湖北省咸寧市崇陽(yáng)縣2024-2025學(xué)年度高二數(shù)學(xué)10月月考試卷含答案

2024—2025學(xué)年度高二數(shù)學(xué)10月月考試卷本試題卷共4頁(yè)，19題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念得到結(jié)果.【詳解】，所以的共軛復(fù)數(shù)為.故選：A.2.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率可確定直線的傾斜角.【詳解】由得，所以該直線的斜率為：.設(shè)直線傾斜角為，則，且，所以.故選：C3.第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行，金牌榜前10名的國(guó)家的金牌數(shù)依次為，則這10個(gè)數(shù)的分位數(shù)是（）A.14.5 B.15 C.16 D.17【答案】D【解析】【分析】將這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)，結(jié)合百分位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.【詳解】將這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列得：，因?yàn)?，所以這10個(gè)數(shù)分位數(shù)是.故選：D.4.已知向量，，且，那么等于（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零求坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)求模長(zhǎng)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以，即，所以，所以，故選：C．5.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】充分必要條件的判斷：把兩個(gè)命題分別作為條件和結(jié)論，判定由條件能否推出結(jié)論即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，顯然，兩直線平行，滿足充分條件；當(dāng)與直線平行時(shí)，，則∴或，當(dāng)時(shí)顯然成立，當(dāng)時(shí)，，，整理后與重合，故舍去，∴，滿足必要條件；∴“”是“直線與直線平行”的充要條件故選：C6.已知直線過點(diǎn)，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線l的方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】考慮截距是否為0，分兩種情況求解，求出直線斜率，即可求得答案.【詳解】由題意設(shè)直線與x軸交點(diǎn)為，則與y軸交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，直線過原點(diǎn)，斜率為，故方程為；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，故直線方程為，即，故選：D7.如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將作為基底，利用空間向量基本定理用基底表示，然后對(duì)其平方化簡(jiǎn)后，再開方可求得結(jié)果【詳解】由題意得，，因?yàn)?所以，所以，故選：C8.已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，兩條直線和的交點(diǎn)為，則的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由直線所過定點(diǎn)和兩直線垂直得到點(diǎn)的軌跡，再設(shè)，結(jié)合輔助角公式求出即可；【詳解】由題意可得直線恒過定點(diǎn)，恒過定點(diǎn)，且兩直線的斜率之積為，所以兩直線相互垂直，所以點(diǎn)在以線段為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知M為圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線l：上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線l與圓C相切 B.直線l與圓C相離C.|PM|的最大值為 D.|PM|的最小值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線l得距離，可知直線l與圓C相離；∵P、M均為動(dòng)點(diǎn)，對(duì)|PM|先固定點(diǎn)P可得，再看不難發(fā)現(xiàn)，即．【詳解】圓C：得圓心,半徑∵圓心到直線l：得距離∴直線l與圓C相離A不正確，B正確；C不正確，D正確；故選：BD．10.下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.已知向量，則在上的投影向量為B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C.已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底D.若直線的方向向量為，平面的法向量，則直線【答案】ABC【解析】【分析】利用投影向量的定義判斷A，利用空間四點(diǎn)共面，滿足，其中判斷B，根據(jù)向量基底的概念判斷C，利用線面關(guān)系的向量表示判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)椋栽谏系耐队跋蛄繛?，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：是空間的一組基底，，所以兩向量之間不共線，所以也是空間的一組基底，故選項(xiàng)C正確；.選項(xiàng)D：因?yàn)橹本€的方向向量為，平面的法向量，，則直線或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：ABC11.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（）A.B.平面C.直線與平面所成的角為D.三棱錐外接球表面積為【答案】AD【解析】【分析】由線面垂直的判定及性質(zhì)即可判斷A；由線面關(guān)系即可判斷B；由線面角的定義即可判斷C；由球的表面積公式即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，連接，則，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對(duì)于B，連接，由正方體得，，又，所以，因?yàn)槠矫?，即與平面不平行，所以與平面不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意知，是直線與平面所成的角，且，所以直線與平面所成的角不是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由正方體得，平面，且，，所以三棱錐外接球的直徑，所以，外接球表面積為，故D正確；故選：AD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是__________.