第十二章 全等三角形（5類壓軸題專練）

第十二章全等三角形（壓軸題專練）【題型一四邊形中構(gòu)造全等三角形】例題：如圖，在四邊形ABCD中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【變式訓(xùn)練】1．在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=BF．(1)試說(shuō)明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時(shí)，（2）中結(jié)論仍然成立？【題型二一線三等角模型】例題：【探究】如圖①，點(diǎn)B、C在的邊上，點(diǎn)E、F在內(nèi)部的射線上，分別是、的外角．若，，求證：．【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為____．【變式訓(xùn)練】1．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，射線在的內(nèi)部，點(diǎn)B、C分別在的邊、上，且，若，求證：；（2）類比探究：如圖2，，且．（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：如圖3，在中，，．點(diǎn)E在邊上，，點(diǎn)D、F在線段上，．若的面積為，，求與的面積之比．

2．在直線上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，的面積是12，求與的面積之和．【題型三三垂直模型】例題：?jiǎn)栴}1：在數(shù)學(xué)課本中我們研究過(guò)這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說(shuō)明理由．問(wèn)題2：試問(wèn)在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出來(lái)，不需要說(shuō)明理由．問(wèn)題3：當(dāng)直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線MN的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，_______度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問(wèn)DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【題型四倍長(zhǎng)中線模型】例題：閱讀理解在通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決的問(wèn)題中，有一種典型的方法是倍延中線法．如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．我們可以延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來(lái)，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是______；類比應(yīng)用如圖2，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；拓展創(chuàng)新如圖3，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．【變式訓(xùn)練】1．為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時(shí)，小麗在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1，在中，是邊上的中線，延長(zhǎng)到M，使，連接．

【探究發(fā)現(xiàn)】（1）圖1中與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．【初步應(yīng)用】（2）如圖2，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．【探究提升】（3）如圖3，是的中線，過(guò)點(diǎn)A分別向外作、，使得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型五旋轉(zhuǎn)模型】例題：【嘗試探究】如圖1，已知在正方形中（四邊相等，四個(gè)內(nèi)角均為90°），點(diǎn)、分別在邊、上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，探究、和的數(shù)量關(guān)系，并加以說(shuō)明；【模型建立】如圖2，若將直角三角形沿斜邊翻折得到，且，點(diǎn)、分別在邊、上運(yùn)動(dòng)，且，試猜想（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)加以說(shuō)明；【拓展應(yīng)用】如圖3，已知是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形（三邊相等，三個(gè)內(nèi)角均為60°），，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其角的兩邊分別交邊、于點(diǎn)、，連接，直接寫出的周長(zhǎng)．

【變式訓(xùn)練】1．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，點(diǎn)D在邊AC上，且線段BD繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°能與BE重合，點(diǎn)F是ED與AB的交點(diǎn)．（1）求證：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度數(shù)．2．在四邊形中，，，，、分別是，上的點(diǎn)，且，在探究圖1中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系過(guò)程中．(1)你嘗試添加了怎樣的輔助線？成功了嗎？（真實(shí)大膽作答即可得分）(2)小亮同學(xué)認(rèn)為：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，即可得出，，之間的數(shù)量關(guān)系是_．(3)如圖3，在四邊形中，，，、分別是，上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立？并證明；(4)如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以70海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且兩艦艇之間的夾角為，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．

