浙江省杭州市2025屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題 含解析

2024學(xué)年第一學(xué)期杭州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷考生須知:1.本試卷分試題卷和答題卷兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無(wú)效!3.考試結(jié)束，只需上交答題卡.一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡的相應(yīng)位置.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將集合化簡(jiǎn)，再由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，解得，則，所以.故選：A2.函數(shù)是（）A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.既非奇函數(shù)也非偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，綜上可得，f?x即函數(shù)偶函數(shù).故選：B3.已知直線y=2x是雙曲線的一條漸近線，則的離心率等于（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程可得，故，即可由離心率公式求解.【詳解】的漸近線方程為，因此，故，故離心率為，故選：A4.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，則"是偶函數(shù)"是""的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的奇偶性，分別驗(yàn)證命題的充分性以及必要性，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，由是偶函數(shù)可得，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由是偶函數(shù)可得或，故充分性不滿足；當(dāng)時(shí)，可得為偶函數(shù)，故必要性滿足；所以"是偶函數(shù)"是""的必要不充分條件.故選：B5已知向量，若，則（）A.1或 B.或C.或2 D.或1【答案】D【解析】【分析】由向量點(diǎn)的坐標(biāo)先求出.和的坐標(biāo)，再由兩垂直向量數(shù)量積為0建立等式，從而求得參數(shù)的值.【詳解】，∵，∴，即∴∴或.故選：D.6.設(shè)，滿足.若函數(shù)存在零點(diǎn)，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)判斷定理判斷選項(xiàng)的正誤即可．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且均為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)是增函數(shù)，由于，故，滿足，說(shuō)明中有1個(gè)是負(fù)數(shù)一定是，兩個(gè)正數(shù)或3個(gè)負(fù)數(shù)，由于存在零點(diǎn)，故．故選：B．7.已知，則（）A.1 B.2 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，即可利用二倍角公式以及和差角公式化簡(jiǎn)求解.【詳解】由可得，故選：C8.對(duì)，不等式恒成立，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】令，通過(guò)舉反例說(shuō)明選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C、D，通過(guò)分析可得在上恒成立，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有相同的零點(diǎn)，計(jì)算可得選項(xiàng)D正確.【詳解】由得，對(duì)于選項(xiàng)A、B，若，可令，不等式可化為，當(dāng)時(shí)，，要使恒成立，則需，即恒成立，∴，當(dāng)時(shí)，，要使恒成立，則需，即恒成立，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，要使恒成立，則需，即恒成立，∴，綜上可得，不存在使得不等式恒成立，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C、D，若，∵∴，∴，要使不等式恒成立，則需，∵函數(shù)在為增函數(shù)，∴函數(shù)有相同的零點(diǎn)，由得，由得，，∴，即，∴，∴，選項(xiàng)D正確.故選D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立問(wèn)題，具體思路如下：（1）不等式變形為.（2）對(duì)于選項(xiàng)A、B，若，對(duì)，與符號(hào)不確定，可取，通過(guò)分類討論得到不存在使得不等式恒成立，即可說(shuō)明選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤.（3）對(duì)于選項(xiàng)C、D，若，確定恒成立，轉(zhuǎn)化為，則與同號(hào)，利用函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)有相同的零點(diǎn)，利用零點(diǎn)相同可得.二、選擇題:本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.若，則B.若，則C.若，則在0,1上單調(diào)遞減D.若，則在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】由，可得是的極小值點(diǎn)，即可判斷AB；求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可判斷CD.【詳解】對(duì)于AB，，因?yàn)椋允堑臉O小值點(diǎn)，則，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)于D，若，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】取特殊值0和1，建立等式，得出或的相應(yīng)結(jié)論，再前面結(jié)論取特殊值得到BC選項(xiàng)的結(jié)論，借助前面的結(jié)論，先求出的值，令化簡(jiǎn)得到即可得出結(jié)論.【詳解】令，，則令，則則，，∴或令，則若，則，矛盾，∴，則，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，則，∴B選項(xiàng)正確；令，則，則，即，C選項(xiàng)正確；由A、C選項(xiàng)中結(jié)論，令，則，則令，則，即，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題是已知抽象函數(shù)的關(guān)系式求相應(yīng)結(jié)論，這類題目可以從特殊值入手，建立一定的等式，解得特殊值所對(duì)的函數(shù)值，在令部分變量為特殊值，從而得出相應(yīng)結(jié)論.三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是_________.【答案】【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后在導(dǎo)數(shù)中令可求出所求切線的斜率.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，因此，所求切線的斜率為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，解題時(shí)要知系切線的斜率與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都不為0，滿足①；②.則_____，_____.（寫(xiě)出滿足條件的一組和）【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，求出的關(guān)系即可.【詳解】設(shè)，則，，由，整理得，即，所以，可取，所以.故答案為：.（答案不唯一，只要滿足即可）14.已知雙曲線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率分別記為，設(shè)雙曲線的漸近線分別為和.若，則_____.【答案】【解析】【分析】分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，分別將雙曲線的方程用表示，再結(jié)合和離心率公式分類求出兩雙曲線的離心率即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)椋?