小學(xué)數(shù)學(xué)5年級培優(yōu)奧數(shù)講義-第11講-盈虧問題(含解析)-

第11講盈虧問題學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) 了解盈虧問題是什么，能夠分辨出是屬于盈虧問題類型掌握盈虧問題的幾種基本情況，以及基本的解題方法熟悉復(fù)雜的盈虧問題，能用方法巧妙轉(zhuǎn)化為基本盈虧問題知識梳理知識梳理一、基本方法盈虧問題知識點說明：盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現(xiàn)兩種不同的情況．分配不足時，稱之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；還有些實際問題，是把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人時，如果每人少分，則物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，則物品就不足(也就是虧)，凡研究這一類算法的應(yīng)用題叫做“盈虧問題”?？梢缘贸鲇潌栴}的基本關(guān)系式：(盈+虧)÷兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)(盈－盈)÷兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)(虧－虧)÷兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)物品數(shù)可由其中一種分法和人數(shù)求出.也有的問題兩次都有余或兩次都不足，不管哪種情況，都是屬于按兩個數(shù)的差求未知數(shù)的“盈虧問題”。二、方法技巧注意1.條件轉(zhuǎn)換2.關(guān)系互換典例分析典例分析考點一：直接計算型盈虧問題例1、三年級一班少先隊員參加學(xué)校搬磚勞動．如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5塊，則少2塊磚．這個班少先隊有幾個人？要搬的磚共有多少塊？例2、明明過生日，同學(xué)們?nèi)ソo他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少個同學(xué)去買蛋糕？這個蛋糕的價錢是多少？例3、老猴子給小猴子分桃，每只小猴分10個桃，就多出9個桃，每只小猴分11個桃則多出2個桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個桃子？例4、猴王帶領(lǐng)一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王開始分配．若大猴分5個，小猴分3個，猴王可留10個．若大、小猴都分4個，猴王能留下20個．在這群猴子中，大猴(不包括猴王)比小猴多少只？考點二：條件關(guān)系轉(zhuǎn)換型盈虧問題例1、一位老師給學(xué)生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，問：有多少位學(xué)生？共多少粒糖果？例2、貓媽媽給小貓分魚，每只小貓分10條魚，就多出8條魚，每只小貓分11條魚則正好分完，那么一共有多少只小貓？貓媽媽一共有多少條魚？例3、實驗小學(xué)學(xué)生乘車去春游，如果每輛車坐60人，則有15人上不了車；如果每輛車多坐5人，恰好多出一輛車.問一共有幾輛車，多少個學(xué)生？考點三：復(fù)雜的盈虧問題例1、國慶節(jié)快到了，學(xué)校的少先隊員去擺花盆．如果每人擺5盆花，還有3盆沒人擺；如果其中2人各擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完．問有多少少先隊員參加擺花盆活動，一共擺多少花盆？例2、媽媽買來一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個，其余人每人分2個，則多出4個；如果其中一人分6個，其余人每人分4個，則缺少12個，媽媽買來橘子多少個?全家共有多少人?例3、堂采購員小李到集貿(mào)市場去買肉，如果買牛肉18千克，則差4元；如果買豬肉20千克，則多2元.已知牛肉、豬肉每千克差價8角.問牛肉、豬肉各多少錢一千克？例4、四⑵班舉行“六一”聯(lián)歡晚會，輔導(dǎo)員老師帶著一筆錢去買糖果．如果買芒果13千克，還差4元；如果買奶糖15千克，則還剩2元．已知每千克芒果比奶糖貴2元，那么，輔導(dǎo)員老師帶了多少元錢？實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練課堂狙擊1、有一批練習(xí)本發(fā)給學(xué)生，如果每人5本，則多70本，如果每人7本，則多10本，那么這個班有多少學(xué)生，多少練習(xí)本呢？2、王老師去琴行買兒童小提琴，若買7把，則所帶的錢差110元；若買5把，則所帶的錢還多30元，問兒童小提琴多少錢一把？