2023-2024學年度第一學期高一年級期中聯(lián)考數學試題含答案

2023-2024學年度第一學期高一年級期中聯(lián)考數學試題一、單項選擇題（本小題共8小題，每小題5分，共40分，每小題4個選項只有一項符合題目要求）1.已知集合，，則如圖中陰影部分表示的集合為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由自然數集的定義化簡集合，解二次不等式化簡集合，由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，由此得解.【詳解】易知，由得，故，則，由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，而，所以圖中陰影部分表示的集合為.故選：B.2.命題“”的否定是A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：全稱命題的否定是存在性命題，所以，命題“”的否定是，選C.考點：全稱命題與存在性命題.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先解分式不等式，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可．【詳解】解：因，所以，，，或，當時，或一定成立，所以“”是“”的充分條件；當或時，不一定成立，所以“”是“”的不必要條件．所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A4.已知集合，集合，則C的子集的個數為（）A.3 B.8 C.7 D.16【答案】B【解析】【分析】根據題意得到集合，然后求子集個數即可.【詳解】由題意得，所以集合的子集的個數為.故選：B.5.若函數的定義域為，則函數的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】根據已知可得函數的定義域需滿足：,解得，即函數定義域為，故選B.考點：求函數定義域6.已知函數是(－∞，＋∞)上的減函數，則a的取值范圍是（）A.(0，3) B.(0，3] C.(0，2) D.(0，2]【答案】D【解析】【分析】直接由兩段函數分別為減函數以及端點值的大小關系解不等式組即可.【詳解】由函數是(－∞，＋∞)上的減函數可得解得.故選：D.7.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數.例如：，，.若函數，則函數是（）A.奇函數 B.偶函數 C.單調遞增函數 D.值域為【答案】D【解析】【分析】根據高斯函數的定義得出函數的解析式，作出圖形，由圖象可得選項.【詳解】解：由于，所以，由此作出函數的圖象，由圖示可以得出是非奇非偶函數，不是單調遞增函數，值域為.故選：D.8.已知是定義在R上的奇函數，且對任意，當時，都有，則關于x的不等式的解集為（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構造函數，由題設條件證得在R上單調遞增，再將題干中不等式轉化為，由的單調性得可，從而求得，即求得所求不等式的解集.【詳解】因為對任意，當時，都有，即，令，則在R上單調遞增，因為是定義在R上的奇函數，所以，由得，即，所以由的單調性得，即，即，所以，即的解集為.故選：B.二.多項選擇題（共4個小題，每小題5分，共20分，每個小題有多項符合題目要求，全對5分，部分選對得2分）9.設，，若，則實數的值可以為（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用一元二次方程的解法、集合間的運算及關系運算分析即可得解.【詳解】解：由題意，集合，由可得，則或或或，當時，滿足即可；當時，需滿足，解得：；當時，需滿足，解得：；因為時有且只有一個根，所以.所以的值可以為.故選：ABD.10.已知函數在區(qū)間上單調遞增，則，的取值可以是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】【分析】分離常數得，若在單調遞增，則滿足，檢驗選項即可求解.【詳解】在上單調遞增,則滿足:,即,故，滿足，，滿足，故選:AC11.已知則下列說法正確的是（）A.若，則函數的最小值為2B.若，則的最小值為1C.若，且，則最小值為2D.若，且，則最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據基本不等式及其推論求解即可.【詳解】對于A，由，則，所以，當且僅當，即時等號成立，所以函數的最小值為，故A錯誤；對于B，由，則，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為1，故B正確；對于C，因為，，所以，當且僅當時等號成立，解得（舍去）或，所以最小值為2，故C正確；對于D，由，且，則，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以最小值為，故D正確.故選：BCD.12.函數對任意總有，當時，，，則下列命題中正確的是（）A.是上的減函數B.在上的最小值為C.是奇函數D.若，則實數的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】本題首先可取、，求出，然后令，即可證得函數是奇函數，C正確，再然后通過定義法判斷函數的單調性，即可得出函數是上的增函數，A錯誤，最后根據增函數得出函數在上的最小值為，根據求出，B正確，根據增函數性質將轉化為，即可判斷出D正確.【詳解】取，，則，解得，令，則，即，函數是奇函數，C正確，令，且，則，因為當時，，所以，則，即，函數是上的增函數，A錯誤，因為函數是上的增函數，所以函數在上的最小值為，，，，故，在上的最小值為，B正確，，即，因為函數是上的增函數，所以，，實數的取值范圍為，D正確，故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數奇偶性的判斷、定義法證明函數單調性以及根據函數單調性求最值和不等式，若定義域關于軸對稱的函數滿足，則函數是奇函數，若滿足，則函數是偶函數，考查計算能力，體現了基礎性和綜合性，是中檔題.