高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練47利用空間向量研究直線平面的位置關(guān)系

四十七利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系(時(shí)間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2,1,2),α的一個(gè)法向量為n=(3,1,2),則下列點(diǎn)P中,在平面α內(nèi)的是 ()A.(1,1,1) B.1C.1,-3,32【解析】選B.由題意可知符合條件的點(diǎn)P應(yīng)滿足PA·n=0,選項(xiàng)A,PA=(2,1,2)(1,1,1)=(1,0,1),PA·n=3×1+1×0+2×1=5≠0,故不在平面α內(nèi);同理可得:選項(xiàng)B,PA=(1,4,12),PA·n=0,故在平面α內(nèi)選項(xiàng)C,PA=(1,2,12),PA·n=6≠0,故不在平面α內(nèi)選項(xiàng)D,PA=(3,4,72),PA·n=12≠0,故不在平面α內(nèi)2.(5分)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,E為BB1的中點(diǎn),F為A1D1的中點(diǎn),則下列向量中,能作為平面AEF的法向量的是 ()A.(1,2,4) B.(4,1,2)C.(2,2,1) D.(1,2,2)【解析】選B.設(shè)AB=2,則A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),AE=(0,2,1),AF=(1,0,2),設(shè)平面AEF的法向量n=(x,y,z),則n·取y=1,得n=(4,1,2).3.(5分)已知向量m=(2,4x,1)是平面α的法向量,n=(6,12,3y)是直線l的方向向量,若l⊥α,則x+y= ()A.4 B.4 C.2 D.2【解析】選C.因?yàn)閚是直線l的方向向量,m是平面α的法向量,l⊥α,所以m∥n,所以26=-4x12=1-3y,所以x+y=2.4.(5分)如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=2a3,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是 (A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定【解析】選B.分別以C1B1,C1D1,C1C所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锳1M=AN=2a3,A1B=AC=2所以M(a,23a,a3),N(23a,23a所以MN=(a3,0,23a又因?yàn)镃1(0,0,0),D1(0,a,0),所以C1D1=(0,a,0),所以MN所以MN⊥C1D1.因?yàn)镃1D1是平面BB1C1C的一個(gè)法向量,且MN?平面BB1C1C,所以MN∥5.(5分)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則 ()A.BD1⊥平面B1EFB.BD⊥平面B1EFC.A1C1∥平面B1EFD.A1D∥平面B1EF【解析】選C.以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則B12,2,2F1,2,0,B2,2,0,A12,0,2,C1(0,2,2),D(0,0,0),D1(0,0,2).EF=-1,1,0,EB設(shè)平面B1EF的法向量為m=x,y,z,則m·EF=因?yàn)锽D1與m不平行,所以BD1與平面B1EF不垂直,A因?yàn)镈B與m不平行,所以BD與平面B1EF不垂直,B錯(cuò)誤;因?yàn)锳1C1·m=0,且直線A1C1在平面B1EF外,所以A1C1∥平面B1EF因?yàn)镈A1·m=2≠0,所以A1D與平面B1EF不平行,D6.(5分)(多選題)如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E為BB1的中點(diǎn),F為A1D1的中點(diǎn),如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,則下列說(shuō)法正確的有 ()A.DB1=32B.向量AE與AC1C.平面AEF的一個(gè)法向量是(4,1,2)D.A1D⊥BD1【解析】選BCD.根據(jù)空間直角坐標(biāo)系Dxyz,可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),由于E為BB1的中點(diǎn),F為A1D1的中點(diǎn),所以E(2,2,1),F(1,0,2),故DB1=|DB1|=22+22+對(duì)于B,因?yàn)锳E=(0,2,1),AC1所以|AE|=5,|AC1|=2故cos<AE,AC1>=AE·AC1|AE||對(duì)于C,設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),因?yàn)锳E=(0,2,1),AF=(1,0,2),所以n·AE=0

n·AF=0,整理得y=-12zx=2z,令對(duì)于D,由于A1D=(2,0,2),BD故A1D·BD1=0,故A1D⊥BD1,【加練備選】(多選題)以下命題正確的是 ()A.直線l的方向向量為a=(1,1,2),直線m的方向向量b=(1,2,1),則l⊥mB.直線l的方向向量a=(0,1,1),平面α的法向量n=(1,1,1),則l⊥αC.兩個(gè)不同平面α,β的法向量分別為n1=(2,1,0),n2=(4,2,0),則α∥βD.平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(1,0,1),B(0,1,0),C(1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,則u+t=1【解析】選CD.直線l的方向向量a=(1,1,2),直線m的方向向量b=(1,2,1),a·b=(1,1,2)·(1,2,1)=1,則l與m不垂直,所以A不正確;直線l的方向向量a=(0,1,1),平面α的法向量n=(1,1,1),a·n=(0,1,1)·(1,1,1)=0,則l∥α或l?α,所以B不正確;兩個(gè)不同平面α,β的法向量分別為n1=(2,1,0),n2=(4,2,0),n1=12n2=(2,1,0),則α∥β,所以C正確平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(1,0,1),B(0,1,0),C(1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,可得n·AB=-1+u+t=0n7.(5分)已知AB=(1,5,2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x1,y,3),且BP⊥平面ABC,則x+y+z=________.

【解析】因?yàn)锳B⊥BC,所以AB·BC=3+52z=0,所以z=4,所以BC=(3,1,4),又因?yàn)锽P⊥平面ABC,AB,BC?平面ABC,所以BP⊥AB,BP⊥BC,所以BP·解得x=因此x+y+z=537答案:538.(5分)如圖,在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.寫出平面MD1B的一個(gè)法向量為_(kāi)_______.

