2023-2024學(xué)年湖北省孝感市高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷含答案

2023-2024學(xué)年湖北省孝感市高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，共40.0分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.命題p：，的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題易求.【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知：命題p：，的否定為，.故選：B2.已知集合，且，則（）A. B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系可得出關(guān)于的等式，結(jié)合集合元素滿足互異性可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)榧?，且，所以，或，解得或，?dāng)時，，集合中的元素不滿足互異性；當(dāng)時，，符合題意．綜上，．故選：D．3.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)和具體函數(shù)定義域的求法，列不等式求解可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，解得，根?jù)解析式有意義可知，即，綜上，.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A．4.設(shè)函數(shù)，．用表示，中的較大者，記為，則的最小值是（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象即可求解.【詳解】解：令，解得或，則，當(dāng)或時，，當(dāng)時，函數(shù)沒有最小值，綜上：函數(shù)的最小值為1，故選：B．5.已知函數(shù)滿足，且，則（）A.16 B.8 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】分別取代入，聯(lián)立可解得，然后可求.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以有，，又，所以，解得，則.故選：A．6.已知偶函數(shù)在區(qū)間上對任意，都有，則滿足的x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件得出函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間則上遞減，且圖像關(guān)于軸對稱，從而得到，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上對任意的，都有，所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間則上遞減，由，得到，即，解得，故選：D．7.“不等式在R上恒成立”的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出不等式恒成立的充要條件，然后逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：∵“不等式在R上恒成立”，顯然不滿足題意，∴，解得，對于A，是充要條件，故A錯誤；對于B，因?yàn)橥撇怀?，故B錯誤；對于C，因?yàn)?，反之不能推出，故C正確；對于D，因?yàn)橥撇怀觯蔇錯誤．故選：C．8.已知不等式對滿足的所有正實(shí)數(shù)a，b都成立，則正數(shù)x的最大值為（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意有，將變形為，然后利用基本不等式求，最后解一元二次不等式可得.【詳解】由題知，因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，所以由得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，等號成立，所以，即，所以，整理得，解得，所以正數(shù)x的最大值為2．故選：D．二、多選題（本題共4小題，共20.0分．在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知不等式解集為或，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.的解集為【答案】ACD【解析】【分析】利用一元二次不等式解的性質(zhì)得到關(guān)于的表達(dá)式，且，從而分析各選項(xiàng)即可得解.【詳解】由題意知，和3是方程的兩根，且，所以，，則，，因?yàn)?，所以，，，故AC正確，B錯誤；不等式為，即，解得，所以的解集為，故D正確．故選：ACD．10.中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二，問：物幾何？”現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)x為（）．A.23 B.44 C.68 D.128【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件對各選項(xiàng)逐一分析計算即可判斷作答.詳解】對于A，由，得；由，得；由，得，因此，A正確；對于B，由，得，B錯誤；對于C，由，則，C錯誤；對于D，由，得；由，得；由，得，因此，D正確.故選：AD11.已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A.1 B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)及分段函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意，二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的增函數(shù)，所以，解得．所以實(shí)數(shù)a的取值可以是，.故選：BC.12.設(shè)表示不超過x的最大整數(shù)，如：，，又稱為取整函數(shù)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）A.是奇函數(shù)B.，，若，則C.，D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】【分析】由“取整函數(shù)”的定義逐個選項(xiàng)分析即可.【詳解】A．取和0.5，函數(shù)值分別為和0，故A不正確；B．設(shè)，則，，，，則，因此，故B正確；C．設(shè)（，），當(dāng)時，，，此時，當(dāng)時，，，此時，綜合可得，C正確；D．不等式，可得：，或，∴，或，因此不等式的解集為，故D正確．故選：BCD．三、填空題（本題共4小題，共20.0分）13.冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的值為___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征求出m，再根據(jù)單調(diào)性即可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足題意，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，滿足題意.故．故答案為：14.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則函數(shù)在時的解析式為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則，因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，即.故答案為：15.寫出同時滿足以下條件的一個函數(shù)___________．①定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋虎?，，且時，；③，．【答案】(答案不唯一，合理即可)【解析】【分析】根據(jù)已知條件分析函數(shù)的性質(zhì)，選用滿足題意的基本函數(shù)即可.【詳解】由題意可知，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最小值，則符合題意.故答案為：16.