第十二章全等三角形（壓軸題專練）答案全解全析【題型一四邊形中構(gòu)造全等三角形】例題：如圖，在四邊形ABCD中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，證明見解析【解析】【分析】（1）連接AC，證明△ACE≌△ACF，則S△ACE＝S△ACF，根據(jù)三角形面積公式求得S△ACF與S△ACE，根據(jù)S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根據(jù)垂直關(guān)系，以及三角形的外角性質(zhì)可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：連接AC，如圖，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC證明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC與∠AFC互補(bǔ)，∠BEC與∠AEC互補(bǔ)，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=BF．(1)試說(shuō)明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時(shí)，（2）中結(jié)論仍然成立？【答案】(1)見解析；(2)CE+BG=EG，理由見解析；(3)當(dāng)∠EDG=90°-α?xí)r，（2）中結(jié)論仍然成立．【解析】【分析】（1）首先判斷出，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出．（2）猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出；然后根據(jù)，可得，，再根據(jù)，判斷出，據(jù)此推得，所以，最后根據(jù)，判斷出即可．（3）根據(jù)（2）的證明過(guò)程，要使仍然成立，則，即，據(jù)此解答即可．(1)證明：，，，，又，，在和中，，．(2)解：如圖，連接，猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．證明：在和中，，，，又，，，由（1），可得，，，即，，在和中，，，又，，；(3)解：要使仍然成立，則，即，當(dāng)時(shí)，仍然成立．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，此題是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度，能根據(jù)題意推出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．【題型二一線三等角模型】例題：【探究】如圖①，點(diǎn)B、C在的邊上，點(diǎn)E、F在內(nèi)部的射線上，分別是、的外角．若，，求證：．【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為____．【答案】探究：見解析；應(yīng)用：6【分析】探究：根據(jù)，，得出，根據(jù)，得出，再根據(jù)證明即可；應(yīng)用：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出：，進(jìn)而得出，根據(jù)，的面積為9，得出，即可得出答案．【詳解】探究證明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和中，∴；應(yīng)用解：∵，∴，∴，∵，的面積為9，∴，∴與的面積之和為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，射線在的內(nèi)部，點(diǎn)B、C分別在的邊、上，且，若，求證：；（2）類比探究：如圖2，，且．（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：如圖3，在中，，．點(diǎn)E在邊上，，點(diǎn)D、F在線段上，．若的面積為，，求與的面積之比．

【答案】（1）證明見詳解；（2）成立，證明見詳解；（3）【分析】（1）根據(jù)即可得到，，從而得到，即可得到證明；（2）根據(jù)得到，即可得到，即可得到證明；（3）根據(jù)的面積為，，即可得到，，結(jié)合可得，，根據(jù)，得到，即可得到，即可得到答案；【詳解】（1）證明：∵，∴，，，∴，在與中，∵，∴；（2）解：成立，理由如下，∵，∴，，∴，在與中，∵，∴；（3）解：∵的面積為，，∴，，∵，∴，，∵，∴，，∴，在與中，∵，∴∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)及同高不同底三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)內(nèi)外角關(guān)系得到三角形全等的條件．2．在直線上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，的面積是12，求與的面積之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由見解析(3)△FBD與△ACE的面積之和為4【解析】【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS證得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，得出S△ABF即可得出結(jié)果．(1)解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；(3)解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，設(shè)△ABC的底邊BC上的高為h，則△ABF的底邊BF上的高為h，∴S△ABC＝BC?h＝12，S△ABF＝BF?h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD與△ACE的面積之和為4．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．【題型三三垂直模型】例題：?jiǎn)栴}1：在數(shù)學(xué)課本中我們研究過(guò)這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說(shuō)明理由．問(wèn)題2：試問(wèn)在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出來(lái)，不需要說(shuō)明理由．問(wèn)題3：當(dāng)直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2中直線MN的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】問(wèn)題1，AD＝EC，證明見解析；問(wèn)題2：DE+BE＝AD；問(wèn)題3：DE＝AD+BE，證明見解析．【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因?yàn)椤螦CD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC；（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（3）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之間的等量關(guān)系．【詳解】解：（1）AD＝EC；證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝EC；（2）DE+BE＝AD；由（1）已證△ADC≌△CEB，∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD∴CE=CD+DE=BE+DE=AD即DE+BE＝AD；（3）DE＝AD+BE．證明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵CD+CE＝DC，∴DE＝AD+BE．【點(diǎn)睛】此題主要考查了鄰補(bǔ)角的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)已知證出符合全等的條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng)．【變式訓(xùn)練】1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，_______度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問(wèn)DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)90°(2)見解析(3)CD=BE+DE，證明見解析【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根據(jù)AAS可證△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易證△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由圖可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案為：90°．(2)證明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由圖可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．【題型四倍長(zhǎng)中線模型】例題：閱讀理解在通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決的問(wèn)題中，有一種典型的方法是倍延中線法．如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．我們可以延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來(lái)，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是______；類比應(yīng)用如圖2，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；拓展創(chuàng)新如圖3，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．【答案】閱讀理解：類比應(yīng)用：拓展創(chuàng)新：【分析】閱讀理解：由全等的性質(zhì)推出，再根據(jù)，可得結(jié)論．類比應(yīng)用：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，先證得，再由是的平分線知，從而得，據(jù)此知，結(jié)合可得答案．拓展創(chuàng)新：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，根據(jù)平行和角平分線可證，也可證得，從而可得，即可得到結(jié)論．【詳解】閱讀理解：由題可知，，∴．∵，．∴，∴，∴．故答案為：．類比應(yīng)用：．理由如下：如圖1，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．∵，∴．在和中，∴，∴．∵是的平分線，∴，∴，∴．∵，∴．拓展創(chuàng)新：如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．∵，∴．在和中，∴，∴．∵是的平分線，∴，∴，∴．∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合問(wèn)題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，通過(guò)作輔助線，倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時(shí)，小麗在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1，在中，是邊上的中線，延長(zhǎng)到M，使，連接．

