16.3 角的平分線 同步練習

第十六章軸對稱和中心對稱16.3角的平分線基礎過關全練知識點1角平分線的性質(zhì)定理1.(2023湖北荊門期末)如圖，點M是∠AOB平分線上的一點，點P、點Q分別在射線OA、射線OB上，滿足OP=2OQ，若△OQM的面積是2，則△OMP的面積是()A.1 B.2 C.3 D.42.(2023河南商丘睢陽期末)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若AB=8，△ABD的面積為16，則CD的長為()A.2 B.4 C.6 D.83.(2023山東聊城東阿實驗中學期末)如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別是10、15、20.其三條角平分線交于點O，將△ABC分為三個三角形，S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于()A.1∶1∶2 B.1∶2∶3 C.2∶3∶4 D.1∶2∶44.(2023北京延慶期末)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，如果AB=6，CD=2，那么S△ABD= .

5.(2023吉林大安期末)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足為D，其中CE=4.5，AB=10.(1)求DE的長度；(2)求△ABE的面積.6.如圖，已知△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E點.(1)求∠EDA的度數(shù)；(2)若AB=20，AC=16，DE=6，求S△ABC.7.(2023江蘇揚州邗江實驗學校第一次月考)如圖，在△ABC中，O為∠ABC，∠ACB的平分線的交點，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為D，E，F(xiàn).(1)OD與OE是否相等?請說明理由；(2)若△ABC的周長是30，且OF=4，求△ABC的面積.知識點2角平分線性質(zhì)定理的逆定理8.(2023黑龍江密山期末)如圖，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為M、N.PM=PN，若∠BOC=30°，則∠AOB=.

9.如圖，CE⊥AB，BF⊥AC，CE與BF相交于D，且BD=CD.求證：∠BAD=∠CAD.知識點3用尺規(guī)作已知角的平分線10.如圖，三條筆直的公路兩兩相交，交點分別在點A、B、C處，有兩個村分別在點D和點E處，現(xiàn)準備建造一個蓄水池，要求水池到兩條公路AB、BC的距離相等，且到兩個村D、E的距離相等，則水池修建的位置應該是()A.在∠B的平分線與DE的交點處 B.在線段AB、AC的垂直平分線的交點處C.在∠B的平分線與DE的垂直平分線的交點處 D.在∠A的平分線與DE的垂直平分線的交點處11.根據(jù)如圖所示的尺規(guī)作圖痕跡，判斷下列說法正確的是()A.點D是AC、AB的垂直平分線的交點B.點D到A、B、C三點的距離相等C.點D到△ABC三邊的距離相等D.點D到A、B、C三點的距離相等，到△ABC三邊的距離也相等12.如圖，已知∠AOB，試在∠AOB內(nèi)確定一點P，使P到OA、OB的距離相等，并且到M、N兩點的距離也相等.能力提升全練13.(2023河北青縣二中月考)如圖，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，過點D作DE⊥AB于E，測得BC=18，BE=6，則△BDE的周長是()A.30 B.24 C.18 D.1214.(2023河北邯鄲二十五中期中)如圖，已知△ABC的周長是20，點O為三角形角平分線的交點，連接OB、OC，OD⊥BC于點D，且OD=3，則△ABC的面積是()A.20 B.30 C.40 D.6015.(2020河北中考)如圖①，已知∠ABC，用尺規(guī)作∠ABC的平分線.如圖②，步驟如下，第一步：以B為圓心，以a為半徑畫弧，分別交射線BA，BC于點D，E；第二步：分別以D，E為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部交于點P；第三步：畫射線BP.射線BP即為所求.圖①圖②下列說法正確的是()A.a，b均無限制 B.a>0，b>12C.a有最小限制，b無限制 D.a≥0，b<1216.(2021湖南長沙中考)如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E，若BC=4，DE=1.6，則BD的長為.

