江蘇省南京市2023~2024學年第一學期期中試卷高二數(shù)學含答案

2023~2024學年第一學期期中試卷高二數(shù)學注意事項答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求：1．本卷共4頁，包含選擇題（第1題~第12題）、填空題（第13題~第16題）、解答題（第17題~第22題）．本卷滿分150分，考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，請將答題卷交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、調(diào)研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卷的規(guī)定位置．3．請在答題卷上按照順序在對應的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其它位置作答一律無效．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色墨水的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．4．請保持答題卷卷面清潔，不要折疊、破損．一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（）A.36 B.45 C.54 D.63【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，然后求和即可.【詳解】，所以，.故選：C.2.圓的圓心到直線的距離為（）A.0 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由點到直線的距離公式計算.【詳解】由題意可得圓心坐標為，圓心到直線的距離為．故選：D．3.數(shù)列中，，，則（）A.77 B.78 C.79 D.80【答案】D【解析】【分析】利用裂項求和法求得正確答案.【詳解】依題意，，所以，由，解得.故選：D4.直線，，若兩條直線平行，則實數(shù)（）A. B.1 C.3 D.或3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件，列式求解即可.【詳解】因為，，由可得且，解得，故選：C.5.若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線的方程得到直線恒過定點，根據(jù)曲線的方程曲線表示半圓，然后結(jié)合圖形求的范圍即可.【詳解】直線恒過定點，曲線的方程可整理為，，所以曲線表示以為圓心，半徑為1的半圓，圖象如下所示：，為兩種臨界情況，由題意得，則，令圓心到直線的距離，解得，則，所以當時，直線與曲線有兩個不同的交點.故選：A.6.數(shù)學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點）、重心（三邊中線的交點）、垂心（三邊高的交點）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點為，，，則該三角形的歐拉線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由重心坐標公式可得：重心，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)設(shè)出外心，根據(jù)，求出外心，再求出斜率，利用點斜式即可求出歐拉線方程.【詳解】由重心坐標公式可得：重心，即.設(shè)外心，因為，所以，解得，即：.，故歐拉線方程為：，即：，故選：A.7.已知，，（，），其前項和，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用遞推關(guān)系構(gòu)造得是一個以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，再賦值，結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式求答案.【詳解】由（，）可得，已知，，所以，即是一個以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，，，，，，，故選B.8.已知正方形的邊長為2，點在以為圓心，1為半徑的圓上，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立直角坐標系，取點，探討滿足條件的點的軌跡，再結(jié)合已知，求出兩條線段長度和的最小值作答.【詳解】依題意，以點為原點，直線分別為軸建立平面直角坐標系，則，如圖，取點，設(shè)，當時，，化簡整理得，即點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，而點在以為圓心，1為半徑的圓上，因此，顯然點在圓：外，則，當且僅當為線段與圓的交點時取等號，而，所以的最小值為.故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：建立坐標系，取點并求出滿足條件的點的軌跡是解題的關(guān)鍵.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.經(jīng)過點，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C.直線與直線之間的距離是D.直線，，，則【答案】ACD【解析】【分析】由直線斜率求出傾斜角判斷A；求出過原點的直線方程判斷B；求出平行線間距離判斷C；由兩直線垂直求出參數(shù)判斷D.