江蘇省無錫市江陰市三校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)

20232024學(xué)年第二學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每題5分，計(jì)40分）1.物體運(yùn)動(dòng)的方程為，則時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A．5 B．25 C．125 D．6252.某同學(xué)逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，若決定至少買其中的兩本，則購買方案有（）A．4種 B．6種 C．7種 D．9種3．若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C．D．4．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．5.若，，，則（

）A． B． C． D．6.有4位游客來某地旅游，若每人只能從此處甲、乙、丙三個(gè)不同景錄點(diǎn)中選擇一處游覽，則每個(gè)景點(diǎn)都有人去游覽的概率為（）A． B． C． D．7．已知，則a，b，c的大關(guān)系為（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a8.若函數(shù)，在其定義域上只有一個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)a的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、多選題（本大題共3小題，每題6分，計(jì)18分）9.關(guān)于，則A． B．C．D．10.下列正確的是（

）A．由數(shù)字1，2，3，4能夠組成24個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B．由數(shù)字1，2，3，4，能夠組成16個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)C．由數(shù)字1，2，3，4能夠組成64個(gè)三位密碼D．由數(shù)字1，2，3，4能夠組成28個(gè)比320大的三位數(shù)11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)有極小值B．函數(shù)在處切線的斜率為4C．當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)實(shí)根D．若時(shí)，，則的最小值為2三、填空題（本大題共3小題，每題5分，計(jì)15分）12.計(jì)算：______.（用數(shù)字作答）13.已知隨機(jī)變量的分布列如下，則______14.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．四、解答題（本大題共5小題，計(jì)77分）15(13分)．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最值．16（15分）.已知在的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求：(1)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．17（15分）.“國家反詐中心”APP集合報(bào)案助手、舉報(bào)線索、風(fēng)險(xiǎn)查詢、詐騙預(yù)警、騙局曝光、身份核實(shí)等多種功能于一體，是名副其實(shí)的“反詐戰(zhàn)艦”.2021年該APP于各大官方應(yīng)用平臺(tái)正式上線，某地組織全體村民注冊，并組織了一場線下反電信詐騙問卷測試，隨機(jī)抽取其中100份問卷，統(tǒng)計(jì)測試得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)按照，，…，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值及這100份問卷的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；(2)若界定問卷得分低于70分的村民“防范意識(shí)差”，不低于90分的村民“防范意識(shí)強(qiáng)”．現(xiàn)從樣本的“防范意識(shí)差”和“防范意識(shí)強(qiáng)”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人開座談會(huì)，再從這7人中隨機(jī)抽取3人，記抽取的3人中“防范意識(shí)強(qiáng)”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．18（17分）.有6位同學(xué)報(bào)名參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)4個(gè)不同的項(xiàng)目（記為）的志愿者活動(dòng)，每位同學(xué)恰報(bào)1個(gè)項(xiàng)目.(1)6位同學(xué)站成一排拍照，如果甲乙兩位同學(xué)必須相鄰，丙丁兩位同學(xué)不相鄰，求不同的排隊(duì)方式有多少種？(2)若每個(gè)項(xiàng)目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報(bào)名方式？(3)若每個(gè)項(xiàng)目只招一名志愿者，且同學(xué)甲不參加項(xiàng)目，同學(xué)乙不參加項(xiàng)目，求一共有多少種不同錄用方式？19（17分）.已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(3)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．20232024學(xué)年第二學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每題5分，計(jì)40分）1.物體運(yùn)動(dòng)的方程為，則時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A．5 B．25 C．125 D．625【答案】C2.某同學(xué)逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，若決定至少買其中的兩本，則購買方案有（）A．4種 B．6種 C．7種 D．9種【答案】A3．若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C．D．答案：C4．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．答案：A5.若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C6.有4位游客來某地旅游，若每人只能從此處甲、乙、丙三個(gè)不同景錄點(diǎn)中選擇一處游覽，則每個(gè)景點(diǎn)都有人去游覽的概率為（）A． B． C． D．【答案】D7．已知，則a，b，c的大關(guān)系為（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a答案：B8.若函數(shù)，在其定義域上只有一個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)a的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C二、多選題（本大題共3小題，每題6分，計(jì)18分）9.關(guān)于，則A． B．C．D．9．解：令，則，故正確，令，則①所以，故錯(cuò)誤，令，則①②可得：③①②可得：④所以④③可得：，所以，故正確，展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，故錯(cuò)誤，故選：．10.下列正確的是（