17.(2023河北邢臺二十四中期中)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且∠BDE=∠CDF，求證：AD平分∠BAC.素養(yǎng)探究全練18.(2022河北順平期末)如圖①，三角形ABC中，BD是∠ABC的平分線.(1)若∠A=80°，∠ABC=58°，則∠ADB=°；

(2)若AB=6，設△ABD和△CBD的面積分別為S1和S2，已知S1S2=23，則BC的長為(3)如圖②，∠ACE是△ABC的一個外角，CF平分∠ACE，BD的延長線與CF相交于點F，CG平分∠ACB，交BD于點H，連接AF，設∠BAC=α，求∠BHC與∠HFC的度數(shù)(用含α的式子表示). 圖① 圖②

第十六章軸對稱和中心對稱16.3角的平分線答案全解全析基礎過關全練1.D過點M作MC⊥OA于點C，作MD⊥OB于點D，如圖所示.∵OM平分∠AOB，∴MC=MD.∵S△OMP=12OP·MC，S△OMQ=12OQ·MD，∴S△OMP=2S△OMQ=2×2=4，∴△OMP的面積是4.故選D.2.B如圖，作DE⊥AB于E，則S△ABD=12×AB·DE=16，即12×8×DE=16，解得DE=4，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE=43.C如圖，過點O作OD⊥AB，垂足為D，過點O作OE⊥AC，垂足為E，過點O作OF⊥BC，垂足為F，∵△ABC的三條角平分線交于點O，∴OD=OE=OF，∵AB=10，BC=15，AC=20，∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=AB∶BC∶AC=10∶15∶20=2∶3∶4，故選C.4.答案6解析如圖，作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，∴DE=DC=2，∴S△ABD=12AB·DE=12×65.解析(1)∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，EC⊥BC，∴DE=EC=4.5，∴DE的長度為4.5.(2)∵DE⊥AB，AB=10，∴S△ABE=12AB·DE=12×10×∴△ABE的面積為22.5.6.解析(1)∵∠B=45°，∠C=75°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-75°=60°，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=12∠BAC=12×∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠EDA=180°-∠BAD-∠DEA=180°-30°-90°=60°.(2)如圖，過D作DF⊥AC于F.∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DF=DE=6，又∵AB=20，AC=16，且S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴S△ABC=12×AB·DE+12×AC·DF=12×20×6+127.解析(1)OD=OE，理由：∵BO平分∠ABC，OD⊥AB，OF⊥BC，∴OD=OF，∵CO平分∠ACB，OE⊥AC，OF⊥BC，∴OE=OF，∴OD=OE.(2)連接OA，∵△ABC的周長是30，∴AB+BC+AC=30，∵OF=4，∴OD=OE=OF=4，∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12AB·OD+12BC·OF+12=12OD·(AB+BC+AC)=12×4×∴△ABC的面積為60.8.答案60°解析∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，∴OC平分∠AOB，∴∠AOB=2∠BOC=2×30°=60°.9.證明∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.在△BED和△CFD中，∠BED=∠CFD,∴△BED≌△CFD(AAS)，∴DE=DF.又∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.10.C根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到水池應修建在∠ABC的平分線上，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到水池應修建在DE的垂直平分線上，作∠ABC的平分線和DE的垂直平分線，它們相交于點P，如圖，P點為水池修建的位置.11.C根據(jù)作圖可知點D為∠CAB的平分線與∠ABC的平分線的交點，所以點D到△ABC三邊的距離相等，故選C.12.解析如圖，①作∠AOB的平分線OC，②連接MN，作線段MN的垂直平分線DE，交OC于點P，點P即為所求.能力提升全練13.B∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴DE=CD，∵BC=18，BE=6，∴△BDE的周長是BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=6+18=24.故選B.14.B∵△ABC的周長為20，∴AB+AC+BC=20.∵點O為三角形角平分線的交點，∴點O到△ABC的三邊的距離相等，∴三角形ABC的面積等于12(AB+AC+BC)×OD，即12×2015.B以B為圓心，a為半徑畫弧時，半徑a必須大于0，分別以D，E為圓心，b為半徑畫弧時，b大于12DE的長，16.答案2.4解析∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=1.6，∴BD=BC-CD=4-1.6=2.4.17.證明∵D是BC的中點，∴BD=CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD，又∵∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF，∴AD平分∠BAC.素養(yǎng)探究全練18.解析(1)∵∠ABC=58°，BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=12∠ABC=29°∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=71°.(2)如圖，過D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，∵BD是∠ABC的平分線，∴DF=DE，∴S1∴BC=9.(3)在△ABC中，由∠BAC=α，可得∠ABC+∠ACB=180°-α，∵BD平分∠ABC，CG平分∠ACB，∴∠HBC=12∠ABC，∠HCB