江蘇無(wú)錫市湖濱中學(xué)2024-2025學(xué)年高二(上)數(shù)學(xué)第8周階段性訓(xùn)練模擬練習(xí)【含答案】_第1頁(yè)
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江蘇無(wú)錫市湖濱中學(xué)2024-2025學(xué)年高二(上)數(shù)學(xué)第8周階段性訓(xùn)練模擬練習(xí)一.選擇題(共5小題)1.若直線kx+y+k=0與曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知F1,F(xiàn)2是橢圓+=1的左、右焦點(diǎn),P是橢圓上任意一點(diǎn),過(guò)F1引∠F1PF2的外角平分線的垂線,垂足為Q,則Q與短軸端點(diǎn)的最近距離為()A.1 B.2 C.4 D.53.已知直線l:kx+y﹣k+1=0,直線l關(guān)于直線x+y﹣2=0對(duì)稱的直線為l′,則l′必過(guò)點(diǎn)()A.(3,1) B.(1,3) C.(2,2) D.(4,4)4.已知點(diǎn)P在橢圓上,F(xiàn)1與F2分別為左、右焦點(diǎn),若,則△F1PF2的面積為()A. B. C. D.5.(2023秋?新吳區(qū)校級(jí)期中)已知橢圓C1:,其短軸長(zhǎng)為2且離心率為,在橢圓C1上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線PM,PN,切點(diǎn)分別為M,N,則?的最小值為()A.﹣1 B. C. D.二.多選題(共4小題)(多選)6.下列說(shuō)法正確的是()A.直線的傾斜角為120° B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1),且在x,y軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為x﹣y﹣1=0 C.直線l:mx+y+2﹣m=0恒過(guò)定點(diǎn)(1,﹣2) D.直線l1:ax+2ay+1=0,l2:(a﹣1)x﹣(a+1)y﹣4=0,l1⊥l2,則a=﹣3或0(多選)7.已知F1,F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,則下列結(jié)論正確的有()A.橢圓C的離心率為 B. C. D.∠F1PF2的最大值為(多選)8.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2﹣4x﹣2y+4=0,則下列說(shuō)法正確的是()A.的最大值為 B.的最小值為0 C.x2+y2的最大值為 D.x+y的最大值為(多選)9.如圖,在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6,且它們彼此的夾角都是60°,下列說(shuō)法中不正確的是()A. B.BD⊥平面ACC1 C.向量與的夾角是60° D.直線BD1與AC所成角的余弦值為三.填空題(共5小題)10.設(shè)橢圓E:+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A、右焦點(diǎn)為F,B為橢圓E在第二象限上的點(diǎn),直線BO交橢圓E于點(diǎn)C,若直線BF平分線段AC,則橢圓E的離心率是.11.已知橢圓C:=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,M為橢圓C上任意一點(diǎn),N為圓E:=1上任意一點(diǎn),則|MN|﹣|MF1|的取值范圍為.12.已知直線l過(guò)點(diǎn)(1,2),且在y軸上的截距為在x軸上的截距的兩倍,則直線l的方程是.13.在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點(diǎn)P(2cosθ,sinθ)到直線x﹣my﹣3=0的距離.當(dāng)θ,m變化時(shí),d的最大值為.14.已知⊙O的半徑為1,直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A,直線PB與⊙O交于B,C兩點(diǎn),D為BC的中點(diǎn),若|PO|=2,則的取值范圍為.四.解答題(共6小題)15.已知一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M在圓x2+y2=16上運(yùn)動(dòng),它與定點(diǎn)Q(8,0)所連線段的中點(diǎn)為P.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)若點(diǎn)P的軌跡的切線在兩坐標(biāo)軸上有相等的截距,求此切線方程.