【解析】根據(jù)題意,在坐標(biāo)系中,A(3,0,0),C(0,3,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),C1(0,3,3),由于點(diǎn)M在棱C1C上,且CM=2MC1,因此M(0,3,2),則D1B=(3,3,3),D設(shè)平面MD1B的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則有D1令y=1可得,x=2,z=3,則n=(2,1,3),故平面MD1B的一個(gè)法向量為(2,1,3).答案:(2,1,3)(答案不唯一)9.(10分)如圖,四棱錐PABCD的底面為正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分別是線段PA,PD,AB的中點(diǎn).求證:(1)PB∥平面EFH;【證明】(1)因?yàn)镋,H分別是線段AP,AB的中點(diǎn),所以PB∥EH.因?yàn)镻B?平面EFH,且EH?平面EFH,所以PB∥平面EFH.9.(10分)如圖,四棱錐PABCD的底面為正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分別是線段PA,PD,AB的中點(diǎn).求證:(2)PD⊥平面AHF.【證明】(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(0,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),H(1,0,0).PD=(0,2,2),AH=(1,0,0),AF=(0,1,1),因?yàn)镻D·AF=0×0+2×1+(2)×1=0,PD·AH=0×1+2×0+(2)×0=0.所以PD⊥AF,PD⊥AH,所以PD⊥AF,PD⊥AH.因?yàn)锳H∩AF=A,且AH,AF?平面AHF,所以PD⊥平面AHF.【能力提升練】10.(5分)如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB=3AD=3AA1=3,點(diǎn)P為線段A1C上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論不正確的是 ()A.當(dāng)A1C=2A1P時(shí),B1,B.當(dāng)AP⊥A1C時(shí),APC.當(dāng)A1C=3A1P時(shí),D1PD.當(dāng)A1C=5A1P時(shí),A1C⊥【解析】選B.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(1,0,1),C(0,3,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),B1(1,3,1),D(0,0,0),B(1,3,0),C1(0,3,1),當(dāng)A1C=2A1P時(shí),A1P=(DP=DA1+A1P=(12而DB1=(1,所以DP=12所以B1,P,D三點(diǎn)共線,A正確,不符合題意;設(shè)A1P=λA1C,A1則AP=AA1+A1P=AA1+λA1C=(當(dāng)AP⊥A1C時(shí),有AP·A1所以λ=15,所以AP=(15,35,45),D1P=D1A1所以AP·D1P=(15,35,45)·(4=15所以AP與D1P不垂直,B不正確,當(dāng)A1C=3A1P時(shí),A1P=(D1P=A1PA1D1又DB=(1,3,0),DC1=(0,所以D1P=2所以D1P,DB,D又D1P?平面BDC1,所以D1P∥平面BDC1,C正確,不符合題意;當(dāng)A1C=5A1P時(shí),A1P=(從而AP=(15,35,又AD1·A1C=(1,0,1)·(1,3,1)=0,所以A1CAP·A1C=(15,35,45所以A1C⊥AP,因?yàn)锳D1∩AP=A,AD1,AP?平面D1AP,所以A1C⊥平面D1AP,D正確,不符合題意.11.(5分)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點(diǎn),N是A1B1的中點(diǎn),則直線ON,AM所成的角為_(kāi)_______.

【解析】以A為原點(diǎn),分別以AB,AD,AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A(0,0,0),M(0,1,12),O(12,12,0),AM·ON=0,1,所以O(shè)N與AM所成的角為90°.答案:90°12.(5分)在正三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面邊長(zhǎng)為1,M為BC的中點(diǎn),C1N=λNC,且AB1⊥MN,則λ的值為【解析】如圖所示,取B1C1的中點(diǎn)P,連接MP,以MC,MA,MP的方向?yàn)閤,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則A(0,32,0),B1(12,0,2),C(C1(12,0,2),M設(shè)N(12,0,t),因?yàn)镃1N=所以N(12,0,2所以AB1=(12,32,2),MN=(1又因?yàn)锳B1⊥MN,所以AB1·所以14+41+λ=0,解得答案:1513.(5分)如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是棱D1D上一點(diǎn),N是A1B1的中點(diǎn),則當(dāng)DMDD1=________時(shí),ON【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB,AD,AA1的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系(設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A(0,0,0),O(12,12,0),N(1設(shè)M(0,1,a)(0≤a≤1),則AM·ON=(0,1,a)·(0,12,1)=12+解得a=12.故當(dāng)DMDD1=12時(shí),答案:114.(10分)(2024·常州模擬)如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1.(1)求證:AB⊥PD;【解析】(1)取AB的中點(diǎn)為O,連接DO,PO,因?yàn)镻A=PB,所以PO⊥AB,又因?yàn)榈酌鍭BCD為直角梯形,且AB⊥BC,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,所以四邊形OBCD為正方形,則DO⊥AB,又因?yàn)镈O∩PO=O,且DO,PO?平面POD,所以AB⊥平面POD,又PD?平面POD,所以AB⊥PD;14.(10分)(2024·常州模擬)如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1.(2)求直線PC與平面ABP所成角的余弦值;【解析】(2)PO⊥AB且PO?平面PAB,又因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PO⊥平面ABCD,則PO⊥DO,由OA,OD,OP兩兩垂直,以O(shè)D,OA,OP所在直線分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,因?yàn)椤鱌AB為等腰直角三角形,且AB=2,BC=CD=1,所以O(shè)A=OB=OD=OP=1,則O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),即PC=(1,1,1),平面PAB的一個(gè)法向量為OD=(1,0,0),設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為θ,則sinθ=|cos<PC,OD>|=|PC·OD||PC|·|OD|=33,即cosθ=114.(10分)(2024·常州模擬)如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD