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安徽合肥市2024屆高三數(shù)學試題下學期六校聯(lián)考試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)復數(shù),則=()A.1 B. C. D.2.2019年10月1日,為了慶祝中華人民共和國成立70周年,小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一幅十字繡贈送給當?shù)氐拇逦瘯?,這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強”、“興國之路”,為了弄清“國富民強”這一作品是誰制作的,村支書對三人進行了問話,得到回復如下:小明說:“鴻福齊天”是我制作的;小紅說:“國富民強”不是小明制作的,就是我制作的;小金說:“興國之路”不是我制作的,若三人的說法有且僅有一人是正確的,則“鴻福齊天”的制作者是()A.小明 B.小紅 C.小金 D.小金或小明3.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.4.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高二丈,問:積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體,下底面寬3丈,長4丈,上棱長2丈,高2丈,問:它的體積是多少?”已知l丈為10尺,該楔體的三視圖如圖所示,其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1,則該楔體的體積為()A.10000立方尺B.11000立方尺C.12000立方尺D.13000立方尺5.已知函數(shù),為圖象的對稱中心,若圖象上相鄰兩個極值點,滿足,則下列區(qū)間中存在極值點的是()A. B. C. D.6.已知為定義在上的偶函數(shù),當時,,則()A. B. C. D.7.用電腦每次可以從區(qū)間內(nèi)自動生成一個實數(shù),且每次生成每個實數(shù)都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個實數(shù),則這3個實數(shù)都小于的概率為()A. B. C. D.8.對某兩名高三學生在連續(xù)9次數(shù)學測試中的成績(單位:分)進行統(tǒng)計得到折線圖,下面是關(guān)于這兩位同學的數(shù)學成績分析.①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性,故平均成績?yōu)?30分;②根據(jù)甲同學成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,估計該同學平均成績在區(qū)間110,120內(nèi);③乙同學的數(shù)學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān);④乙同學連續(xù)九次測驗成績每一次均有明顯進步.其中正確的個數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.19.已知空間兩不同直線、,兩不同平面,,下列命題正確的是()A.若且,則 B.若且,則C.若且,則 D.若不垂直于,且,則不垂直于10.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則下列命題正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,,則 D.若,,,則11.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.8412.記遞增數(shù)列的前項和為.若,,且對中的任意兩項與(),其和,或其積,或其商仍是該數(shù)列中的項,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖是某幾何體的三視圖,俯視圖中圓的兩條半徑長為2且互相垂直,則該幾何體的體積為________.14.若,則____.15.將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動,其中一組指揮交通,一組分發(fā)宣傳資料,則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個組的概率為__________.16.已知向量,且向量與的夾角為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率,需引進一條新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn),現(xiàn)有兩條生產(chǎn)線可供選擇,生產(chǎn)線①:有A,B兩道獨立運行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02,0.03.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為15萬元;若A工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加2萬元;若B工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加3萬元;若A,B兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬元.生產(chǎn)線②:有a,b兩道獨立運行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.04,0.01.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為14萬元;若a工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加8萬元;若b工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬元;若a,b兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加13萬元.(1)若選擇生產(chǎn)線①,求生產(chǎn)成本恰好為18萬元的概率;(2)為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本,你會給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線?請說明理由.18.(12分)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,其前項和為,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)證明:.19.(12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,,,,,是棱中點.