16.已知橢圓焦距為,過(guò)點(diǎn),斜率為k的直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B.(1)求橢圓M的方程;(2)若k=1,|AB|的最大值.17.如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中AD∥BC,AB⊥AD,,PA=4,E為棱BC上的點(diǎn),且.(1)求證:DE⊥平面PAC;(2)求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值;(3)若點(diǎn)Q在棱CP上(不與點(diǎn)C,P重合),直線QE能與平面PCD垂直嗎?若能,求出的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.已知M(1,)為橢圓+=1(a>b>0)上一點(diǎn),上下頂點(diǎn)分別為A、B,右頂點(diǎn)為C,且a2+b2=5.(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)P為橢圓C上異于頂點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn),直線AC與BP交于點(diǎn)Q,直線CP交y軸于點(diǎn)R.求證:直線RQ過(guò)定點(diǎn).

19.圓O1的方程為x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心O2(2,1).(1)若圓O2與圓O1外切,求圓O2的方程;(2)若圓O2與圓O1交于A、B兩點(diǎn),且|AB|=2.求圓O2的方程.

20.設(shè)圓x2+y2﹣2x﹣15=0的圓心為M,直線l過(guò)點(diǎn)N(﹣1,0)且與x軸不重合,l交圓M于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作AM的平行線交BM于點(diǎn)C.(1)證明|CM|+|CN|為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)C的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)C的軌跡為曲線E,直線l1:y=kx與曲線E交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)R為橢圓C上一點(diǎn),若△PQR是以PQ為底邊的等腰三角形,求△PQR面積的最小值.

參考答案與試題解析一.選擇題(共5小題)1.【解答】解:曲線y=1+,即x2+(y﹣1)2﹣2x=0(y≥1),即(x﹣1)2+(y﹣1)2=1(y≥1),表示M(1,1)為圓心,r=1為半徑的圓的上半部分,直線kx+y+k=0恒過(guò)定點(diǎn)(﹣1,0),考查臨界情況:當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(0,1)時(shí),直線的斜率k=﹣1,此時(shí)直線與半圓有兩個(gè)交點(diǎn),當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(2,1)時(shí),直線的斜率k=﹣,此時(shí)直線與半圓有1個(gè)交點(diǎn),當(dāng)直線與半圓相切時(shí),圓心M(1,1)到直線kx﹣y+k=0的距離為1,且k<0,即=1,解得:k=﹣,(k=0舍去).據(jù)此可得,實(shí)數(shù)k的取值范圍是(﹣1,﹣]∪{﹣}.故選:D.2.【解答】解:因?yàn)镻是焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2的橢圓上的一點(diǎn),PQ為∠F1PF2的外角平分線,QF1⊥PQ,設(shè)F1Q的延長(zhǎng)線交F2P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,所以|PM|=|PF1|,∵|PF1|+|PF2|=2a=10,∴|MF2|=|PF1|+|PF2|,所以由題意得OQ是△F1F2M的中位線,所以|OQ|=a=5,所以Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心,以5為半徑的圓,所以當(dāng)點(diǎn)Q與y軸重合時(shí),Q與短軸端點(diǎn)取最近距離d=5﹣4=1.故選:A.3.【解答】解:直線l:kx+y﹣k+1=0,整理得k(x﹣1)+(y+1)=0,故,解得,即直線l恒過(guò)點(diǎn)(1,﹣1);設(shè)點(diǎn)(1,﹣1)關(guān)于直線x+y﹣2=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),故,解得,即直線l′必過(guò)點(diǎn)(3,1).故選:A.4.【解答】解:由橢圓,可得a==2,c==,設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,由題意可得:cos==﹣,m+n=2×2,解得mn=8,∴△F1PF2的面積為×8×sin=2.