陜西省安康市2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題

安康市2017～2018學(xué)年第一學(xué)期高二年級期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，集合，，則下列集合為空集的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，，所以，則，故選B。2.設(shè)是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】DB、存在與不平行的情況，錯(cuò)誤；C、存在與不垂直的情況，錯(cuò)誤；D、正確。故選D。3.若滿足約束條件，則的最大值為（）A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】過時(shí)，取最大值24。故選C。4.已知命題，；，，則在命題，，和中，真命題是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】易知，命題真，命題假。命題假；命題真；命題假；命題，真；所以真命題是，故選B。5.過點(diǎn)，且與直線相切的動圓圓心的軌跡方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意，圓心到點(diǎn)與到直線的距離相等，所以軌跡方程為。故選B。6.設(shè)，，滿足不等式，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，所以，故選A。7.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，若成等比數(shù)列，則正整數(shù)（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】，所以，得，又，即，得，故選D。8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】B所以，故選B。9.執(zhí)行如圖所示程序框圖，若輸入的，則輸出的（）A.B.C.2D.【答案】C【解析】由題意，令，，所以，故選C。10.已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，且，則的面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】直線，，所以，得，所以，故選A。點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系。本題中根據(jù)題目條件，得到直線方程，聯(lián)立直線和雙曲線，求出交點(diǎn)位置，解得面積。解析幾何題型關(guān)鍵是分析解題邏輯，本題中只要得到直線，求出交點(diǎn)，就可以求出面積。11.在1和17之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)中第一個(gè)為，第個(gè)為，當(dāng)取最小值時(shí)，（）A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】由題意，，所以，當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)，有最小值。所以，得，即，故選D。點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列、基本不等式的應(yīng)用。根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得，利用基本不等式中的條件型問題，得，則時(shí)，即，即時(shí)，有最小值，解得，。12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)交拋物線于兩點(diǎn)，若，，則（）A.1B.C.D.3【答案】C【解析】設(shè)直線：，，得，所以，，得，所以，得，所以。故選C。點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系。本題中聯(lián)立直線和拋物線，得到韋達(dá)定理，由弦長公式得到方程組，解得。解析幾何問題要熟悉綜合題型的基本解題套路，利用通法解決問題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分.13.已知非零向量滿足，，則與的夾角為__________．【答案】【解析】由題意，，得，所以，所以夾角是。14.已知的內(nèi)角滿足，，則角______．【答案】【解析】由正弦定理可知，，又，所以。15.已知是橢圓上異于點(diǎn)，的一點(diǎn)，的離心率為，則直線與的斜率之積為__________．【答案】【解析】設(shè)，有，且，得，。點(diǎn)睛：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)。由離心率，得到的比例關(guān)系。本題中由題意可知，題目由點(diǎn)的位置決定，所以設(shè)，得到斜率關(guān)系，為定值。16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則的值為__________．【答案】2018【解析】，又，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，且，所以。三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知雙曲線的離心率為，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，交的兩條漸近線于兩點(diǎn)，的面積為12.（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）求拋物線的方程.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：（1）由離心率，得到，所以的漸近線方程為；（2），，所以，，解得，所以的方程為.試題解析：（1），即，，∴的漸近線方程為.（2）由已知得，代入漸近線方程得，，∴，，解得，∴的方程為.18.某高校自主招生一次面試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖均受到了不同程度的損壞，其可見部分信息如下，據(jù)此解答下列問題：（1）求參加此次高校自主招生面試的總?cè)藬?shù)，面試成績的中位數(shù)及分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)；（2）若從面試成績在內(nèi)的學(xué)生中任選兩人進(jìn)行隨機(jī)復(fù)查，求恰好有一人分?jǐn)?shù)在內(nèi)的概率.【答案】(1)，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)為4；(2).【解析】試題分析：（1）面試成績在內(nèi)的頻數(shù)為2，由，得；中位數(shù)為；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)為.（2）將內(nèi)的4人編號為，內(nèi)的2人編號為，由窮舉法可知恰好有一人分?jǐn)?shù)在內(nèi)的概率為.試題解析：（1）面試成績在內(nèi)的頻數(shù)為2，由，得.由莖葉圖可知面試成績的中位數(shù)為.由頻率分布直方圖可以看出，分?jǐn)?shù)在內(nèi)有2人，故分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)為.（2）將內(nèi)的4人編號為，內(nèi)的2人編號為，在內(nèi)任取兩人的基本事件為：，，，共15個(gè)，其中恰好有一人分?jǐn)?shù)在內(nèi)的基本事件為：，，共8個(gè)，∴恰好有一人分?jǐn)?shù)在內(nèi)的概率為.19.如圖，三棱錐中，平面，，，，是的中點(diǎn).（1）若是的中點(diǎn)，證明：平面平面；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的大小.【答案】(1)證明見解析；(2)45°.【解析】試題分析：（1）由題意，平面，所以平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，得平面的法向量為，平面的法向量為，所以，所以平面與平面所成的銳二面角為.試題解析：（1）∵平面，∴，又∵，，∴平面.∵分別是的中點(diǎn)，∴，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，∵，∴，∵，∴，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取.∵平面的一個(gè)法向量，∴，∴平面與平面所成的銳二面角為.20.已知分別為內(nèi)角的對邊，且.（1）若，求的值；（2）若，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：（1）有條件得，所以.（2）由余弦定理得，所以，面積的最大值為.試題解析：（1）由已知得，即，，顯然，∴，∵，∴，∴.（2）由余弦定理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號∴，∴面積的最大值為.21.已知數(shù)列與等差數(shù)列滿足：，且，.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【解析】試題分析：（1），，所以，得，；（2），由錯(cuò)位相減法得：.試題解析：（1）由已知得，，∴，設(shè)的公差為，則，，∴.∴，∴.（2），∴，∴，，兩式相減得，∴.22.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)三點(diǎn)均在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，證明：四邊形的面積為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）由題意，得.（2）由題意，設(shè)，，，，，，.試題解析：（1）由已知可得，，，聯(lián)立解得，，，∴