北師大版必修一《利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在》教案

教學(xué)設(shè)計(jì)《利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在》郭斌一、教學(xué)內(nèi)容分析此節(jié)內(nèi)容為北師大版本必修1的第四章《函數(shù)應(yīng)用》第一課時(shí)4.1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在。函數(shù)是高中的起始課程，函數(shù)的重要性有兩方面，一是函數(shù)的思想價(jià)值，二是函數(shù)應(yīng)用的價(jià)值。本節(jié)內(nèi)容就是函數(shù)應(yīng)用價(jià)值的體現(xiàn)，利用函數(shù)和其他數(shù)學(xué)知識(shí)的有機(jī)聯(lián)系，從函數(shù)特征判定方程解的存在性。二、學(xué)生情況分析學(xué)生已學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖像和性質(zhì)，因此本節(jié)內(nèi)容從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)入手，研究學(xué)習(xí)判定方程解存在的方法。這樣，從特殊到一般的學(xué)習(xí)方法，學(xué)生容易掌握理解。三、設(shè)計(jì)思想讓學(xué)生感識(shí)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)樂(lè)趣，學(xué)會(huì)從特殊到一般的歸納、總結(jié)的過(guò)程。四、教學(xué)方法啟發(fā)誘導(dǎo)五、教具多媒體課件六、教學(xué)目標(biāo)讓學(xué)生明確“方程的解”與“函數(shù)的零點(diǎn)”之間的密切關(guān)系，掌握利用函數(shù)圖像性質(zhì)判斷方程解的存在性。通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)讓學(xué)生感識(shí)“數(shù)形結(jié)合”，“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想。本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步拓展了學(xué)生的視野，使他們體會(huì)到數(shù)學(xué)當(dāng)中不同內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。七、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：零點(diǎn)的理解；利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性。難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合思想的合理應(yīng)用。八、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)導(dǎo)入：觀察函數(shù)的圖像（利用多媒體展示下圖）師：引導(dǎo)學(xué)生觀察分析此時(shí)，f(-2)>0,f(1)<0,f(4)>0.則f(-2)f(1)<0,那么方程在（-2,1)內(nèi)有解。同理,f(1)f(4)<0,方程在（1,4）內(nèi)有解。分析：2.講授新知識(shí)：師：引導(dǎo)學(xué)生歸納零點(diǎn)定義一般的，對(duì)于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫作方程的零點(diǎn)。注：零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)。師（提問(wèn)）：怎樣判斷函數(shù)有零點(diǎn)？歸納總結(jié)：若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足以下條件：2.講授新知識(shí)：師：引導(dǎo)學(xué)生歸納零點(diǎn)定義一般的，對(duì)于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫作方程的零點(diǎn)。注：零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)。師（提問(wèn)）：怎樣判斷函數(shù)有零點(diǎn)？歸納總結(jié)：若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足以下條件：（1）f(x1)f(x2)<0;（2）函數(shù)y=f(x)的圖像在[x1,x2]上連續(xù);則方程f(x)=0在(x1,x2)上有解.注：①滿(mǎn)足以上兩個(gè)條件則函數(shù)就有零點(diǎn)，兩條件必須同時(shí)滿(mǎn)足。例如：，f(-1)f(2)<0，可方程無(wú)解，因?yàn)楹瘮?shù)圖象不連續(xù)。②函數(shù)有零點(diǎn)則方程一定有解。學(xué)：判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)，方程是否有解。（討論結(jié)果，代表發(fā)言）③此方法只能判定有解，而不能判定解的個(gè)數(shù)。④以上條件若不成立，不能說(shuō)明方程無(wú)解。⑤函數(shù)圖像若在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)且有零點(diǎn)，則方程在此區(qū)間內(nèi)只有一解。（以上五個(gè)結(jié)論利用多媒體展示完成）小結(jié)：函數(shù)圖像從x軸上方到下方或從x軸下方到上方都會(huì)穿過(guò)x軸，即圖像連續(xù)且有使函數(shù)值為零的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，那么對(duì)應(yīng)方程一定有解。可利用函數(shù)值判定方程根的存在。③以上條件若不成立，不能判定方程無(wú)解。例如：x2=0有解，可f(-1)f(1)=(-1)2×12=1+1=2>0④只能判定有解而不能判定解的個(gè)數(shù)。⑤若函數(shù)圖象在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)且有零點(diǎn)，則方程在此區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)解。（以上結(jié)論用多媒體展示推導(dǎo)過(guò)程）3.例題講解：例1判定方程x3+2x+1=0在[-2,3]上是否有解。學(xué)：獨(dú)立完成此題。師：板書(shū)解題過(guò)程。分析：利用上述結(jié)論。解：因?yàn)閒(-2)=(-2)3+2×(-2)+1=-11<0f(3)=33+2×3+1=34>0則f(-2)f(3)<0又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+2x+1的圖像在[-2,3]上連續(xù)，所以，方程x3+2x+1=0在[-2,3]上有解。小結(jié)：①滿(mǎn)足兩個(gè)條件則可判定有解。②一般地，若給定區(qū)間為函數(shù)定義域的子區(qū)間，則函數(shù)圖像在此區(qū)間上連續(xù)。例2判斷方程是否有解。學(xué)：完成方法一。師：引導(dǎo)學(xué)生完成方法二及方法三。方法一：經(jīng)試算f(0.1)=1-<0,f(100)=2->0,且函數(shù)f(x)=的圖像在[0.1,100]上連續(xù)，所以方程在（0.1,100）上有解。y方法二：畫(huà)出函數(shù)f(x)=的圖像如下：（畫(huà)圖過(guò)程利用多媒體展示）yxx從圖可得：方程有兩個(gè)解，即為圖中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。方法三：題中方程可變形為則可得到兩個(gè)函數(shù)y=及y=可畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖象如下：Y=Y=xyY=Y=xy01從圖可得：方程在(0,1)和(1,+∞)上各有一解。小結(jié)：①函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)為對(duì)應(yīng)方程的解。②利用函數(shù)圖像判斷方程的解更加直觀。③數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用④發(fā)散思維一題多解。4.課堂練習(xí)：（多媒體展示）①斷方程x3-x=0在[-2，2]上是否有解。學(xué)：課堂內(nèi)獨(dú)立完成。師：講解評(píng)價(jià)，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，代數(shù)法，幾何法。②斷方程x3+x=0在（-∞，0）上是否有解。師：引導(dǎo)啟發(fā)，類(lèi)比例二。學(xué)：思考交流后完成。③用函數(shù)增長(zhǎng)的快慢判斷方程x3=2x是否有解。師：思考題，引導(dǎo)學(xué)生一起完成。學(xué)：回顧冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)快慢的性質(zhì)。設(shè)計(jì)以上練習(xí)題的意圖：繼續(xù)鞏固例題中講解的判定方程解存在性的方法；一題多解，開(kāi)闊思路；從函數(shù)值，函數(shù)圖象兩大方面方法進(jìn)行練習(xí)，使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)；代數(shù)法、何法的合理應(yīng)用；感受數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。5.課堂小結(jié)：（師生共同完成，并用多媒體展示）①理解零點(diǎn)與方程解的關(guān)系。②利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在，例如，利用函數(shù)值、像等。③要求熟練掌握利用函數(shù)值判定解存在的方法。④理解數(shù)形結(jié)合思想在判定方程解存在中的應(yīng)用。6.布置作業(yè)：判定下列方程在給定區(qū)間上是否有解：⑴x5+3x+1=0,x∈[-1,1];⑵,x∈[-1,1];⑶,x∈[-,].九、課堂反思本節(jié)課的內(nèi)容容量偏大，雖