【詳解】對于A，直線的斜率，則其傾斜角為，A正確；對于B，過點，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線還有過原點的，其方程為，B錯誤；對于C，直線與直線，即間的距離，C正確；對于D，由，得，且，解得，D正確.故選：ACD10.下列命題中，正確的有（）A.數(shù)列中，“（，）”是“是公比為2的等比數(shù)列”的必要不充分條件B.數(shù)列的通項為，若為單調(diào)遞增數(shù)列，則C.等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則D.等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則【答案】AD【解析】【分析】利用必要不充分條件的意義判斷A；利用遞增數(shù)列列出不等式求解判斷B；利用等比中項意義求出判斷C；利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合前項和公式計算判斷D.【詳解】對于A，是公比為2的等比數(shù)列，則有（，），反之，當（，），若，數(shù)列不是等比數(shù)列，因此“（，）”是“是公比為2的等比數(shù)列”的必要不充分條件，A正確；對于B，，為單調(diào)遞增數(shù)列，則，，即，而數(shù)列單調(diào)遞減，即，因此，B錯誤；對于C，令等比數(shù)列的公比為，依題意，顯然，而，因此，C錯誤；對于D，等差數(shù)列，的前n項和為分別為，，所以，D正確.故選：AD11.已知圓與直線，點在直線上運動，直線，分別與圓切于點，，則下列說法正確的是（）A.四邊形的面積最小值為B.最短時，弦長為C.最短時，弦直線方程為D.直線過定點【答案】ACD【解析】【分析】A選項，根據(jù)面積公式得到當時四邊形的面積最小，然后求面積；B選項，利用等面積的思路求；C選項，根據(jù)，得到為以為直徑的圓上的點，然后根據(jù)圓的方程求弦所在直線的方程；D選項，設(shè)，借助圓的方程得到直線的方程為，然后求定點.【詳解】由題意得四邊形PAMB的面積，，因為，，所以當長度最小時，四邊形的面積最小，最小為點到直線的距離，所以，所以四邊形的面積最小值為，故A正確；由圓的性質(zhì)得，由A選項可得，最短時，四邊形的面積最小，，所以，故B錯；由題意得，，所以為以為直徑的圓上的點，所以直線為兩圓公共弦所在的直線，，直線：，即，聯(lián)立得，所以最短時，，中點坐標為，此時以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立得，所以弦所在直線的方程為，故C正確；設(shè)，則，即，以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立得，所以直線的方程為，將代入得，令，解得，所以直線過定點，故D正確.故選：ACD.12.意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8…，該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列各項可知其是以為周期的周期數(shù)列，由此可判斷A，B；根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義，采用累加法可判斷C；由斐波那契數(shù)列定義可推導得到，累加即可判斷D.【詳解】斐波那契數(shù)列：，則，即數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，，，，，故C正確；對于D，因為，所以，所以，，，，所以，又，所以，故D正確，故選：BCD.【點睛】解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義，確定其數(shù)列前后項所滿足的關(guān)系式，進而驗證得到新定義的數(shù)列為周期數(shù)列.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.過點，，圓心在直線上的圓的標準方程為______【答案】【解析】【分析】設(shè)圓心為，由，列方程解出和，可得圓的標準方程.【詳解】圓心在直線上，設(shè)，設(shè)圓的半徑為，由圓過點，，有，則，解得，，所以圓的標準方程為.故答案為：14.點關(guān)于直線的對稱點的坐標為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對稱點的求法求得正確答案.【詳解】設(shè)對稱點的坐標為，則，解得，所以對稱點的坐標為.故答案為：15.設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線方程得到，，，根據(jù)勾股定理得到，然后根據(jù)不等式求最值即可.【詳解】直線可得，直線可整理為，令，解得，所以，因為，所以直線與直線垂直，則，所以點的軌跡為以為直徑的圓，，所以，所以，當且僅當時等號成立.故答案為：.16.設(shè)數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，其中．則使不等式對任意正整數(shù)都成立的最大實數(shù)的值為__________．【答案】##0.75【解析】【分析】先通過遞推公式求出的通項公式，代入求出的通項公式，最后代入轉(zhuǎn)化為恒成立問題，研究新數(shù)列的單調(diào)性即可求出最小值.