浙江省杭州市高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期杭州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無效！3．考試結(jié)束，只需上交答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)的最小正周期是A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】

的圖象是將的圖象在軸下方的部分對(duì)稱翻折上來所得，所以周期是周期的一半，即周期為.2.已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是A.若則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【詳解】試題分析：線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確.考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系．3.已知是兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A.30° B.60° C.90° D.120°【答案】B【解析】【分析】由條件結(jié)合投影向量定義可求，再根據(jù)向量夾角余弦公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，是兩個(gè)單位向量，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以向量與向量的夾角為，即.故選：B.4.設(shè)甲：“函數(shù)在單調(diào)遞增”，乙：“”，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出的范圍，即可判斷答案.【詳解】若“函數(shù)在單調(diào)遞增”，則，由得，則，解得，所以，甲是乙的充分不必要條件.故選：A5.設(shè)數(shù)列滿足．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，則（）A.110 B.120 C.288 D.306【答案】A【解析】【分析】利用分組求和法，結(jié)合已知，可得答案.【詳解】.故選：A.6.將5名志愿者分配到三個(gè)社區(qū)協(xié)助開展活動(dòng)，每個(gè)志愿者至少去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少1名，則不同的分配方法數(shù)是（）A.300 B.240 C.150 D.50【答案】C【解析】【分析】先分組，人員構(gòu)成可能為、、或、、，再將3組全排列即可得.【詳解】先將5名志愿者分成3組，若這三組的人員構(gòu)成為、、，則共有種分組方案，若這三組的人員構(gòu)成為、、，則共有種分組方案，再將這3組志愿者隨機(jī)分配到三個(gè)社區(qū)，共有種分配方案，故共有種分配方法.故選：C.7.設(shè)集合，且，函數(shù)（且），則（）A.為增函數(shù) B.為減函數(shù)C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)【答案】D【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，時(shí)，在上不是增函數(shù)，故A不正確；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，在上為增函數(shù)，B不正確；當(dāng)時(shí)，，，為偶函數(shù)，故C不正確；當(dāng)時(shí)，，，為偶函數(shù)，故D正確；故選：D.8.在中，已知．若，則（）A.無解 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】由可得，進(jìn)而得到，借助三角形內(nèi)角和與兩角和的正切公式可得，設(shè)，有，可得該方程無解，故不存在這樣的.【詳解】由，即，則，由，知，則，則，又，故，設(shè)，則，有，即，，即該方程無解，故不存在這樣三角形，即無解.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知關(guān)于的方程的兩根為和，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】求出方程的兩根，即可判斷A，利用韋達(dá)定理判斷B，計(jì)算出兩根的模，即可判斷C，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算及B項(xiàng)的結(jié)論化簡(jiǎn)，即可判斷D.【詳解】關(guān)于方程，則，，不妨設(shè)，，，故A正確；由韋達(dá)定理可得，故B正確；，故C正確；，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)均滿足，則（）A. B.C. D.函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)【答案】ACD【解析】【分析】令等價(jià)于，則，可推導(dǎo)出，進(jìn)而可判斷A，利用賦值法可判斷B,C；先算出滿足的值，由此可得，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，令等價(jià)于，則，所以，故A正確；對(duì)于B，令，則，令，則，解得：，令，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由知，，所以，故C正確；對(duì)于D，令，所以，解得：，令，則，所以，因?yàn)?，，所以函?shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故D正確.故選：ACD.11.過點(diǎn)的直線與拋物線C：交于兩點(diǎn)．拋物線在點(diǎn)處的切線與直線交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，則（）A.直線與拋物線C有2個(gè)公共點(diǎn)B.直線恒過定點(diǎn)C.點(diǎn)的軌跡方程是D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)出直線的方程為，代入，然后寫出切線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷AB；根據(jù)B可得的軌跡方程，從而判斷C；利用弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式表示出，然后利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出最值進(jìn)而判斷D.【詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，則，對(duì)于A：拋物線在點(diǎn)處的切線為，當(dāng)時(shí)得，即，所以直線的方程為，整理得，聯(lián)立，消去的，解得，即直線與拋物線C相切，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：直線的方程為，整理得，此時(shí)直線恒過定點(diǎn)，B正確；對(duì)于C：又選項(xiàng)B可得點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，點(diǎn)除外，故點(diǎn)的軌跡方程是，C正確；對(duì)于D：，則，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與拋物線聯(lián)立問題第一步：設(shè)直線方程：有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，都可由點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程．第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程．第三步：求解判別式Δ：計(jì)算一元二次方程根的判別式Δ＞0.第四步：寫出根之間的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系可寫出．第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中的結(jié)論．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.寫出與圓相切且方向向量為的一條直線的方程______．