已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恰有一個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】分類討論不等式的解集，結(jié)合函數(shù)的圖像，求滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖像，如圖所示，有，，由，得，當(dāng)時，，不等式無解；當(dāng)時，由得，此時不可能只有一個整數(shù)解．當(dāng)時，由得，若不等式恰有一個整數(shù)解，則整數(shù)解為，又，，再結(jié)合圖像知，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，集合，．（1）求；（2）若是的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】17.；18.．【解析】【分析】（1）根據(jù)解析式有意義求集合A，解一元二次不等式得集合B，然后根據(jù)集合運(yùn)算可得；（2）根據(jù)集合包含關(guān)系列不等式組求解即可.【小問1詳解】由得：，即，∴，解得：，即，∴．【小問2詳解】由題意知，由（1）知：，顯然所以有，解得：；所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．18.（1）已知二次函數(shù)滿足，且.求的解析式；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)，利用建立恒等式求解即可；（2）令，（），從而把求值域問題轉(zhuǎn)化為求的值域問題，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解值域即可.【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)（），因?yàn)?，所?由，得，得，所以，得，故.（2）函數(shù)，令，（），那么，則函數(shù)轉(zhuǎn)化為，整理得：（），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：的開口向上，對稱軸，故當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為，無最大值，即，所以函數(shù)的值域?yàn)?19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義加以證明；（2）求使成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，可得出的值，再由可得出的值，可得出函數(shù)的解析式，利用函數(shù)奇偶性的定義驗(yàn)證函數(shù)為奇函數(shù)，判斷出函數(shù)為上的增函數(shù)，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立；（2）由奇函數(shù)的性質(zhì)可將所求不等式變形為，再利用函數(shù)的定義域與單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴，即．又，即，解得，此時，，對任意的，，所以，是定義在上的奇函數(shù)．函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，證明如下：、，且，則．∵，∴，，，∴，即，∴在上是增函數(shù)．【小問2詳解】解：由（1）知，在上是增函數(shù)，∵是定義在上的奇函數(shù)，由，得，所以，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．20.以人工智能、航空航天、生物技術(shù)、光電芯片、信息技術(shù)、新材料、新能源、智能制造等為代表的高精尖科技，屬于由科技創(chuàng)新構(gòu)成的物理世界，是需要長期研發(fā)投入，具有極高技術(shù)門檻和技術(shù)壁壘，最近十年，某高科技企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識產(chǎn)權(quán)的高級設(shè)備，并從2023年起全面發(fā)售．經(jīng)測算，生產(chǎn)該高級設(shè)備每年需固定投入固定成本500萬元，每生產(chǎn)百臺高級設(shè)備需要另投成本萬元，且，每百臺高級設(shè)備售價為80萬元，且高級設(shè)備年產(chǎn)量最大為10000臺．（1）求企業(yè)獲得年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百臺）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所獲年利潤最大？并求最大年利潤．【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為30百臺時，最大利潤為400萬元【解析】分析】（1）分和兩種情況討論，即可求解函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可．【小問1詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以企業(yè)獲得年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百臺）的函數(shù)關(guān)系式為：．【小問2詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，取得最大值為400；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故當(dāng)時，取最大值為325；綜上所述：當(dāng)年產(chǎn)量為30百臺時，最大利潤為400萬元．21.對于定義域?yàn)镈的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是時，的值域也是；則稱是該函數(shù)的“完美區(qū)間”．（1）判斷函數(shù)，是否存在“完美區(qū)間”，若存在，則求出它的一個完美區(qū)間，若不存在，請說明理由；（2）已知函數(shù)（，）有“完美區(qū)間”，當(dāng)a變化時，求出的最大值．【答案】（1）存在“完美區(qū)間”，它的一個完美區(qū)間是.（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)“完美區(qū)間”的定義，分類討論函數(shù)單調(diào)性，由值域列方程求的值.（2）由“完美區(qū)間”的定義和函數(shù)單調(diào)性，列方程求解，得是方程的兩根，利用韋達(dá)定理求的最大值．【小問1詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)镽，若存在“完美區(qū)間”，則在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，，分2種情況討論：①若，在是增函數(shù)，必有，顯然不存在符合題意的m、n；②若，在是減函數(shù)，必有，則，且．故符合條件的一組，（答案不唯一，符合題意即可），所以函數(shù)存在“完美區(qū)間”，它的一個完美區(qū)間是.【小問2詳解】根據(jù)題意，，其定義域?yàn)?，必有或，則在上遞增，必有，則m、n是方程的兩個根，變形可得，則該方程有兩個同號不相等的根，且兩根為m、n，則，必有，解可得或，則，又由或，則時，取得最大值2，則最大值為．22.“函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱”的充要條件是“對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有”．若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，且當(dāng)時，．（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)．（ⅰ）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱；（ⅱ）若對任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）．【解析】【分析】（1）由函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，可得；（2）（?。┳C明即可；（ⅱ）由在的值域?yàn)?，設(shè)在上的值域?yàn)锳，問題轉(zhuǎn)化為，先求解，分類討論軸與區(qū)間的關(guān)系，研究二次函數(shù)的值域即可.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則，令，可得．【小問2詳解】（ⅰ）證明：由，得，所以函數(shù)的圖像關(guān)于對稱．（ⅱ），則在上單調(diào)遞增，所以的值域?yàn)?/p>