2025《初中數(shù)學(xué)》專題突破專題57 二次函數(shù)中的線段最值問題（含答案及解析）

例題精講例題精講【例1】．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，求線段PM的最大值．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0）、C（0，﹣2），直線L：y＝﹣x﹣交y軸于點(diǎn)E，且與拋物線交于A、D兩點(diǎn)，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線L下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN∥y軸交L于點(diǎn)N，求PN的最大值．（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線L下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥x軸交L于點(diǎn)M，求PM的最大值．【變1-2】．如圖，拋物線y＝+mx+n與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）線段BC上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值．【例2】．已知：如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA＝OC＝3，頂點(diǎn)為D．（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；（2）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使△BCP的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在AC下方的拋物線上有一點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作直線l∥y軸，交AC與點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)N坐標(biāo)為多少時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最大？最大是多少？變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），且OA＝OC＝3OB，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，其中D點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷△ADC的形狀并且求△ADC的面積；（3）如圖2，點(diǎn)P是該拋物線第三象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PE⊥AC于E點(diǎn)，當(dāng)PE的值最大時(shí)，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及PE的最大值．【變2-2】．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求線段PM長(zhǎng)度的最大值；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在第一象限，使△BDQ中BD邊上的高為？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．已知拋物線的頂點(diǎn)A（﹣1，4），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（﹣2，3），與x軸分別交于C，D兩點(diǎn)．（1）求直線OB和該拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線OB的上方，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線與直線OB交于點(diǎn)N，求MN的最大值；（3）如圖2，AE∥x軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上A、D之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PC、PD與AE分別交于F、G，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．2．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)P，使△PBN是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．已知，如圖，拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），C（﹣3，0），（1）如圖1，已知頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（﹣1，4）或B點(diǎn)（0，3），選擇適當(dāng)方法求拋物線的解析式；（2）如圖2，在拋物線的對(duì)稱軸DH上求作一點(diǎn)M，使△ABM的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖3，將圖2中的對(duì)稱軸向左移動(dòng)，交x軸于點(diǎn)P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），與拋物線，線段BC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，用含m的代數(shù)式表示線段EF的長(zhǎng)度，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，線段EF最長(zhǎng)．4．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝mx﹣2m與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D的拋物線y＝﹣x2+2mx﹣m2+2與y軸交于點(diǎn)C．（1）如圖，當(dāng)m＝2時(shí)，點(diǎn)P是拋物線CD段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①求A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）在y軸上有一點(diǎn)M（0，m），當(dāng)點(diǎn)C在線段MB上時(shí)，①求m的取值范圍；②求線段BC長(zhǎng)度的最大值．5．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且CO＝BO，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，求線段DE的長(zhǎng)度；（3）如圖3，垂直于x軸的動(dòng)直線l分別交拋物線和線段BC于點(diǎn)P和點(diǎn)F，連接CP，CD，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為3的正方形，其中頂點(diǎn)A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)D．（1）①求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；②求b，c的值．（2）若點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AP，交y軸于點(diǎn)M（如圖2所示）．當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．7．已知二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣2的圖象和x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，過(guò)直線BC的下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P作PQ∥AC交線段BC于點(diǎn)Q，再過(guò)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D．（1）求直線AC的解析式；（2）求△PQD周長(zhǎng)的最大值；（3）當(dāng)△PQD的周長(zhǎng)最大時(shí)，在y軸上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N（M在N的上方），且MN＝1，求PN+MN+AM的最小值．8．如圖，拋物線y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，直線y＝x+經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，線段PQ在線段AB上移動(dòng)，PQ＝1，分別過(guò)點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，交拋物線于E、F，交直線于D，G．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)四邊形DEFG為平行四邊形時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；（3）在線段PQ的移動(dòng)過(guò)程中，以D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形面積是否有最大值，若有求出最大值，若沒有請(qǐng)說(shuō)明理由．9．如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2﹣x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），B（﹣3，），A點(diǎn)在y軸上，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C．（1）求直線AB的解析式和二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在AB上方），過(guò)N作NP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)M，求MN的最大值；（3）點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在AB上方），是否存在點(diǎn)N，使得BM與NC相互垂直平分？