【答案】或（寫出一個(gè)即可）【解析】【分析】由條件可設(shè)直線方程為，結(jié)合條件列方程求即可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)榍芯€的方向向量為，所以切線的斜率為，故可設(shè)切線方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，又圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，所以或，所以與圓相切且方向向量為的直線為或，故答案為：或（寫出一個(gè)即可）.13.函數(shù)的最大值為______．【答案】【解析】【分析】借助換元法令，可得，借助導(dǎo)數(shù)求取函數(shù)的單調(diào)性后，即可得解.【詳解】令，則，故，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，故，即函數(shù)的最大值為.故答案：.14.機(jī)場(chǎng)為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長(zhǎng)為，開口直徑為．旅客使用紙杯喝水時(shí)，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點(diǎn)時(shí)，橢圓的離心率等于______．【答案】##【解析】【分析】依題意，利用等腰三角形求得,再由余弦定理求出橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，作出圓錐的軸截面交橢圓于點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，利用三角形重心性質(zhì)和相似三角形求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得半短軸長(zhǎng)，利用離心率定義計(jì)算即得.【詳解】如圖，設(shè),因,故，又,由余弦定理，，即,設(shè)橢圓中心為,作圓錐的軸截面,與底面直徑交于，與橢圓交于，連交于，以點(diǎn)原點(diǎn)，為軸，建立直角坐標(biāo)系.則,又由得,從而則得,不妨設(shè)橢圓方程為，把和點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，解得，則，故故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，令，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意可得，解方程求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，由累乘法可求出的通項(xiàng)公式，再由裂項(xiàng)相消法求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為．由，得，解得：，所以．【小問2詳解】由（1）知，，即，，，……，，利用累乘法可得：，所以．16.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）答案見解析；（2）（?。?；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、、三種情況，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（?。┯桑?）直接解得；（ⅱ）結(jié)合函數(shù)的最值與零點(diǎn)存在性定理證明即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，即，解得，，因?yàn)?，所以，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上可得：當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】（?。┯桑?）可知．（ⅱ）由（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，又，所以，則，又，又，所以在上沒有零點(diǎn)，又，則，則，，則，所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，綜上可得函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．17.如圖，在多面體中，底面是平行四邊形，為的中點(diǎn)，．（1）證明：；（2）若多面體的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理求解，即可求證，進(jìn)而根據(jù)線線垂直可證明線面垂直，即可得線線垂直，（2）根據(jù)體積公式，結(jié)合棱柱與棱錐的體積關(guān)系，結(jié)合等體積法可得，即可建立空間直角坐標(biāo)系，求解法向量求解.【小問1詳解】在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以．又因?yàn)椋矫?所以平面,平面．所以．由于,所以四邊形為平行四邊形，所以．又，所以，所以．【小問2詳解】因?yàn)?，所以，又，平?所以平面．取中點(diǎn)，連接，設(shè)．設(shè)多面體的體積為，則．解得．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．則平面的一個(gè)法向量．所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即?。裕云矫媾c平面夾角的余弦值為．18.已知是橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo).（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)（與不重合），連接，交于點(diǎn).（?。┳C明：點(diǎn)在定直線上；（ⅱ）是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）存在，【解析】【分析】（1）設(shè)，利用兩點(diǎn)距離距離得，然后根據(jù)分類討論求解即可；（2）（?。┰O(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得，寫出直線，的方程，進(jìn)而求解即可；（ⅱ）由題意點(diǎn)在以為直徑的圓上，代入圓的方程求得，寫出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案.【小問1詳解】設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，則，因?yàn)?，①若，解得（舍去），②若，解得（舍去）或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)位.【小問2詳解】（ⅰ）設(shè)直線，由，得，所以，所以，①由，得或，易知直線的方程為，②直線的方程為，③聯(lián)立②③，消去，得，④聯(lián)立①④，消去，則，解得，即點(diǎn)在直線上；（ⅱ）由圖可知，，即，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)，則，所以，即.故直線的方程為，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得，解得,所以，所以,故.19.在概率統(tǒng)計(jì)中，常常用頻率估計(jì)概率．已知袋中有若干個(gè)紅球和白球，有放回地隨機(jī)摸球次，紅球出現(xiàn)次．假設(shè)每次摸出紅球的概率為，根據(jù)頻率估計(jì)概率的思想，則每次摸出紅球的概率的估計(jì)值為．（1）若袋中這兩種顏色球的個(gè)數(shù)之比為，不知道哪種顏色的球多．有放回地隨機(jī)摸取3個(gè)球，設(shè)摸出的球?yàn)榧t球的次數(shù)為，則．注：表示當(dāng)每次摸出紅球的概率為時(shí)，摸出紅球次數(shù)為的概率）（ⅰ）完成下表；0123（ⅱ）在統(tǒng)計(jì)理論中，把使得的取值達(dá)到最大時(shí)的，作為的估計(jì)值，記為，請(qǐng)寫出的值．（2）把（1）中“使得的取值達(dá)到最大時(shí)的作為的估計(jì)值”的思想稱為最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計(jì)方法稱為最大似然估計(jì)．具體步驟：先對(duì)參數(shù)構(gòu)建對(duì)數(shù)似然函數(shù)，再對(duì)其關(guān)于參數(shù)求導(dǎo)，得到似然方程，最后求解參數(shù)的估計(jì)值．已知的參數(shù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為，其中．求參數(shù)的估計(jì)值，并且說明頻率估計(jì)概率的合理性．【答案】（1）（?。┍砀褚娊馕觯唬áⅲ?；（2），答案見解析【解析】【分析】（1）（?。┓峙c計(jì)算即可得；（