：∵四邊形四邊形，∴∵，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了全等圖形，熟練掌握全等圖形的有關知識是解題的關鍵．12．如圖，要測量河兩岸相對的兩點的距離，先在的垂線上取兩點，使，再確定出的垂線，使得點在同一條直線上，測得米，因此，的長是_________米．【答案】30【分析】由可得，利用可以證出，再根據全等三角形，對應邊相等可得到．【詳解】解：∵，∴，在和中，∴，∴，∵米，∴米，故答案為：30．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性質（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵．13．如圖是兩把完全相同的長方形直尺，一把直尺壓住射線，且與射線交于點C，另一把直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點P，連接，已知，則的度數是________．

【答案】/80度【分析】根據兩把完全相同的長方形直尺，可知平分，又，進而可得的度數．再由長方形直尺可得，利用平行線的性質可求解．【詳解】解：由題意，得平分，∴，由長方形直尺可知：，∴，故答案為：．【點睛】此題主要考查角平分線的判定，平行線的性質，解題關鍵是掌握角平分線的判定定理：到角兩邊距離相等的點在這角的平分線上．14．如圖，在中，是邊上的高線，的平分線交于E，當，的面積為2時，的長為__．【答案】1【分析】過E作于F，根據角平分線性質得到，根據三角形面積公式求出即可．【詳解】解：過點E作于點F，如圖所示．∵平分，且，∴．∵，即，∴，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查了角平分線性質的應用，能根據角平分線性質求出是解此題的關鍵，注意：在角的內部，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．15．如圖，為的中線，點在的延長線上，連接，且，過點作于點，連接，若，，則的長為_____．【答案】【分析】過點作于點，證明，，得出，再由為的中線及，根據的面積列出關于的方程，求解即可．【詳解】解：如圖，過點作于點為的中線，，又，在和中，即，，為的中線，又解得：故答案為：3．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等底同高三角形的面積關系及直角三角形的面積公式，屬于中檔題．16．如圖，，，，點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上以的速度由點向點運動．它們運動的時間為．當與全等時，的值為______．

【答案】1或【分析】由題意知當與全等，分和兩種情況，根據全等的性質列方程求解即可．【詳解】解：由題意知，，，，與全等，，∴分兩種情況求解：①當時，，即，解得；②當時，，即，解得，，即，解得；綜上所述，的值是1或，故答案為：1或．【點睛】本題考查了全等三角形的性質，一元一次方程的應用．解題的關鍵在于分情況求解．三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）17．如圖，在中，，是的平分線，過點D作，若，．求的長．

【答案】【分析】根據角平分線的性質定理，得，再由三角形面積公式可得結論．【詳解】解：∵AD是的平分線，，，∴．又，，∴．【點睛】本題考查了角平分線的性質和三角形面積公式的應用．熟練掌握角平分線的性質定理是解答本題的關鍵．18．如圖，和的頂點C，E，F，B在同一直線上，點A，點D在兩側，已知，，．與全等嗎？說明理由．

【答案】．理由見解析【分析】根據，得到，再根據證明．【詳解】證明：，，在和中，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．19．如圖，已知，點在邊上，與相交于點．

(1)若，，求線段的長；(2)若，，求的度數．【答案】(1)5(2)【分析】（1）由，得到，，而，即可得到；（2）由，得到，，由三角形外角的性質得到．【詳解】（1）解：，，，，；（2）解：，，，，，．【點睛】本題考查全等三角形的性質，三角形外角的性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的對應角相等，對應邊相等．20．如圖是的正方形網格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中過點C作一條線段，使點C到AB所在直線的距離最短；(2)在圖2中過點C作一條直線，使點A，B到直線的距離相等．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖1，取格點E，作直線，作直線，交線段于點D，則線段即為所求做的線段；（2）如圖2，取線段中點O，做直線，則直線即為所求做的直線l即為所求做的直線．【詳解】（1）解：如圖1，取格點E，作直線，交線段于點D，則線段即為所求做的線段；

證明：在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即點C到AB所在直線的距離最短；（2）解：如圖2，直線l即為所求做的直線；

證明：過點A作，過點B作，垂足分別為M，N,∴，由題意得，點O為線段中點，∴，在和中，，∴，∴，即點A，B到直線的距離相等．【點睛】本題考查了“垂線段最短”，點的直線的距離，全等三角形的性質與判定等知識，熟知相關知識，并結合格點三角形的知識靈活應用是解題關鍵．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）21．如圖，的外角的平分線交邊的垂直平分線于P點，于D，于E，連接，．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接、，根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，然后利用“”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；（2）利用“”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，再根據、的長度表示出、，然后解方程即可．【詳解】（1）證明：點在的垂直平分線上，，是的平分線，，在和中，，，；（2）解：在和中，，，，，，，即，解得．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．22．在中，，，點D是AC邊上一點，交于點F，交直線于點E．

(1)如圖1，當D為的中點時，證明：．(2)如圖2，若于點M，當點D運動到某一位置時恰有，則與有何數量關系，并說明理由．(3)連接，當時，求的值．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)2【分析】（1）由題意可知，，，利用即可證明結論；（2）先證明，再證明，即可得；（3）過點作，可證，易得，由，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，，∴，∵，∴，則，∵為的中點時，，∴，則，在與中，，∴；（2）解：，理由如下：由（1）可知，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（3）過點作，則，

∵，，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定及性質，掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵．23．如圖，中，點在邊延長線上，，的平分線交于點E，過點E作，垂足為H，且．(1)求的度數；(2)求證：平分；(3)求的度數；(4)若，，且，求的面積．【答案】(1)(2)見解析(3)(4)【分析】（1）由平角的定義可求解的度數，再利用三角形的內角和定理可求解，進而可求解；（2）過點分別作于，與，根據角平分線的性質可證得，進而可證明結論；（3）設，分別表示出，，求出，再利用三角形內角和定理計算；（4）利用三角形的面積公式可求得的長，再利用三角形的面積公式計算可求解．【詳解】（1）解：，，，，，，；（2）證明：過點分別作于，與，平分，，，平分，，，平分；（3）設，∵平分，∴，∵，∴，∵，平分，∴，∴，∴；（4），，，，即，解得，，．【點睛】本題主要考查角平分線的判定與性質，三角形的內角和定理，三角形的面積，掌握角平分線的判定與性質是解題的關鍵．五、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）24．（1）問題發(fā)現：如圖1，射線在的內部，點B、C分別在的邊、上，且，若，求證：；（2）類比探究：如圖2，，且．（1）中的結論是否仍然成立，請說明理由；（3）拓展延伸：如圖3，在中，，．點E在邊上，，點D、F在線段上，．若的面積為，，求與的面積之比．

【答案】（1）證明見詳解；（2）成立，證明見詳解；（3）【分析】（1）根據即可得到，，從而得到，即可得到證明；（2）根據得到，即可得到，即可得到證明；（3）根據的面積為，，即可得到，，結合可得，，根據，得到，即可得到，即可得到答案；【詳解】