若存在，求出所有滿足條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．10．如圖所示，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，直線BC下方的拋物線上有一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，作DF平行x軸交直線BC點(diǎn)F，求△DEF周長(zhǎng)的最大值；（3）已知點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)N是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且位于拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，是否存在以點(diǎn)P、M、N、Q為頂點(diǎn)且以PM為邊的正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．（1）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△BDQ中BD邊上的高為．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．已知拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與直線y＝﹣x+3交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)，直線ME是拋物線的對(duì)稱軸．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，設(shè)d為點(diǎn)P到直線CB的距離，當(dāng)d有最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)F為直線BC上一點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'C，A'F，當(dāng)△FA'C是直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．13．如圖①，已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣4的頂點(diǎn)為C，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及a的值；（2）如圖②，拋物線C2與C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2向右平移4個(gè)單位，得到拋物線C3．C3與x軸交于點(diǎn)B、E，點(diǎn)P是直線CE上方拋物線C3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交CE于點(diǎn)F．①求線段PF長(zhǎng)的最大值；②若PE＝EF，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a＞0）與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥BC于點(diǎn)M，PN∥y軸交BC于點(diǎn)N．求線段PM的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以CQ為斜邊的等腰直角三角形CEQ？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．已知拋物線C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的對(duì)稱軸為x＝4，C為頂點(diǎn)，且A（2，0），C（4，﹣2）【問題背景】求出拋物線C的解析式．【嘗試探索】如圖2，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接BC′，作直線x＝k交BC′于點(diǎn)M，交拋物線C于點(diǎn)N．①連接ND，若四邊形MNDC′是平行四邊形，求出k的值．②當(dāng)線段MN在拋物線C與直線BC′圍成的封閉圖形內(nèi)部或邊界上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段MN的長(zhǎng)度的最大值．【拓展延伸】如圖4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），現(xiàn)將其沿x軸以1個(gè)單位每秒的速度向右平移，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，得到矩形H′G′O′E′，連接AC′，若矩形H′G′O′E′與直線AC′和拋物線C圍成的封閉圖形有公共部分，請(qǐng)求出t的取值范圍．

例題精講例題精講【例1】．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，求線段PM的最大值．解：過(guò)P點(diǎn)作PQ∥y軸交BC于Q，如圖，當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，則B（3，0），A（﹣1，0），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2+2x+3＝3，則C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，把B（3，0），C（0，3）代入得，，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，∵OB＝OC＝3，∴△OBC為等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，∵PQ∥y軸，∴∠PQM＝45°，∵PM⊥BC，∴△PMQ為等腰直角三角形，∴PM＝PQ，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），則Q（t，﹣t+3），∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∴PM＝（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，當(dāng)t＝時(shí)，PM的最大值為．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0）、C（0，﹣2），直線L：y＝﹣x﹣交y軸于點(diǎn)E，且與拋物線交于A、D兩點(diǎn)，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線L下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN∥y軸交L于點(diǎn)N，求PN的最大值．（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線L下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥x軸交L于點(diǎn)M，求PM的最大值．解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c得，，∴∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣2；（2）設(shè)P（m，m2﹣m﹣2），∵PN∥y軸，N在直線AD上，∴N（m，﹣m﹣），∴PN＝﹣m﹣﹣m2+m+2＝﹣m2+m+．∴當(dāng)m＝時(shí)，PN的最大值是；（3）設(shè)P（m，m2﹣m﹣2），∵PM∥x軸，M在直線AD上，M與P縱坐標(biāo)相同，把y＝m2﹣m﹣2，代入y＝﹣x﹣中，得x＝﹣m2+2m+2∴M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2）∴PM＝﹣m2+2m+2﹣m＝﹣m2+m+2∴當(dāng)m＝時(shí)，PM的最大值是．【變1-2】．如圖，拋物線y＝+mx+n與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）線段BC上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值．解：（1）拋物線y＝﹣+mx+n與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，A（﹣1，0），C（0，2）．∴，解得：，故拋物線解析式為：y＝﹣x2+x+2；（2）令y＝0，則﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴B（4，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+2，設(shè)P（m，﹣m+2）；則Q（m，﹣m2+m+2），則PQ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，此時(shí)PQ的最大值為2．【例2】．已知：如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA＝OC＝3，頂點(diǎn)為D．（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；（2）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使△BCP的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在AC下方的拋物線上有一點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作直線l∥y軸，交AC與點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)N坐標(biāo)為多少時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最大？最大是多少？解：（1）如圖1，∵OA＝OC＝3，∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴將A（﹣3，0），C（0，﹣3），分別代入拋物線y＝x2+bx+c，得，解得．