王老師一共帶了多少錢？3、工人運青瓷花瓶250個，規(guī)定完整運到目的地一個給運費20元，損壞一個倒賠100元．運完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個？4、幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果全部分給大班的小朋友，每人分5個，則余下10個。如全部分給小班的小朋友，每人分到8個，則缺2個。已知大班比小班多3人，問：這筐蘋果共有多少個？5、有一些糖，每人分5塊則多10塊，如果現(xiàn)有人數(shù)增加到原有人數(shù)的1.5倍，那么每人4塊就少兩塊，這些糖共有多少塊？6、臥龍自然保護區(qū)管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分5個還多余10棵竹子，如果大熊貓數(shù)增加到3倍還少5只，那么每只大熊貓分2棵竹子還缺少8棵竹子，問有大熊貓多少只，竹子多少棵？7、小明媽媽帶著一筆錢去買肉，若買10千克牛肉則還差6元，若買12千克豬肉則還剩4元．已知每千克牛肉比豬肉貴3元，問：小明媽媽帶了多少錢？8、小強由家里到學(xué)校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘走60米，就可以比上課時間提前2分鐘到校。小強家到學(xué)校的路程是多少米？課后反擊1、某校安排學(xué)生宿舍，如果每間住5人則有14人沒有床位；如果每間住7人，則多出4個床位，問宿舍幾間?住宿生幾人?2、秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4個，要多出48個蘿卜；如果每天吃6個，則又少8個蘿卜．那么小白兔買回的蘿卜有多少個？計劃吃多少天？3、甲、乙兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信紙，甲每封信用2張信紙，乙每封信用3張信紙，一段時間后，甲用完了所有的信封還剩下20張信紙，乙用完所有信紙還剩下10個信封，則他們每人各買了多少張信紙？4、王老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果數(shù)是桔子數(shù)的2倍.桔子每人分3個，多4個；蘋果每人分7個，少5個.問有多少個小朋友？多少個蘋果和桔子？5、李明的媽媽去超市買洗衣粉，雕牌和碧浪的單價分別為8元和10元，李媽媽帶的錢買雕牌洗衣粉比買碧浪洗衣粉可多買3袋，并且沒有剩余的錢．問：李媽媽帶了多少錢？6、王老師由家里到學(xué)校，如果每分鐘騎車500米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘騎車600米，就可以比上課時間提前2分鐘到校.王老師家到學(xué)校的路程是多少米？重點回顧重點回顧盈虧問題知識點說明：盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現(xiàn)兩種不同的情況．分配不足時，稱之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；還有些實際問題，是把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人時，如果每人少分，則物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，則物品就不足(也就是虧)，凡研究這一類算法的應(yīng)用題叫做“盈虧問題”。名師點撥名師點撥1.條件轉(zhuǎn)換2.關(guān)系互換這兩種典型例題的常見類型以及復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為基本盈虧問題。學(xué)霸經(jīng)驗學(xué)霸經(jīng)驗本節(jié)課我學(xué)到我需要努力的地方是

第11講盈虧問題教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 了解盈虧問題是什么，能夠分辨出是屬于盈虧問題類型掌握盈虧問題的幾種基本情況，以及基本的解題方法熟悉復(fù)雜的盈虧問題，能用方法巧妙轉(zhuǎn)化為基本盈虧問題知識梳理知識梳理一、基本方法盈虧問題知識點說明：盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現(xiàn)兩種不同的情況．分配不足時，稱之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；還有些實際問題，是把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人時，如果每人少分，則物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，則物品就不足(也就是虧)，凡研究這一類算法的應(yīng)用題叫做“盈虧問題”。