）A．由數(shù)字1，2，3，4能夠組成24個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)B．由數(shù)字1，2，3，4，能夠組成16個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)C．由數(shù)字1，2，3，4能夠組成64個(gè)三位密碼D．由數(shù)字1，2，3，4能夠組成28個(gè)比320大的三位數(shù)【答案】ACD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)有極小值B．函數(shù)在處切線的斜率為4C．當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)實(shí)根D．若時(shí)，，則的最小值為2【答案】AD三、填空題（本大題共3小題，每題5分，計(jì)15分）12.計(jì)算：______.（用數(shù)字作答）【答案】6513.已知隨機(jī)變量的分布列如下，則______【答案】914.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】四、解答題（本大題共5小題，計(jì)77分）15(13分)．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最值．【分析】（1）利用極值定義可求得，可得解析式；（2）利用導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，比較端點(diǎn)處的值可得結(jié)論.【詳解】（1）依題意可得，1分又當(dāng)時(shí)，取得極值，所以，2分即；解得；2分所以；1分（2）由（1）可知，令，可得或，1分當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表所示：（表格列好寫完整5分）單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為.1分16（15分）.已知在的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求：(1)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【詳解】（1）的展開式的通項(xiàng)為，（，1，…，n），2分因?yàn)榍?項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，2分化簡得，解得或（舍）．2分展開式共有9項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.1分（2）由（1）知，展開式的通項(xiàng)為，（，1，…，8），設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，3分即，解得，則或，3分所以展開式的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)系數(shù)最大，即和.2分17（15分）.“國家反詐中心”APP集合報(bào)案助手、舉報(bào)線索、風(fēng)險(xiǎn)查詢、詐騙預(yù)警、騙局曝光、身份核實(shí)等多種功能于一體，是名副其實(shí)的“反詐戰(zhàn)艦”.2021年該APP于各大官方應(yīng)用平臺(tái)正式上線，某地組織全體村民注冊，并組織了一場線下反電信詐騙問卷測試，隨機(jī)抽取其中100份問卷，統(tǒng)計(jì)測試得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)按照，，…，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值及這100份問卷的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；(2)若界定問卷得分低于70分的村民“防范意識(shí)差”，不低于90分的村民“防范意識(shí)強(qiáng)”．現(xiàn)從樣本的“防范意識(shí)差”和“防范意識(shí)強(qiáng)”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人開座談會(huì)，再從這7人中隨機(jī)抽取3人，記抽取的3人中“防范意識(shí)強(qiáng)”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，，解得．2分100份問卷的平均分為（分）3分．（2）從樣本的“防范意識(shí)差”和“防范意識(shí)強(qiáng)”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人，則“防范意識(shí)差”的人數(shù)為，“防范意識(shí)強(qiáng)”的人數(shù)為．2分則的所有可能的值為0，1，2．則，，，6分故的分布列為012.2分18（17分）.有6位同學(xué)報(bào)名參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)4個(gè)不同的項(xiàng)目（記為）的志愿者活動(dòng)，每位同學(xué)恰報(bào)1個(gè)項(xiàng)目.(1)6位同學(xué)站成一排拍照，如果甲乙兩位同學(xué)必須相鄰，丙丁兩位同學(xué)不相鄰，求不同的排隊(duì)方式有多少種？(2)若每個(gè)項(xiàng)目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報(bào)名方式？(3)若每個(gè)項(xiàng)目只招一名志愿者，且同學(xué)甲不參加項(xiàng)目，同學(xué)乙不參加項(xiàng)目，求一共有多少種不同錄用方式？【詳解】（1）根據(jù)題意先把甲乙看成整體，與除了甲、乙、丙、丁之外的兩人進(jìn)行排列，再把丙丁插空進(jìn)行排列，所以共有.5分（2）先分為4組，則按人數(shù)可分為1，1，1，3和1，1，2，2兩種分組方式，共有種；再分到4個(gè)項(xiàng)目，即可得共有；6分（3）先考慮全部，則共有種排列方式，其中甲參加項(xiàng)目共有種，同學(xué)乙參加項(xiàng)目共有種；甲參加項(xiàng)目同時(shí)乙參加項(xiàng)目共有種，根據(jù)題意減去不滿足題意的情況共有種.6分19（17分）.已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(3)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【解析】（1），

定義域?yàn)?/p>

當(dāng)時(shí)，在上遞增，上遞減；1分當(dāng)時(shí)，若，在上單調(diào)遞增；1分若時(shí)，在上遞增，遞減，遞增；1分當(dāng)時(shí)，在上遞增