12空間向量基本定理（四大題型）（講義）

1．2空間向量基本定理目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 3題型一：基底的判斷 3題型二：基底的運(yùn)用 6題型三：正交分解 10題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題 13

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)01：空間向量基本定理及樣關(guān)概念的理解空間向量基本定理：如果空間中的三個(gè)向量，，不共面，那么對空間中的任意一個(gè)向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得.其中，空間中不共面的三個(gè)向量，，組成的集合{，，}，常稱為空間向量的一組基底.此時(shí)，，，都稱為基向量；如果，則稱為在基底{，，}下的分解式.知識點(diǎn)2：空間向量的正交分解單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用表示.正交分解：把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.知識點(diǎn)3：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立【典型例題】題型一：基底的判斷【典例11】（2024·高一·陜西西安·階段練習(xí)）已知為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，設(shè)，則，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)，則，無解，則不共面，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故B正確；對于C，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤；故選：B【典例12】（2024·高三·江蘇南通·開學(xué)考試）若和都為基底，則不可以為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若不是一組基底，則可設(shè)，對于A，若，則，方程組無解，為基底，A錯(cuò)誤；對于B，若，則，方程組無解，為基底，B錯(cuò)誤；對于C，若，則，解得：，不是一組基底，C正確；對于D，若，則，方程組無解，為基底，D錯(cuò)誤.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】空間向量基底．不共面的三個(gè)向量構(gòu)成空間向量的基底．【變式11】（2024·高二·天津南開·期中）已知向量，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)m的值為（

）．A． B．0 C．5 D．【答案】C【解析】因?yàn)椴荒軜?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以共面，故存在使得，即，故，解得.故選：C【變式12】（2024·高二·江蘇無錫·階段練習(xí)）若，，構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A,假設(shè)共面,則可設(shè)方程組無解,不共面,可以作為空間一組基底,A正確;對于B,共面,不能作為空間一組基底,B錯(cuò)誤;對于共面,不能作為空間一組基底,C錯(cuò)誤;對于共面,不能作為空間一組基底,D錯(cuò)誤.故選：A【變式13】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)向量，，不共面，則下列向量組可作為空間的一組基的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A選項(xiàng)，由于與任意兩個(gè)向量共面，不能作為基底；B選項(xiàng)，，故三個(gè)向量共面，不能作為基底；C選項(xiàng)，設(shè)，向量，，不共面，上式顯然不成立，即與不共面，符合題意；D選項(xiàng)，，故三個(gè)向量共面，不能作為基底；故選：C.【變式14】（2024·高二·重慶·期末）正方體中的有向線段，不能作為空間中的基底的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】A選項(xiàng)，共面，不能作為空間中的一組基底，A正確；B選項(xiàng)，不共面，能作為空間中的一組基底，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，不共面，能作為空間中的一組基底，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，，設(shè)，即，，無解，故不共面，能作為空間中的一組基底，D錯(cuò)誤.故選：A題型二：基底的運(yùn)用【典例21】（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為中點(diǎn)，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】.故選：B.【典例22】（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）在四面體中，，，，為的重心，在上，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】延長交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，，所以，故選：C.【方法技巧與總結(jié)】1、空間中，任一向量都可以用一組基底表示，且只要基底確定，則表示形式是唯一的．2、用基底表示空間向量時(shí)，一般要結(jié)合圖形，運(yùn)用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算法則，逐步向基向量過渡，直至全部用基向量表示．3、在空間幾何體中選擇基底時(shí)，通常選取公共起點(diǎn)最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底，例如，在正方體、長方體、平行六面體、四面體中，一般選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所對應(yīng)的向量作為基底．【變式21】（2024·高二·山東濰坊·開學(xué)考試）如圖所示，在四面體A－BCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接AE，如圖所示，∵E是CD的中點(diǎn)，，，∴＝＝．在△ABE中，，又，∴.故選：A.【變式22】（2024·高二·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，三棱柱中，G為棱AD的中點(diǎn)，若，，，則（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，則．故選：A．【變式23】（2024·高二·河南鄭州·期中）空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，連結(jié)，因，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，于是，.故選：B.【變式24】（2024·高二·湖北·階段練習(xí)）在平行六面體中，設(shè)，，，，分別是，的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，，所以.故選：C題型三：正交分解【典例31】（2024·高二·河南洛陽·階段練習(xí)）已知是空間的一個(gè)單位正交基底，向量，是空間的另一個(gè)基底，向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，所以，解得，所以向量在基底下的坐標(biāo)為.故選：A.【典例32】（2024·高二·山東煙臺·階段練習(xí)）設(shè)是單位正交基底，已知，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄吭诨紫碌淖鴺?biāo)為，所以，所以向量在基底下的坐標(biāo)為.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】正交基底的三個(gè)向量共起點(diǎn)【變式31】（2024·高二·河北保定·期中）定義：設(shè)是空間的一個(gè)基底，若向量，則稱實(shí)數(shù)組為向量在基底下的坐標(biāo).已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個(gè)基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的模長為（