(1)已知點在棱上,且平面平面,試確定點的位置并說明理由;(2)設(shè)點是線段上的動點,當點在何處時,直線與平面所成角最大?并求最大角的正弦值.20.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)的最大值為3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求證:21.(12分)已知數(shù)列{an}的各項均為正,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,an2+2an=4Sn+1.(1)求{an}的通項公式;(2)設(shè)bn,求數(shù)列{bn}的前n項和.22.(10分)已知函數(shù)有兩個極值點,.(1)求實數(shù)的取值范圍;(2)證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)復數(shù)的除法運算,代入化簡即可求解.【詳解】復數(shù),則故選:A.【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算與化簡求值,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
將三個人制作的所有情況列舉出來,再一一論證.【詳解】依題意,三個人制作的所有情況如下所示:123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確,則均不滿足;若小紅的說法正確,則4滿足;若小金的說法正確,則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅,故選:B.【點睛】本題考查推理與證明,還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項;結(jié)合特殊值,即可排除D選項.【詳解】∵,,∴函數(shù)為奇函數(shù),∴排除選項A,B;又∵當時,,故選:C.【點睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,注意奇偶性及特殊值的用法,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】由題意,將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體,作出幾何體的直觀圖如圖所示:
沿上棱兩端向底面作垂面,且使垂面與上棱垂直,
則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱,
則三棱柱的體積V1四棱錐的體積V2=13×1×3×2=2【點睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計算,其中正確還原幾何體,利用方格數(shù)據(jù)分割與計算是解題的關(guān)鍵.5、A【解析】
結(jié)合已知可知,可求,進而可求,代入,結(jié)合,可求,即可判斷.【詳解】圖象上相鄰兩個極值點,滿足,即,,,且,,,,,,當時,為函數(shù)的一個極小值點,而.故選:.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡單應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用.6、D【解析】
判斷,利用函數(shù)的奇偶性代入計算得到答案.【詳解】∵,∴.故選:【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值,意在考查學生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.7、C【解析】
由幾何概型的概率計算,知每次生成一個實數(shù)小于1的概率為,結(jié)合獨立事件發(fā)生的概率計算即可.【詳解】∵每次生成一個實數(shù)小于1的概率為.∴這3個實數(shù)都小于1的概率為.故選:C.【點睛】本題考查獨立事件同時發(fā)生的概率,考查學生基本的計算能力,是一道容易題.8、C【解析】
利用圖形,判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性,成績的比較,說明正誤即可.【詳解】①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性,最高130分,平均成績?yōu)榈陀?30分,①錯誤;②根據(jù)甲同學成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,估計該同學平均成績在區(qū)間[110,120]內(nèi),②正確;③乙同學的數(shù)學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān),③正確;④乙同學在這連續(xù)九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步,故④不正確.故選:C.【點睛】本題考查折線圖的應(yīng)用,線性相關(guān)以及平均分的求解,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交,故不正確;答案B中的直線也成立,故不正確;答案C中的直線可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直,是正確的;答案D中直線也有可能垂直于直線,故不正確.應(yīng)選答案C.10、C【解析】
根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個選項可得結(jié)果.【詳解】對于,當為內(nèi)與垂直的直線時,不滿足,錯誤;對于,設(shè),則當為內(nèi)與平行的直線時,,但,錯誤;對于,由,知:,又,,正確;對于,設(shè),則當為內(nèi)與平行的直線時,,錯誤.故選:.【點睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析,考查學生對于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
畫出幾何體的直觀圖,計算表面積得到答案.【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示:故.故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.12、D【解析】
由題意可得,從而得到,再由就可以得出其它各項的值,進而判斷出的范圍.【詳解】解:,或其積,或其商仍是該數(shù)列中的項,或者或者是該數(shù)列中的項,又數(shù)列是遞增數(shù)列,,,,只有是該數(shù)列中的項,同理可以得到,,,也是該數(shù)列中的項,且有,,或(舍,,根據(jù),,,同理易得,,,,,,,故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列的新定義的理解和運用,以及運算能力和推理能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、20【解析】