【探究發(fā)現(xiàn)】（1）圖1中與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．【初步應(yīng)用】（2）如圖2，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．【探究提升】（3）如圖3，是的中線，過(guò)點(diǎn)A分別向外作、，使得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），；（2）；（3），，理由見解析【分析】（1）證，得，再由平行線的判定即可得出；（2）延長(zhǎng)到，使得，連接，由（1）可知：，得，再由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）延長(zhǎng)到，使得，連接，由（1）可知：，得，由，可證，再證，得，，則，然后由平角，再由，得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如下圖1，

，是的中線，，在和中，，，，與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）如下圖2，延長(zhǎng)到，使得，連接，

由（1）可知：，，在中，，，即，；（3）如下圖，延長(zhǎng)到，使得，連接，

由（1）可知：，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、倍長(zhǎng)中線法、三角形的三邊關(guān)系、平行線的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【題型五旋轉(zhuǎn)模型】例題：【嘗試探究】如圖1，已知在正方形中（四邊相等，四個(gè)內(nèi)角均為90°），點(diǎn)、分別在邊、上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，探究、和的數(shù)量關(guān)系，并加以說(shuō)明；【模型建立】如圖2，若將直角三角形沿斜邊翻折得到，且，點(diǎn)、分別在邊、上運(yùn)動(dòng)，且，試猜想（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)加以說(shuō)明；【拓展應(yīng)用】如圖3，已知是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形（三邊相等，三個(gè)內(nèi)角均為60°），，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其角的兩邊分別交邊、于點(diǎn)、，連接，直接寫出的周長(zhǎng)．

【答案】【嘗試探究】，證明見解析；【模型建立】成立，證明見解析；【拓展應(yīng)用】16【詳解】解：【嘗試探究】．證明：如圖，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，可使與重合，

∵，∴，點(diǎn)、、共線，∴，即．在和中，，∴，∴，∴；【模型建立】成立，如圖，

證明：將繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，此時(shí)，與重合，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，同理得：點(diǎn)，，在同一條直線上，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴（2）中的結(jié)論還成立，；【拓展應(yīng)用】∵是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，∴，∵，∴，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，

∵，，∴和重合，，，，∴，∴三點(diǎn)共線，同法（2），可得：，∴，∴的周長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形．本題主要考查半角模型，平時(shí)多歸納，多積累，可以幫助我們快速解題．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，點(diǎn)D在邊AC上，且線段BD繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°能與BE重合，點(diǎn)F是ED與AB的交點(diǎn)．（1）求證：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）∠BFE＝105°．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABE≌△CBD（SAS），進(jìn)而得證；（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：∵線段BD繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°能與BE重合