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角即可求解.【詳解】因?yàn)槭钦襟w，建立以為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則有，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，．故答案為：．13.若，且為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】把為銳角轉(zhuǎn)化為與的夾角為銳角，然后利用數(shù)量積列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)闉殇J角，所以與的夾角為銳角，又，所以，解得且.故答案為：.14.已知，，若點(diǎn)Px,y在線段上，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的形式，可轉(zhuǎn)化為線段AB上點(diǎn)與連線的斜率，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】的幾何意義是點(diǎn)Px,y與點(diǎn)連線的斜率，又點(diǎn)Px,y在線段上，由圖知，因?yàn)?，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，所以，故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過程或演算步驟.15.已知三點(diǎn)，記的外接圓為.（1）求的方程；（2）若直線與交于兩點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求圓的一般方程；（2）利用垂徑定理求出弦長(zhǎng)，從而可求面積.【小問1詳解】設(shè)的一般方程為，由題意可知，解得，所以，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由（1）可知，，半徑.則圓心到直線的距離為，所以，故的面積為..16.在三角形中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若，三角形的面積為，求三角形的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由正弦定理進(jìn)行邊角互化可得，結(jié)合兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出，即可求出.(2)由三角形的面積公式可得，結(jié)合及余弦定理即可求出，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】由正弦定理得，所以所以，整理得，因?yàn)?，所以，因此，所以，所?【小問2詳解】由的面積為，得，解得，又,則，.由余弦定理得，解得，，所以的周長(zhǎng)為.17.已知的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，邊上的高所在的直線方程為．（1）求直線的方程；（2）若邊上的中線所在的直線方程為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，即可求出實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】解：由條件知邊上的高所在的直線的斜率為，所以直線的斜率為，又因?yàn)?，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在軸上．所以設(shè)，則線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，所以，得，即，又點(diǎn)在直線上，所以，解得．18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為菱形，且，點(diǎn)為棱DP的中點(diǎn).（1）在棱BC上是否存在一點(diǎn)，使得∥平面PAN？如果存在，確定點(diǎn)N的位置，如果不存在，請(qǐng)并說(shuō)明理由；（2）若二面角的余弦值為時(shí)，求棱DP的長(zhǎng)度，并求點(diǎn)A到平面BCM的距離．【答案】（1）存在，點(diǎn)為的中點(diǎn)（2）；點(diǎn)A到平面BCM的距離為2【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，可得平面∥平面PAN，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得∥，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，分別求平面BCM、平面PCD的法向量，根據(jù)面面夾角求得a，進(jìn)而可求點(diǎn)到面的距離.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，且平面PAN，平面PAN，可得∥平面PAN，又因?yàn)椤纹矫鍼AN，，平面，可得平面∥平面PAN，且平面平面，平面平面，可得∥，由題意可知：∥，則為平行四邊形，可得，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以棱BC上是存在一點(diǎn)，使得∥平面PAN，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn).【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，由題意可知：為等邊三角形，則，且∥，可得，又因?yàn)榈酌鍭BCD，則可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，設(shè)平面BCM的法向量，則，令，則，可得，且平面PCD的法向量，由題意可得：，解得（舍負(fù)），可得，，所以點(diǎn)A到平面BCM的距離.19.在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為．現(xiàn)有兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到，則譯碼為1，若依次收到，則譯碼為1）．（1）已知．①若采用單次傳輸方案，重復(fù)發(fā)送信號(hào)0兩次，求至少收到一次0的概率；②若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送，證明：事件“第三次收到的信號(hào)為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨(dú)立．（2）若發(fā)送1，采用三次傳輸方案時(shí)譯碼為0概率大于采用單次傳輸方案時(shí)譯碼為0的概率，求的取值范圍．【答案】（1）①；②證明見解析（2）【解析】【分析】（1）①記事件為“至少收到一次0”，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式計(jì)算可得；②記事件為“第三次收到的信號(hào)為1”，事件為“三次收到的數(shù)字之和為2”，證明即可；（2）記事件為“采用三次傳輸方案時(shí)譯碼為0”，事件為“采用單次傳輸