2024-2025學年高中數(shù)學第二章概率2.4二項分布學案含解析北師大版選修2-3

PAGE4二項分布授課提示：對應學生用書第38頁[自主梳理]一、n次獨立重復試驗在________條件下________的n次試驗稱為n次獨立重復試驗．二、二項分布進行n次試驗，假如滿意以下條件：(1)每次試驗只有兩個________的結果，可以分別稱為“勝利”和“失敗”；(2)每次試驗“勝利”的概率均為p，“失敗”的概率均為________；(3)各次試驗是________的．用X表示這n次試驗中勝利的次數(shù)，則P(X＝k)＝______________________.若一個隨機變量X的分布列如上所述，稱X聽從參數(shù)為n，p的二項分布，簡記為________．[雙基自測]1．對獨立重復試驗有以下說法：①每次試驗之間是相互獨立的；②每次試驗只有兩個相互對立的結果；③每次試驗中事務A發(fā)生的概率相等；④各次試驗中，各個事務是互斥的．其中正確的是()A．①② B．②③C．①②③ D．①②④2．已知η～B(6，eq\f(1,3))，則P(η＝4)等于()A.eq\f(3,16) B.eq\f(20,243)C.eq\f(13,243) D.eq\f(80,243)3．已知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，則P(X＝2)＝________.[自主梳理]一、相同重復做二、相互對立1－p相互獨立Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)X～B(n，p)[雙基自測]1．C各次試驗中，各個事務是相互獨立的，所以④不正確．2．BP(η＝4)＝Ceq\o\al(4,6)·(eq\f(1,3))4·(eq\f(2,3))2＝eq\f(20,243).3.eq\f(80,243)P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))6－2＝Ceq\o\al(2,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(80,243).授課提示：對應學生用書第39頁探究一獨立重復試驗的判定[例1]推斷下列試驗是不是獨立重復試驗：(1)依次投擲四枚質地不同的硬幣，3次正面對上；(2)某人射擊，擊中目標的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中；(3)口袋中裝有5個白球，3個紅球，2個黑球，依次從中抽取5個球，恰好抽出4個白球．[解析](1)由于試驗的條件不同(質地不同)，因此不是獨立重復試驗．(2)某人射擊且擊中的概率是穩(wěn)定的，因此是獨立重復試驗．(3)每次抽取，試驗的結果有三種不同顏色，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不是獨立重復試驗．獨立重復試驗的判定方法推斷試驗是否為獨立重復試驗，關鍵是看是否是在相同條件下及各次試驗是否相互獨立且事務發(fā)生的概率是否相同．1．小明同小華一起玩擲骰子嬉戲，嬉戲規(guī)則如下：小明先擲，小華后擲，如此間隔投擲，問：(1)小明共投擲n次，是否可看作n次獨立重復試驗？小華共投擲m次，是否可看作m次獨立重復試驗？(2)在嬉戲的全過程中共投擲了m＋n次，則這m＋n次是否可看作m＋n次獨立重復試驗？解析：(1)由獨立重復試驗的條件，小明、小華各自投擲骰子時可看作在相同條件下，且每次間互不影響，故小明、小華分別投擲的n次和m次可看作n次獨立重復試驗和m次獨立重復試驗．(2)就全過程考查，不是在相同條件下進行的試驗，故不能看作m＋n次獨立重復試驗．探究二求獨立重復試驗的概率[例2]甲、乙兩人各射擊一次擊中目標的概率分別是eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，假設兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響，每次射擊是否擊中目標，相互之間也沒有影響．(1)求甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率；(2)求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率；(3)假設某人連續(xù)2次未擊中目標，則射擊停止，問：乙恰好射擊5次后被中止射擊的概率是多少？[解析]設“甲、乙兩人各射擊一次擊中目標分別記為A、B”，則P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(3,4).(1)甲射擊4次，全擊中目標的概率為Ceq\o\al(4,4)(eq\f(2,3))4＝eq\f(16,81).所以甲射擊4次至少1次未中目標的概率為P＝1－eq\f(16,81)＝eq\f(65,81).(2)甲、乙各射擊4次，甲恰好擊中2次，概率為Ceq\o\al(2,4)(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))2＝eq\f(8,27).乙恰好擊中3次，概率為Ceq\o\al(3,4)(eq\f(3,4))3×eq\f(1,4)＝eq\f(27,64).所以概率為eq\f(8,27)×eq\f(27,64)＝eq\f(1,8).(3)乙射擊5次后，中止射擊，第3次擊中，4、5次不中，而1、2至少1次擊中目標，所以中止的概率為(eq\f(3,4))3×(eq\f(1,4))2＋(eq\f(3,4))2×(eq\f(1,4))3＋(eq\f(3,4))2×(eq\f(1,4))3＝eq\f(45,1024).在求某事務的概率時，要擅長從詳細問題中抽象出獨立重復試驗的模型，并明確n是多少，事務A是什么，其發(fā)生的概率是多少等問題．2．某車間的5臺機床中的任何一臺在1小時內須要工人照管的概率都是eq\f(1,4)，求1小時內這5臺機床中至少有2臺須要工人照管的概率是多少(結果保留兩位有效數(shù)字)?解析：設事務A：“1臺機床在1小時內須要工人照管”，則有P(A)＝eq\f(1,4).設X＝k表示在1小時內有k臺機床須要工人照管，k＝0,1,2,3,4,5.所以5臺機床在1小時內須要照管相當于5次獨立重復試驗，而事務A至少發(fā)生2次的概率為1－P(X＝1)－P(X＝0)＝1－[Ceq\o\al(1,5)(eq\f(1,4))·(eq\f(3,4))4＋Ceq\o\al(0,5)(eq\f(1,4))0·(eq\f(3,4))5]≈0.37，即所求的概率為0.37.探究三二項分布的綜合應用[例3]一名學生騎自行車去上學，從他家到學校的途中有6個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的事務是相互獨立的，并且概率都是eq\f(1,3).