故選:A.5.【解答】解:由題意可得,可得b=1,a=,所以橢圓的方程為:+y2=1,由圓C2可知半徑為1,圓心C2(0,3),設(shè)∠MC2N=2θ,cosθ=,則?=||||cos∠MPN=||2(1﹣2cos2θ)=(﹣1)(1﹣2?)=﹣1﹣2+2?+,設(shè)t=,則t∈[4,16],所以y=t+2?在t∈[4,16]上單調(diào)遞增,所以t=4時(shí),y最小,且最小值為4+2=,所以?的最小值為﹣3+=.故選:D.二.多選題(共4小題)6.【解答】解:對(duì)于A,直線的斜率k=﹣,∴該直線的傾斜角為120°,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)直線的橫截距a=0時(shí),該直線過(guò)點(diǎn)(2,1)和(0,0),直線方程為,即x﹣2y=0;當(dāng)a≠0時(shí),縱截距為﹣a,直線方程為=1,把P(2,1)代入得:=1,解得a=1,∴直線方程為x﹣y﹣1=0,綜上,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1),且在x,y軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為x﹣2y=0或x﹣y﹣1=0,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,直線l:mx+y+2﹣m=0轉(zhuǎn)化為(x﹣1)m+(y+2)=0,由,解得x=1,y=﹣2,∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)(1,﹣2),故C正確;對(duì)于D,直線l1:ax+2ay+1=0,l2:(a﹣1)x﹣(a+1)y﹣4=0,l1⊥l2,∴a(a﹣1)+2a(﹣a﹣1)=0,解得a=﹣3或0,當(dāng)a=0時(shí),直線l1:ax+2ay+1=0沒(méi)有意義,故a=﹣3,故D錯(cuò)誤.故選:AC.7.【解答】解:由題意,可得,b=5,c=5,則,橢圓C的離心率為,故A正確,B錯(cuò)誤;∵a﹣c≤|PF1|≤a+c,∴,C正確;當(dāng)點(diǎn)P位于短軸的端點(diǎn)時(shí),∠F1PF2取得最大值,此時(shí),|F1F2|=2c=10,故PF1⊥PF2,即∠F1PF2的最大值為,D正確.故選:ACD.8.【解答】解:將x2+y2﹣4x﹣2y+4=0整理可得:(x﹣2)2+(y﹣1)2=1,設(shè)圓心C(2,1),半徑r=1,對(duì)于ABD,令y=kx,即=4,x+y=a,則兩條直線都與圓有公共點(diǎn),所以,,解得,0,故x+y的最大值為3+,的最大值為,故ABD正確;對(duì)于C,原點(diǎn)到圓心的距離為d=,則圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為[|OC|﹣r,|OC|+r],而|OC|==,即[],所以,可得,故x2+y2的最大值為6+2,故C錯(cuò)誤.故選:ABD.9.【解答】解:在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6,且它們彼此的夾角都是60°,所以:,故:=+2=36+36+36+3×2×6×6×cos60°=216;整理得:,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:由于底面ABCD為菱形,所以AC⊥BD,由于,所以AC1⊥BD,故BD⊥平面ACC1,故B正確;對(duì)于C:由于,△AA1D為等邊三角形,所以和的夾角為120°,故向量與的夾角是120°,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:,,利用:,解得:,,由于,所以,故D正確.故選:AC.三.填空題(共5小題)10.【解答】解:如圖,設(shè)AC中點(diǎn)為M,連接OM,則OM為△ABC的中位線,于是△OFM∽△AFB,且==,即=可得e==.故答案為:.11.【解答】解:由橢圓方程可得:a2=4,b2=2,所以a=2,c=,則,又由橢圓的定義可得:|MF1|+|MF2|=2a=4,所以|MF1|=4﹣|MF2|,由圓E的方程可得圓心E(3),半徑R=1,則|MN|﹣|MF1|=|MN|﹣(4﹣|MF2|)=|MN|+|MF2|﹣4≥|EF2|﹣R﹣4=﹣1﹣4=﹣1,即當(dāng)F2,M,N,E四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值為﹣1,|MN|﹣|MF1|≤|ME|﹣|MF1|+1≤|EF1|+1=2+1,當(dāng)F1,M,N,E四點(diǎn)共線時(shí)取得最大值為2+1,故|MN|﹣|MF1|的取值范圍為[﹣1,2+1],故答案為:[﹣1,2+1].12.【解答】解:若直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn),滿足條件,可得直線l的方程為y=2x.