可以得出盈虧問題的基本關(guān)系式：(盈+虧)÷兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)(盈－盈)÷兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)(虧－虧)÷兩次分得之差=人數(shù)或單位數(shù)物品數(shù)可由其中一種分法和人數(shù)求出.也有的問題兩次都有余或兩次都不足，不管哪種情況，都是屬于按兩個數(shù)的差求未知數(shù)的“盈虧問題”。二、方法技巧注意1.條件轉(zhuǎn)換2.關(guān)系互換典例分析典例分析考點一：直接計算型盈虧問題例1、三年級一班少先隊員參加學(xué)校搬磚勞動．如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5塊，則少2塊磚．這個班少先隊有幾個人？要搬的磚共有多少塊？【解析】比較兩種搬磚法中各個量之間的關(guān)系：每人搬4塊，還剩7塊磚；每人搬5塊，就少2塊．這兩次搬磚，每人相差5-4=1(塊)。第一種余7塊，第二種少2塊，那么第二次與第一次總共相差磚數(shù)：7+2=9(塊)，每人相差1塊，結(jié)果總數(shù)就相差9塊，所以有少先隊員9÷1=9(人)．共有磚：4×9+7=43(塊)例2、明明過生日，同學(xué)們?nèi)ソo他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少個同學(xué)去買蛋糕？這個蛋糕的價錢是多少？【解析】“多8元”與“多4元”兩者相差8-4=4(元)，每個人要多出8-7=1(元)，因此就知道，共有4÷1=4(人)，蛋糕價錢是8×4-8=24(元)例3、老猴子給小猴子分桃，每只小猴分10個桃，就多出9個桃，每只小猴分11個桃則多出2個桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個桃子？【解析】老猴子的第一種方案盈9個桃子，第二種方案盈2個，所以盈虧總和是9-2=7(個)，兩次分配之差是11-10=1(個)，由盈虧問題公式得，有小猴子：7÷1=7=(只)，老猴子有7×10+9=79(個)桃子例4、猴王帶領(lǐng)一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王開始分配．若大猴分5個，小猴分3個，猴王可留10個．若大、小猴都分4個，猴王能留下20個．在這群猴子中，大猴(不包括猴王)比小猴多少只？【解析】當(dāng)大猴分5個，小猴分3個時，猴王可留10個．若大、小猴都分4個，猴王能留下20個．也就是盈虧問題說在大猴分5個，小猴分3個后，每只大猴都拿出1個，分給每只小猴1個后，還剩下20-10=10個，所以大猴比小猴多10只考點二：條件關(guān)系轉(zhuǎn)換型盈虧問題例1、一位老師給學(xué)生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，問：有多少位學(xué)生？共多少粒糖果？【解析】第一種分配方案盈9粒糖，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是9粒，兩次分配之差是5-4=1(粒)，由盈虧問題公式得，參與分糖的同學(xué)有：9÷1=9(人)，有糖果9×5=45(粒)例2、貓媽媽給小貓分魚，每只小貓分10條魚，就多出8條魚，每只小貓分11條魚則正好分完，那么一共有多少只小貓？貓媽媽一共有多少條魚？【解析】貓媽媽的第一種方案盈8條魚，第二種方案不盈不虧，所以盈虧總和是8條，兩次分配之差是11-10=1(條)，由盈虧問題公式得，有小貓：8÷1=8(只)，貓媽媽有8×10+8=88(條)魚例3、實驗小學(xué)學(xué)生乘車去春游，如果每輛車坐60人，則有15人上不了車；如果每輛車多坐5人，恰好多出一輛車.問一共有幾輛車，多少個學(xué)生？【解析】每輛車坐60人，則多余15人，每輛車坐60+5=65人，則多出一輛車，也就是差65人。此車輛數(shù)目為：(65+15)÷5=80÷5=16(輛)。學(xué)生人數(shù)為：60×(16-1)+15=60×15+15=900+15=915(人)考點三：復(fù)雜的盈虧問題例1、國慶節(jié)快到了，學(xué)校的少先隊員去擺花盆．如果每人擺5盆花，還有3盆沒人擺；如果其中2人各擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完．問有多少少先隊員參加擺花盆活動，一共擺多少花盆？【解析】這是一道有難度的盈虧問題，主要難在對第二個已知條件的理解上：如果其中2人各擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完，這組條件中包含著兩種擺花盆的情況——2人各擺4盆，其余的人各擺6盆．如果我們把它統(tǒng)一成一種情況，讓每人都擺6盆，那么，就么還差6×2-2×4=4(盆)．