由三視圖知該幾何體是一個圓柱與一個半球的四分之三的組合,利用球體體積公式、圓柱體積公式計算即可.【詳解】由三視圖知,該幾何體是由一個半徑為2的半球的四分之三和一個底面半徑2、高為4的圓柱組合而成,其體積為.故答案為:20.【點睛】本題考查三視圖以及幾何體體積,考查學生空間想象能力以及數(shù)學運算能力,是一道容易題.14、【解析】
由,得出,根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡,再利用齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因為,所以,所以.故答案為:.【點睛】本題考查三角函數(shù)化簡求值,利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式,以及運用齊次式求值,屬于對公式的考查以及對計算能力的考查.15、【解析】
先求出總的基本事件數(shù),再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數(shù),然后根據(jù)古典概型求解.【詳解】6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動,其中一組指揮交通,一組分發(fā)宣傳資料的基本事件總數(shù)共有個,甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個數(shù)有:個,所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為.故答案為:【點睛】本題主要考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中檔題.16、1【解析】
根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】解:∵向量,且向量與的夾角為,∴||;所以:?()2cos2﹣2=1,故答案為:1.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)0.0294.(2)應(yīng)選生產(chǎn)線②.見解析【解析】
(1)由題意轉(zhuǎn)化條件得A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障,利用相互獨立事件的概率公式即可得解;(2)分別算出兩個生產(chǎn)線增加的生產(chǎn)成本的期望,進而求出兩個生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本期望值,比較期望值即可得解.【詳解】(1)若選擇生產(chǎn)線①,生產(chǎn)成本恰好為18萬元,即A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障,故所求的概率為.(2)若選擇生產(chǎn)線①,設(shè)增加的生產(chǎn)成本為(萬元),則的可能取值為0,2,3,5.,,,,所以萬元;故選生產(chǎn)線①的生產(chǎn)成本期望值為(萬元).若選生產(chǎn)線②,設(shè)增加的生產(chǎn)成本為(萬元),則的可能取值為0,8,5,13.,,,,所以,故選生產(chǎn)線②的生產(chǎn)成本期望值為(萬元),故應(yīng)選生產(chǎn)線②.【點睛】本題考查了相互獨立事件的概率,考查了離散型隨機變量期望的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)(2)見解析【解析】
(1)設(shè)數(shù)列的公差為,由,得到,再結(jié)合題干所給數(shù)據(jù)得到公差,即可求得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)可得,再利用放縮法證明不等式即可;【詳解】解:(1)設(shè)數(shù)列的公差為,∵,∴,∴,∴.(2)∵,∴,∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式的計算,放縮法證明數(shù)列不等式,屬于中檔題.19、(1)為中點,理由見解析;(2)當點在線段靠近的三等分點時,直線與平面所成角最大,最大角的正弦值.【解析】
(1)為中點,可利用中位線與平行四邊形性質(zhì)證明,,從而證明平面平面;(2)以A為原點,分別以,,所在直線為、、軸建立空間直角坐標系,利用向量法求出當點在線段靠近的三等分點時,直線與平面所成角最大,并可求出最大角的正弦值.【詳解】(1)為中點,證明如下:分別為中點,又平面平面平面又,且四邊形為平行四邊形,同理,平面,又平面平面(2)以A為原點,分別以,,所在直線為、、軸建立空間直角坐標系則,設(shè)直線與平面所成角為,則取平面的法向量為則令,則所以當時,等號成立即當點在線段靠近的三等分點時,直線與平面所成角最大,最大角的正弦值.【點睛】本題主要考查了平面與平面的平行,直線與平面所成角的求解,考查了學生的直觀想象與運算求解能力.20、(1)(2)見解析【解析】
(1)分三種情況去絕對值,求出最大值與已知最大值相等列式可解得;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為2ab≥1,再構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)判斷單調(diào)性求出最小值可證.【詳解】(1)∵,∴.∴當時,取得最大值.∴.(2)由(Ⅰ),得,.∵,當且僅當時等號成立,∴.令,.則在上單調(diào)遞減.∴.∴當時,.∴.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法,屬中檔題.本題主要考查了絕對值不等式的求解,以及不等式的恒成立問題,其中解答中根據(jù)絕對值的定義,合理去掉絕對值號,及合理轉(zhuǎn)化恒成立問題是解答本題的關(guān)鍵,著重考查分析問題和解答問題的能力,以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.21、(1)an=2n+1;(2)2.【解析】
(1)根據(jù)題意求出首項,再由(an+12+2an+1)﹣(an2+2an)=4an+1,求得該數(shù)列為等差數(shù)列即可求得通項公式;(2)利用錯位相減法進行數(shù)列求和.【詳解】(1)∵an2+2an=4Sn+1,∴a12+2a1=4S1+1,即,解得:a1=1或a1=﹣1(舍),又∵an+12+2an+1=4Sn+1+1,∴(an+12+2an+1)﹣(an2+2an)=4an+1,整理得:(an+1﹣an)(an+1+an)=2(an+1+an),又∵數(shù)列{an}的各項均為正,∴an+1﹣an=2,∴數(shù)列{an}是首項為1、公差為2的
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