三、填空題（共4分小題，每小題5分，共20分）13.函數的定義域為______.【答案】【解析】【分析】利用二次根式被開方數非負和分式分母不為零，列不等式組可求得答案【詳解】由題意得，解得且，所以函數的定義域為，故答案為：14.已知命題：“，”是假命題，則實數a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】命題：“，”是假命題等價于命題：“，”是真命題，再解決含參的不等式恒成立問題即可.【詳解】命題：“，”是假命題，即命題：“，”是真命題，當時，恒成立，符合題意；當時，，,則，解得；綜上所述，a的取值范圍是.故答案為：.15.為了引導居民節(jié)約用電，某城市對居民生活用電實行“階梯電價”，按月用電量計算，將居民家庭每月用電量劃分為三個階梯，電價按階梯遞增.第一階梯：月用電量不超過千瓦時的部分，電價為元/千瓦時；第二階梯：月用電量超過千瓦時但不超過千瓦時的部分，電價為元/千瓦時；第三階梯：月用電量超過千瓦時的部分，電價為元/千瓦時.若某戶居民月份交納的電費為元，則此戶居民月份的用電量為___________千瓦時.【答案】【解析】【分析】根據題意，寫出電費與用電量的函數關系式，根據函數值即可求解.【詳解】設用電量為千瓦時，電費元，，若時。當時，則，解得，不滿足題意；當時，則，解得，不滿足題意；當時，則，解得，滿足題意.故答案為：16.若定義在R上的奇函數在區(qū)間上單調遞增，且，則滿足的x的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據奇函數的性質可得當時，，當時，，即可求解不等式.【詳解】因為定義在R上的奇函數在上單調遞增，且，所以在上也是單調遞增，且，，所以當時，，當時，，所以由可得：或或，解得或.故答案為：.四、解答題（本小題共6小題，共70分，解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知集合，.（1）若，求實數m的取值范圍；（2）若，求實數m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得出，然后分和兩種情況討論，根據列出關于實數的不等式組，解出即可；（2）分和兩種情況討論，根據列出關于實數的不等式組，解出即可.【小問1詳解】由得，當時，則有，解得；當時，則有，解得；綜上所訴：實數m的取值范圍為.【小問2詳解】若，則有當時，則有，解得；當時或得或，綜上所訴：實數m取值范圍為.18.已知函數是定義在上的奇函數，當時，.（1）求m的值，并出函數的解析式；（2）若，求實數a的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由題意首先可以求出，然后根據當時，，且，，從而即可得解，要注意檢驗.（2）首先根據二次函數單調性、奇偶性得到的單調性，從而將不等式等價變形為，解不等式組即可得解.【小問1詳解】因為函數是定義在上的奇函數，，得，因為時，，當時，，且，函數是定義在上的奇函數，，經檢驗當時，是奇函數，滿足題意，所以.【小問2詳解】因為時，，所以在上單調遞增，函數是定義在上的奇函數，所以在上單調遞增，由，，，解得，即實數a的取值范圍.19.已知是冪函數，且在上單調遞增．（1）求的值；（2）求函數在區(qū)間上的最小值．【答案】（1）4（2）當時，；當時，，當時，．【解析】【分析】（1）根據函數是冪函數知，求解后根據函數在上單調遞增即可求m（2）化簡，根據二次函數的對稱軸與的關系分三類討論，可求出函數的最小值.【詳解】（1）是冪函數，∴，解得或；又上單調遞增，∴，∴的值為4；（2）函數，當時，在區(qū)間上單調遞增，最小值為；當時，在區(qū)間上先減后增，最小值為，當時，在區(qū)間上單調遞減，最小值為．【點睛】本題主要考查了冪函數的定義與性質，二次函數分類討論求最小值，屬于中檔題.20.如下圖所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成.（1）現有可圍36m長網的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？最大面積為多少？（2）若使每間虎籠面積為24，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成四間籠的鋼筋網總長最??？最小值為多少？【答案】（1）當長為，寬為時，面積最大，最大面積為；（2）當長為，寬為時，鋼筋網總長最小，最小值為.【解析】【分析】（1）求得每間虎籠面積的表達式，結合基本不等式求得最大值.（2）求得鋼筋網總長的表達式，結合基本不等式求得最小值.【詳解】（1）設長為，寬為，都為正數，每間虎籠面積為，則，則，所以每間虎籠面積的最大值為，當且僅當即時等號成立.（2）設長為，寬為，都為正數，每間虎籠面積為，則鋼筋網總長為，所以鋼筋網總長最小為，當且僅當等號成立.21.已知是定義在上的奇函數，當，，且時，有.（1）判斷函數的單調性，并給以證明；（2）若且對所有，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）在上增函數；證明見解析；（2）或或.【解析】【分析】（1）利用函數單調性的定義即可證明；（2）根據單調性求出時，的最大值，即對任意的恒成立，只需，解不等式組即可求解.【詳解】（1）證明：設且，，因為，所以，所以，，所以，即即在上為增函數.（2）且在上為增函數.對，有由題意，對所有的恒成立，應有記對所有成立.所以，解得：或或，所以實數取值范圍為或或.【點睛】方法點睛：利用定義證明函數單調性的方法（1）取值：設是該區(qū)間內的任意兩個值，且；（2）作差變形：即作差，即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號的方向變形；（3）定號：確定差的符號；（4）下結論：判斷，根據定義作出結論.即取值---作差----變形----定號----下結論.22設函數.（1）當時，若對于，有恒成立，求的取值范圍；（2）已知，若對于一切實數恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）據題意知，把不等式的恒成立轉化為恒成立，設，則，根據二次函數的性質，求得函數的最大致，即可