因此，原問題就轉(zhuǎn)化為：如果每人各擺5盆花，還有3盆沒人擺；如果每人擺6盆花，還缺4盆．問有多少少先隊員，一共擺多少花盆？人數(shù)：(3+4)÷(6-5)=7(人)，盆數(shù)：5×7+3=38(盆)或6×7-4=38(盆)例2、媽媽買來一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個，其余人每人分2個，則多出4個；如果其中一人分6個，其余人每人分4個，則缺少12個，媽媽買來橘子多少個?全家共有多少人?【解析】由“其中兩人分4個，其余每人分2個，則多出4個”轉(zhuǎn)化為全家每人都分2個，這分4個的兩人每人都拿出2個，共拿出4個，結(jié)果就多了4+4=8個；由“一人分6個，其余每人分4個，則缺少12個”轉(zhuǎn)化為全家每人都分4個，分6個的人拿出2個，結(jié)果就缺12-2=10個，轉(zhuǎn)變成了盈虧問題的一般類型，則：全家的人數(shù)：(8+10)÷(4-2)=9(人),橘子的個數(shù)：2×9+8=26(個)例3、堂采購員小李到集貿(mào)市場去買肉，如果買牛肉18千克，則差4元；如果買豬肉20千克，則多2元.已知牛肉、豬肉每千克差價8角.問牛肉、豬肉各多少錢一千克？【解析】這里有兩種肉，思考起來比較困難，能否化為一種肉的問題呢？仔細分析一下已知條件，買牛肉18千克差4元，而買豬肉20千克還多2元，說明牛肉貴一些.每千克貴8角，如果18千克牛肉換成18千克豬肉，就要少花8×18=144(角)=14元4角.這樣就會多出14元4角-4元=10元4角。因此問題就可變?yōu)椋骸靶±钯I豬肉18千克多余10元4角，買20千克多余2元，求豬肉單價和錢數(shù).”雖然兩次都是盈余，仍屬盈虧問題，不過豬肉單價=兩次錢的差÷兩次千克量差。解：由已知條件知牛肉比豬肉貴，每千克貴8角.18千克牛肉比18千克豬肉貴8×18=144(角)=14元4角.因此小李若買18千克豬肉就會多余14元4角-4元=10元4角。由已知小李買20干克豬肉多余2元，所以豬肉每千克價格為(104-20)÷(20-18)=84÷2=42(角)=4元2角.所以牛肉每千克價格為：4元2角+8角=5元.小李帶的錢為：4.2×20+2=86(元)例4、四⑵班舉行“六一”聯(lián)歡晚會，輔導(dǎo)員老師帶著一筆錢去買糖果．如果買芒果13千克，還差4元；如果買奶糖15千克，則還剩2元．已知每千克芒果比奶糖貴2元，那么，輔導(dǎo)員老師帶了多少元錢？【解析】這筆錢買13千克芒果還差4元，若把這13千克芒果換成奶糖就會多出13×2=26元，所以這筆錢買13千克奶糖會多出26-4=22元。而這筆錢買15千克奶糖會多出2元，所以每千克奶糖的價格為：(22-2)÷(15-13)=10(元)．輔導(dǎo)老師共帶了10×15+2=152元實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練課堂狙擊1、有一批練習(xí)本發(fā)給學(xué)生，如果每人5本，則多70本，如果每人7本，則多10本，那么這個班有多少學(xué)生，多少練習(xí)本呢？【解析】由題意知：第一種方案：每人發(fā)5本多出70本；第二種方案：每人發(fā)7本多出10本；兩種方案分配結(jié)果相差：70-10=60(本)，這是因為兩次分配中每人所發(fā)的本數(shù)相差：7-5=2(本)，相差60本的學(xué)生有：60÷2=30(人)。練習(xí)本有：30×5+70=220(本)或(30×7+10=220)2、王老師去琴行買兒童小提琴，若買7把，則所帶的錢差110元；若買5把，則所帶的錢還多30元，問兒童小提琴多少錢一把？王老師一共帶了多少錢？【解析】本題購物的兩個方案，第一個方案：買7把差110元，第二個方案：買5把還多30元，從買7把變成買5把，少買了7-5=2(把)，而錢的差額為：110+30=140(元)，即140元可以買2把小提琴，可見小提琴的單價是每把70元，王老師一共帶了70×7-110=380(元)3、工人運青瓷花瓶250個，規(guī)定完整運到目的地一個給運費20元，損壞一個倒賠100元．運完這批花瓶后，工人共得4400元，則損壞了多少個？【解析】本題中“損壞一個倒賠100元”的意思是運一個完好的花瓶與損壞1個花瓶相差100+20=120(元)，即損1個花瓶不但得不到20元的運費，而且要付出120元．本例可假設(shè)250個花瓶都完好，這樣可得運費20×250=5000元)。這樣比實際多得5000-4400=600(元)，就是因為有損壞的瓶子，損壞1個花瓶相差120元．現(xiàn)共相差600元，從而求出共損壞多少個花瓶。根據(jù)以上分析，可得損壞了(20×250-4400)÷(100+20)=5(個)4、幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果全部分給大班的小朋友，每人分5個，則余下10個。如全部分給小班的小朋友，每人分到8個，則缺2個。已知大班比小班多3人，問：這筐蘋果共有多少個？【解析】先把大班人數(shù)和小班人數(shù)轉(zhuǎn)化為一樣。