(1)設ξ為這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求ξ的概率分布；(2)設η為這名學生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求η的概率分布；(3)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率．[解析](1)依據(jù)已知條件，可將遇到每個交通崗看作一次試驗，遇到紅燈的概率都是p＝eq\f(1,3)，且每次試驗結果都是相互獨立的，所以ξ～B(6，eq\f(1,3))．∴P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,6)(eq\f(1,3))k(1－eq\f(1,3))6－k＝Ceq\o\al(k,6)(eq\f(1,3))k(eq\f(2,3))6－k，k＝0,1,2，…，6.∴所求ξ的概率分布為：ξ0123456Peq\f(64,729)eq\f(64,243)eq\f(80,243)eq\f(160,729)eq\f(20,243)eq\f(4,243)eq\f(1,729)(2)由題意知，η＝k(k＝0,1,2，…，5)表示前k個路口沒有遇上紅燈，但在第(k＋1)個路口遇上紅燈，則其概率為P(η＝k)＝(eq\f(2,3))k·eq\f(1,3)，η＝6表示路上沒有遇上紅燈，其概率為P(η＝6)＝(eq\f(2,3))6.∴所求η的概率分布為：η0123456Peq\f(1,3)eq\f(2,9)eq\f(4,27)eq\f(8,81)eq\f(16,243)eq\f(32,729)eq\f(64,729)(3)由題意可知，“至少遇到一次紅燈”的對立事務是“一次紅燈都沒有遇到”，因此有P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－eq\f(64,729)＝eq\f(665,729).二項分布的綜合應用留意點(1)合理轉化：對問題情境合理轉化，推斷是否為二項分布的關鍵是看試驗是否為獨立重復試驗．(2)正確計算：若聽從二項分布，則確定對應的n，p的值，從而利用二項分布公式正確計算．3．某地區(qū)每天保證用水量的概率為0.75，試求：(1)最近7天內正常用水的天數(shù)的分布列；(2)最近7天內至少有兩天正常用水的概率．解析：(1)由題意知，最近7天內用水正常的天數(shù)X聽從參數(shù)n＝7，p＝0.75的二項分布，即X～B(7,0.75)．由二項分布的概率公式知：P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,7)×0.750×0.257≈0.00006，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,7)×0.751×0.256≈0.00128，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,7)×0.752×0.255≈0.01154，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,7)×0.753×0.254≈0.05768，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,7)×0.754×0.253≈0.17303，P(X＝5)＝Ceq\o\al(5,7)×0.755×0.252≈0.31146，P(X＝6)＝Ceq\o\al(6,7)×0.756×0.251≈0.31146，P(X＝7)＝Ceq\o\al(7,7)×0.757×0.250≈0.13348.其分布列為：X01234567P0.000060.001280.011540.057680.173030.311460.311460.13348(2)解法一P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＋P(X＝7)≈0.01154＋0.05768＋0.17303＋0.31146＋0.31146＋0.13348＝0.9987.所以最近7天內至少有兩天正常用水的概率為0.99867.解法二P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)≈1－0.00006－0.00128＝0.9987.所以最近7天內至少有兩天正常用水的概率為0.9987.獨立重復試驗在實際中的應用[典例](本題滿分12分)某學生在上學路上要經(jīng)過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，遇到紅燈時停留的時間都是2min.(1)求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；(2)這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間至多是4min的概率．[解](1)設“這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈”為事務A，因為事務A等于事務“這名學生在第一和其次個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈”，所以事務A的概率為P(A)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).………4分(2)設“這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間至多是4min”為事務B，“這名學生在上學路上遇到k次紅燈”的事務為Bk(k＝0,1,2)．則由題意，得P(B0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,81)，………6分P(B1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(32,81)，P(B2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(24,81).………………10分由于事務B等價于“這名學生在上學路上至多遇到兩次紅燈”，所以事務B的概率為P(B)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝eq\f(8,9).………………12分[規(guī)范與警示]1.在處，體現(xiàn)了正確理解在第三個路口時首次遇到紅燈的含義，是解決本題的關鍵點；在處，易忽視沒有遇到紅燈的情形導致失誤，是易失分點；在處正確應用了n次獨立重復試驗公式，是解決本題的又一關鍵點．2．防范措施：(1)解概率問題要全面考慮．在確定隨機變量X的全部可能取值時，要全面考慮，不行漏解．如本例簡單忽視沒有遇到紅燈的狀況，造成漏解．在求分布列時，肯定要將X的取值考慮全面，特殊是X＝0的情形．(2)解決問題要抓住問題本質．對于相互獨立事