，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，同理，因?yàn)椋?，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，所以，即，綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知在中，.（1）判斷的形狀，并說(shuō)明理由;（2）若點(diǎn)在AB邊上，且.若，求的面積.【答案】（1）三角形為直角三角形，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化可得，即可由余弦定理求解，繼而根據(jù)三角恒等變換可得，即可判斷三角形的形狀，（2）利用余弦定理可求解，即可利用三角形面積公式求解.【小問(wèn)1詳解】由可得，故，進(jìn)而，由于,故，又，故,化簡(jiǎn)可得,故，由于B∈0,π,故進(jìn)而,故三角形為直角三角形，【小問(wèn)2詳解】由于，，且為直角三角形，設(shè)，則,故在三角形中，由余弦定理可得,即，解得，故16.在直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為.（1）求的方程;（2）若點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在上，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得外接圓的半徑以及圓心橫坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的定義即可得到圓心到準(zhǔn)線的距離為半徑，即可得到；（2）根據(jù)題意，由點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱可得點(diǎn)?1,1關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入拋物線方程計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈耐饨訄A的面積為，則其半徑為，且外接圓的圓心一定在的垂直平分線上，其中焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，所以圓心的橫坐標(biāo)為，則圓心到準(zhǔn)線的距離為，即，所以的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)?1,1關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)坐標(biāo)在直線上，即，化簡(jiǎn)可得①，由對(duì)稱性又可知，?1,1和所在直線與垂直，則②，聯(lián)立①②可得，，解得，所以，又因?yàn)樵趻佄锞€上，則，即，即，即，即，所以，其中時(shí)，，所以，所以，即.17.一設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為，且.定義事件的信息量為，稱的平均信息量為信息熵.（1）若，求此時(shí)的信息熵;（2）最大熵原理:對(duì)一個(gè)隨機(jī)事件的概率分布進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的狀態(tài)數(shù)最多，復(fù)雜程度最大，概率分布最均勻，這才是風(fēng)險(xiǎn)最?。ㄗ詈侠恚┑臎Q定.證明:，并解釋等號(hào)成立時(shí)的實(shí)際意義.（參考不等式:若，則）【答案】（1）（2）證明見(jiàn)詳解.【解析】【分析】（1）通過(guò)條件求出的值，代入信息熵的公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果；（2）由參考不等式及題意得到不等式，取出最大對(duì)應(yīng)的的值，即可證明，由題意可以分析得到取等號(hào)時(shí)的實(shí)際意義.小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，且，∴，∴【小問(wèn)2詳解】令，則，∴有題意可知當(dāng)時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)最小（最合理）決定，∴當(dāng)隨機(jī)變量中每個(gè)變量發(fā)生的概率相同的時(shí)候，這時(shí)事物中每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相同，情況分析是最復(fù)雜的，也是最合理的.18.已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間;（2）若，求證:;（3）若使得，求證:.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是0,+∞，無(wú)增區(qū)間.（2）證明見(jiàn)詳解（3）證明見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)求得的最大值，再得到在上遞減；（2）時(shí)函數(shù)值恒為負(fù)數(shù)，所以研究的最大值，借助導(dǎo)函數(shù)得到在區(qū)間上小于0，所以函數(shù)單減，從而得到函數(shù)值一定小于0，得證；（3）利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，由此得出的所在區(qū)間，構(gòu)造直線使得與的交點(diǎn)見(jiàn)距離等于不等式兩邊的值，再由線段長(zhǎng)短得出相應(yīng)結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，則令，則，令，∵，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，∴的單調(diào)遞減區(qū)間是，無(wú)增區(qū)間.【小問(wèn)2詳解】∵，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，，令，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，綜上所述，當(dāng)時(shí)，.【小問(wèn)3詳解】，∴，令，則，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∵，∴.不妨設(shè)，則，，先證：，易知在處的切線方程為，該切線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，圖像在下方.∴，∴，再證，設(shè)，，易知直線方程為，直線方程為，則直線，與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，∴，∵，同理可證：，∴，類似的可以證明，∴，即，∴【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題不等式證明可以分別證明兩邊成立，因?yàn)槭桥c的交點(diǎn)，可以構(gòu)造其他交點(diǎn)使得線段長(zhǎng)度等于不等式兩端的值，再證明點(diǎn)的位置，得到線段長(zhǎng)度即可得證.19.已知正項(xiàng)有窮數(shù)列，設(shè)，記的元素個(gè)數(shù)為.（1）若數(shù)列，求集合，并寫(xiě)出的值;（2）若是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列，求證:”的充要條件是“為等比數(shù)列”;（3）若，數(shù)列由這個(gè)數(shù)組成，且這個(gè)數(shù)在數(shù)列中每個(gè)至少出現(xiàn)一次，求的取值個(gè)數(shù).【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用集合的定義直接求解即可；（2）分充分性和必要性兩個(gè)方面分別證明，利用題中給出的集合的定義分析即可；（3）通過(guò)分析可知，且，設(shè)數(shù)列此時(shí),然后對(duì)數(shù)列分別作變換進(jìn)行分析求解，即可得到答案．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，，故所以，；【小?wèn)2詳解】充分性：若是等比數(shù)列，設(shè)公比為．不妨考慮數(shù)列是遞增數(shù)列，所以．則當(dāng)時(shí)，．所以，故，得證.必要性：若．因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，所以且互不相等,又，所以，又，所以，且互不相等．所以，，，．所以，所以為等比數(shù)列；若為單調(diào)遞減數(shù)列，同理可證.【小問(wèn)3詳解】