）A．3 B． C．9 D．6【答案】A【解析】由題意得向量在基底下的坐標(biāo)為：，則，所以向量在下的坐標(biāo)為：，所以模長為，故A項(xiàng)正確.故選：A.【變式32】（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）向量是空間的一個(gè)單位正交基底，向量在基底，，下的坐標(biāo)為，則在基底的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)；由題意可知，，解得；在基底下的坐標(biāo)為．故選：A．【變式33】（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）已知是空間的一組單位正交基底，若向量在基底下用有序?qū)崝?shù)組表示為，則與向量同向的單位向量在基底下用有序?qū)崝?shù)組表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄吭诨紫掠糜行驅(qū)崝?shù)組表示為，所以與向量同向的單位向量的有序?qū)崝?shù)組表示為，設(shè)與向量同向的單位向量在基底下有序?qū)崝?shù)組表示為，所以，又因?yàn)椋?，解得，則與向量同向的單位向量在基底下用有序?qū)崝?shù)組表示為.故選：C.【變式34】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,AD1的中點(diǎn)為M，B1D1的中點(diǎn)為N，若以{}為單位正交基底,則的坐標(biāo)為()A． B．C． D．【答案】C【解析】由，故.故選：C題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題【典例41】（2024·高二·江蘇宿遷·期中）如圖所示，在空間四邊形中，與成角，與成角，與成角，且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，試求，間的距離．

【解析】以，，為基底，則，.又，所以，所以，即，間的距離為3.【典例42】（2024·高二·上海·課后作業(yè)）四棱柱的六個(gè)面都是平行四邊形，點(diǎn)在對角線上，且，點(diǎn)在對角線上，且．(1)設(shè)向量，，，用、、表示向量、；(2)求證：、、三點(diǎn)共線．【解析】（1）因?yàn)?，則，所以，又因?yàn)椋瑒t，所以；（2）因?yàn)?，且，所以，即、、三點(diǎn)共線．【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行，可求兩條異面直線所成的角等．首先根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，選擇一個(gè)基底，把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示．（1）若證明線線垂直，只需證明兩向量數(shù)量積為0；（2）若證明線線平行，只需證明兩向量共線；（3）若要求異面直線所成的角，則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角（或其補(bǔ)角）．【變式41】（2024·高二·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖所示，平行六面體中，．(1)用向量表示向量，并求；(2)求．【解析】（1），則，所以.（2）由空間向量的運(yùn)算法則，可得，因?yàn)榍?，所以，，則.【變式42】（2024·高二·安徽·期中）已知正三棱錐如圖所示，其中，，點(diǎn)D在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)E，點(diǎn)F為線段上靠近B的三等分點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)求的值．【解析】（1），又，∴，，；（2）由余弦定理得，易知；故，∴．【變式43】（2024·高二·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且.

(1)求證：共面；(2)當(dāng)為何值時(shí)，；(3)若，且，求的長.【解析】（1）在平行六面體中，連接，因?yàn)椋?，，所以，即且，所以四邊形為平行四邊形，即共?（2）當(dāng)時(shí)，，理由如下，設(shè)，且與、與、與的夾角均為，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以，，?/p>

若，則，即，即，解得或舍去，所以時(shí)，（3），，，所以，所以的長為【變式44】（2024·高二·重慶九龍坡·階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面為平行四邊形，平面與直線、、分別交于點(diǎn)、、，且滿足.點(diǎn)在直線上，為棱的中點(diǎn)，且直線平面.(1)設(shè)，，，試用基底表示向量；(2)若點(diǎn)的軌跡長度與棱長的比值為，試討論是否為定值，若為定值，請求出，若不為定值，請說明理由.【解析】（1）因?yàn)樗睦忮F的底面為平行四邊形，所以，故；（2）由（1）知，，又，所以，則，，，設(shè)，又，則，因?yàn)槠矫妫瑒t存在實(shí)