大班減少3人，則蘋果又收回3×5=15個蘋果，人數(shù)一樣，根據(jù)盈虧問題公式，小班人數(shù)為：(15+10+2)÷(8-5)=9人，蘋果總數(shù)是8×9-2=70個。5、有一些糖，每人分5塊則多10塊，如果現(xiàn)有人數(shù)增加到原有人數(shù)的1.5倍，那么每人4塊就少兩塊，這些糖共有多少塊？【解析】第一次每人分5塊，第二次每人分4塊，可以認(rèn)為原有的人每人拿出5-4=1塊糖分給新增加的人，而新增加的人剛好是原來的一半，這樣新增加的人每人可分到2塊糖果，這些人每人還差4-2=2塊，一共差了10+2=12塊，所以新增加了12÷2=6人，原有6×2=12人．糖果數(shù)為：12×5+10=70(塊)6、臥龍自然保護區(qū)管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，每只大熊貓分5個還多余10棵竹子，如果大熊貓數(shù)增加到3倍還少5只，那么每只大熊貓分2棵竹子還缺少8棵竹子，問有大熊貓多少只，竹子多少棵？【解析】使同學(xué)們感到困難的是條件“3倍還少5只大熊貓”。先要轉(zhuǎn)化這一條件，假設(shè)還有10棵竹子，10÷2=5，就可以多有5個大熊貓，把“少5只大熊貓”這一條件暫時擱置一邊，只考慮3倍大熊貓數(shù)，也相當(dāng)于按原大熊貓數(shù)每只大熊貓給2×3=6(棵)竹子，每只大熊貓給5棵與給6棵，總數(shù)相差10+10+8=28(棵)，所以原有大熊貓數(shù)28÷(6-5)=28(只)，竹子總數(shù)是5×28+10=150(棵)7、小明媽媽帶著一筆錢去買肉，若買10千克牛肉則還差6元，若買12千克豬肉則還剩4元．已知每千克牛肉比豬肉貴3元，問：小明媽媽帶了多少錢？【解析】因為“每千克牛肉比豬肉貴3元”，所以同樣買10千克豬肉的話，就剩了3×10－6＝24(元)，這樣化成普通的盈虧問題，豬肉的價錢是：(24－4)÷(12－10)＝10(元)，所以小明媽媽帶的錢數(shù)是：12×10＋4＝124(元)8、小強由家里到學(xué)校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘走60米，就可以比上課時間提前2分鐘到校。小強家到學(xué)校的路程是多少米？【解析】遲到3分鐘轉(zhuǎn)化成米數(shù)：50×3=150(米)，提前2分鐘到校轉(zhuǎn)化成米數(shù)：60×2=120(米)，距離上課時間為：(150+120)÷(60-50)=27(分鐘)，家到學(xué)校的路程為：50×(27+3)=1500(米)課后反擊1、某校安排學(xué)生宿舍，如果每間住5人則有14人沒有床位；如果每間住7人，則多出4個床位，問宿舍幾間?住宿生幾人?【解析】由已知條件每間5人,少14個床位,每間7人,多4個床位。比較兩次分配的方案，可以看出，由于第二種方案比第一種每間多7-5=2人，一共要多出14+4=18個床位，根據(jù)兩種方案每間住的人數(shù)的差和床位差，可以求出宿舍間數(shù)，然后根據(jù)已知條件可求出住宿生人數(shù)。解：(4+14)÷(7-5)=9(間)，5×9+14=59(人)或7×9-4=59(人)2、秋天到了，小白兔收獲了一筐蘿卜，它按照計劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4個，要多出48個蘿卜；如果每天吃6個，則又少8個蘿卜．那么小白兔買回的蘿卜有多少個？計劃吃多少天？【解析】題中告訴我們每天吃4個，多出48個蘿卜；每天吃6個，少8個蘿卜．觀察每天吃的個數(shù)與蘿卜剩余個數(shù)的變化就能看出，由每天吃4個變?yōu)槊刻斐?個，也就是每天多吃2個時，蘿卜從多出48個到少8個，也就是所需的蘿卜總數(shù)要相差48＋8＝56(個)．從這個對應(yīng)的變化中可以看出，只要求56里面含有多少個2，就是所求的計劃吃的天數(shù)；有了計劃吃的天數(shù)，就不難求出共有多少個蘿卜了．吃的天數(shù)：(48＋8)÷(6－4)＝56÷2＝28(天)，蘿卜數(shù)：6×28－8＝160(個)或4×28＋48＝160(個)3、甲、乙兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信紙，甲每封信用2張信紙，乙每封信用3張信紙，一段時間后，甲用完了所有的信封還剩下20張信紙，乙用完所有信紙還剩下10個信封，則他們每人各買了多少張信紙？【解析】由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺30張信紙．這是盈虧問題，盈虧總額為(20＋30)張信紙，兩次分配的差為(3－2)張信紙，所以有信封(20＋30)÷(3－2)＝50(個)，有信紙2×50＋20=120(張)4、王老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果數(shù)是桔子數(shù)的2倍.桔子每人分3個，多4個；蘋果每人分7個，少5個