若直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn),可設(shè)直線l的方程為+=1,把點(diǎn)(1,2)代入可得+=1,解得a=2.∴直線l的方程為+=1,即2x+y﹣4=0.綜上可得直線l的方程為y=2x或2x+y﹣4=0.故答案為:y=2x或2x+y﹣4=0.13.【解答】解:根據(jù)題意,對(duì)于點(diǎn)P(2cosθ,sinθ),令x=2cosθ,y=sinθ,則點(diǎn)P在橢圓+y2=1上,直線x﹣my﹣3=0,即my=x﹣3,恒過(guò)定點(diǎn)(3,0),設(shè)M(3,0),d為橢圓+y2=1上任意一點(diǎn)到過(guò)定點(diǎn)M(3,0)的直線x﹣my﹣3=0的距離,則當(dāng)m=0,即直線x﹣my﹣3=0與x軸垂直,且點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2,0)時(shí),d取得最大值,其最大值為5.如圖:故答案為:5.14.【解答】解:如圖,在△OPA中,OA⊥PA,PO=2,OA=1,則PA=,∠OPA=,在△OPD中,OD⊥PD,PO=2,設(shè)∠OPD=α,α∈(﹣,),則PD=2cosα,所以=||||cos∠APD=2cosαcos()=3cos2α﹣cosαsinα=3×﹣sin2α=cos(2α+)+,因?yàn)棣痢剩ī仯?,所?α+∈(﹣,),當(dāng)2α+=0,即α=﹣時(shí),有最大值,最大值為+,當(dāng)α=時(shí),?=,的取值范圍為(,+].故答案為:(,+].四.解答題(共6小題)15.【解答】解:(1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),Q(8,0),根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M在圓x2+y2=16上運(yùn)動(dòng),它與定點(diǎn)Q(8,0)所連線段的中點(diǎn)為P,解得,由,得(2x﹣8)2+(2y)2=16,∴點(diǎn)P的軌跡方程是(x﹣4)2+y2=4.(2)當(dāng)切線在兩坐標(biāo)軸上截距均為0時(shí),設(shè)切線y=kx,由相切得,∴,所以切線方程為:,當(dāng)切線在兩坐標(biāo)軸上截距相等且不為0時(shí),設(shè)切線x+y=a(a≠0)由相切有,∴,切線方程為,綜上:切線方程為或.16.【解答】解:(1)由已知可得,則,∴橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,由橢圓的定義可得,則,∴,因此,橢圓M的方程為.(2)設(shè)直線AB的方程為y=x+m,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),聯(lián)立,可得4x2+6mx+3m2﹣3=0,Δ=36m2﹣4×4×3(m2﹣1)=48﹣12m2>0,解得﹣2<m<2,由韋達(dá)定理可得,,∴,當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí),等號(hào)成立,故|AB|的最大值為.17.【解答】證明:(1)解:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,又AB⊥AD,則以A為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),E(2,1,0),D(0,2,0),C(2,4,0),P(0,0,4),所以,所以,所以DE⊥AP,DE⊥AC,且AP∩AC=A,AP,AC?平面PAC,所以DE⊥平面PAC;(2)解:由(1)知=(2,﹣1,0)是平面PAC的一個(gè)法向量,,設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為,所以,即,令z=﹣1,則x=2,y=﹣2,所以,所以,又由圖可知二面角A﹣PC﹣D的平面角為銳角,所以二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值為;(3)解:由(1)得.設(shè),則,可得Q(2﹣2λ,4﹣4λ,4λ),所以,由(2)知是平面PCD的一個(gè)法向量.若QE⊥平面PCD,可得,則,該方程無(wú)解,所以直線QE不能與平面PCD垂直.18.【解答】(1)解:由題意可得,可得a2=4,b2=1,所以橢圓的方程為:+y2=1;(2)證明:由(1)可得A(0,1),B(0,﹣1),C(2,0),可得直線AC的方程為y=﹣x+1,即x+2y﹣2=0,設(shè)P(x0,y0),(x0≠0且x0≠±2),則+=1,可得直線BP的方程為y=x﹣1,聯(lián)立,可得,即Q(,),設(shè)R(0,t),則,即t=,即R(),則=,則直線RQ方程為,即,令x=2,則y=﹣1,則直線RQ過(guò)定點(diǎn)(2

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