【詳解】因為，所以，所以，即，兩邊同除可得，又因為時，所以，所以是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，即，所以，代入不等式可得，即，令，則，所以，因為，所以，所以恒成立，即為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，所以，即的最大值為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：數(shù)列的恒成立問題往往需要研究數(shù)列的單調(diào)性，一般通過作差法來判斷單調(diào)性.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，點的坐標為，邊上的中線所在直線的方程為，直線的傾斜角為．（1）求點的坐標；（2）過點的直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于，兩點，求（為坐標原點）面積的最小值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)直線的傾斜角為得到直線的方程，然后與邊上的中線所在的直線方程聯(lián)立得到點；（2）設(shè)直線的方程為，根據(jù)點的坐標得到，然后利用基本不等式求最值.【小問1詳解】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，又的坐標為，所以直線的方程為，即．因為BC邊上的中線經(jīng)過點A，由與聯(lián)立，解得，，所以點的坐標為．小問2詳解】依題意可設(shè)直線的方程為（，），則．因為，，所以，則，當且僅當時，等號成立，所以面積的最小值為．18.已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式計算；（2）利用分組求和方法計算.【小問1詳解】依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因為，所以，則，因為，即，所以，所以，，所以，即．【小問2詳解】因為，所以，所以．19.已知的三個頂點分別為，，，直線經(jīng)過點．（1）求外接圓的方程；（2）若直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）先判斷三角形的形狀為等腰直角三角形，則圓心為斜邊的中點，半徑為斜邊的一半可以得到圓的方程；（2）先根據(jù)弦長求出弦心距，再考慮直線斜率是否存在，分別判斷直線是否符合要求，最后得到兩條直線方程.【小問1詳解】因，，，所以，，所以，所以，又因為，所以是等腰直角三角形，所以的圓心是的中點，即圓心，半徑，所以的方程為；【小問2詳解】因為圓的半徑為2，當直線截圓的弦長為時，圓心到直線的距離為，①當直線與軸垂直時，此時直線斜率不存在，直線為，與圓心的距離為1，滿足條件；②當直線的斜率存在時，設(shè)，即，則圓心到直線的距離為，解得，此時直線的方程為，即，綜上可知，直線的方程為或．20.已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且，，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，①求數(shù)列的前項和；②若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的最大值．【答案】20.；21.①；②．【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，結(jié)合等比中項進行求解；（2）①先計算的通項公式，再用錯位相減法求解；②代入，得到對一切恒成立，構(gòu)造函數(shù)，再求的最小值，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】依題意得，解得，，即．【小問2詳解】①，，，，所以．．②由（1）易求得，所以不等式對一切恒成立，即轉(zhuǎn)化為對一切恒成立，令，則，又，當時，；時，，所以，且，則．所以實數(shù)的最大值為．21.已知數(shù)列的前項和記為，且，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，它的前項和記為．若，且存在不小于3的正整數(shù)，，使得．（1）若，，求的值；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若，是否存在正整數(shù)，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）證明見解析（3）存在，，．【解析】【分析】（1）根據(jù)求；（2）根據(jù)和等差數(shù)列的定義證明；（3）根據(jù)等差、等比數(shù)列的求和公式和得到，然后結(jié)合，為不小于3的正整數(shù)得到，.【小問1詳解】當時，，因為，，所以．【小問2詳解】由，得，兩式相減，得，即，所以．兩式相減，得，所以數(shù)列為等差數(shù)列．【小問3詳解】依題意：，由得：，即，所以．因，且，所以，又因為，且為奇數(shù)，所以時，是整數(shù)，此時，所以，．22.已知線段的端點的坐標是，端點的運動軌跡是曲線，線段的中點的軌跡方程是．（1）求曲線的方程；（2）已知斜率為的直線與曲線相交于兩點，（異于原點）直線，的斜率分別為，，且，①證明：直線過定點，并求出點的坐標；②若，為垂足，證明：存在定點，使得為定值．【答案】（1）（2）①證明見解析，；②證明見解析【解析】【分析】（1）直接設(shè)點，由中點坐標代入即可得到軌跡方程；（2）先設(shè)直線然后聯(lián)立，聯(lián)立后得到韋達定理，再求斜率之積，代入韋達定理