故此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y＝x2+2x﹣3；（2）如圖，連接AP，BP，BC，AC，AC與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)P′，∵拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∵B是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，A（﹣3，0），∴B（1，0），∴BC＝＝＝，∵點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，∴AP＝BP，∴PB+PC的最小值即為PA+PC的最小值，此時(shí)PA+PC+BC最小，即△BCP的周長(zhǎng)最小，∴當(dāng)P、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，△BCP的周長(zhǎng)最小，即P在P′所在的位置，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b1，∴，解得：，∴直線AC的解析式為：y＝﹣x﹣3，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）；（3）如圖3，設(shè)N（t，t2+2t﹣3），則M（t，﹣t﹣3），∴MN＝﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，∵﹣1＜0，∴當(dāng)t＝﹣，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣，）時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最大，最大值為．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），且OA＝OC＝3OB，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，其中D點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷△ADC的形狀并且求△ADC的面積；（3）如圖2，點(diǎn)P是該拋物線第三象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PE⊥AC于E點(diǎn)，當(dāng)PE的值最大時(shí)，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及PE的最大值．解：（1）∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴OB＝1，又∵OA＝OC＝3OB，∴OA＝OC＝3，∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），將A，B，C三點(diǎn)代入解析式得，，解得，∴拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3；（2）由（1）知拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3，∴對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），∴|AD|＝＝2，|AC|＝＝3，|CD|＝＝，∵|AD|2＝|AC|2+|CD|2，∴△ACD是直角三角形，S△ABC＝|AC|?|CD|＝×＝3；（3）設(shè)直線AC的解析式為y＝sx+t，代入A，C點(diǎn)坐標(biāo)，得，解得，∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3，如右圖，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y軸，∴∠PHE＝∠OCA＝45°，設(shè)點(diǎn)P（x，x2+2x﹣3），則點(diǎn)H（x，﹣x﹣3），∴PH＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，∴PE＝PH?sin∠PHE＝（﹣x2﹣3x）×＝﹣（x+）2+，∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，PE有最大值為，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．【變2-2】．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求線段PM長(zhǎng)度的最大值；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在第一象限，使△BDQ中BD邊上的高為？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由二次函數(shù)頂點(diǎn)C（1，4），設(shè)y＝a（x﹣1）2+4，將B（3，0）代入得：4a+4＝0，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，答：二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，∴D（0，3），設(shè)直線BD解析式為y＝kx+3，將B（3，0）代入得：3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直線BD解析式為y＝﹣x+3，設(shè)P（m，﹣m+3），則M（m，﹣m2+2m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3+m﹣3＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴當(dāng)m＝時(shí)，PM取最大值，最大值為；（3）存在點(diǎn)Q，使△BDQ中BD邊上的高為，理由如下：過(guò)Q作QG∥y軸交BD于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)E，作QH⊥BD于H，如圖：設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），則G（x，﹣x+3），∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，∵OB＝OD，∴∠OBD＝45°，∴∠BGE＝45°＝∠QGH，∴△QGH是等腰直角三角形，當(dāng)△BDQ中BD邊上的高為時(shí)，即QH＝HG＝，∴QG＝2，∵點(diǎn)Q在第一象限，QG＝|﹣x2+3x|，∴﹣x2+3x＝2，解得x＝1或x＝2，∴Q（1，4）或（2，3），綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)Q，坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）．1．已知拋物線的頂點(diǎn)A（﹣1，4），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（﹣2，3），與x軸分別交于C，D兩點(diǎn)．（1）求直線OB和該拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線OB的上方，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線與直線OB交于點(diǎn)N，求MN的最大值；（3）如圖2，AE∥x軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上A、D之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PC、PD與AE分別交于F、G，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．解：（1）設(shè)直線OB的解析式為y＝kx，∵B（﹣2，3），∴﹣2k＝3，∴k＝﹣，∴直線OB的解析式為y＝﹣x，∵拋物線的頂點(diǎn)為A（﹣1，4），∴設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x+1）2+4．將B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，解得：a＝﹣1，∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．（2）設(shè)M（t，﹣t2﹣2t+3），MN＝s，則N的橫坐標(biāo)為t﹣s，縱坐標(biāo)為﹣（t﹣s），∵，∴x1＝﹣2，x2＝，∵點(diǎn)M是直線OB的上方拋物線上的點(diǎn)，∴﹣2＜t＜，∵M(jìn)N∥x軸，∴﹣t2﹣2t+3＝﹣（t﹣s），∴s＝﹣+2＝﹣，∵﹣2＜t＜，∴當(dāng)t＝﹣時(shí)，MN的最大值為；（3）解：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交x軸于Q，設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3），則PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，∴tan∠PCD+tan∠PDC＝，＝，＝，＝1﹣t+t+3，＝4．2．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)P，使△PBN是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）將點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y＝x2+bx+c中，得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3．（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2﹣4m+3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+3，把點(diǎn)B（3，0）代入y＝kx+3中，得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3．∵M(jìn)N∥y軸，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m+3）．∵拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝2，∴點(diǎn)（1，0）在拋物線的圖象上，∴1＜m＜3．∵線段MN＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m＝﹣+，∴當(dāng)m＝時(shí)，線段MN取最大值，最大值為．（3）假設(shè)存在．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，n）．當(dāng)m＝時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，），∴PB＝＝，PN＝，BN＝＝．△PBN為等腰三角形分三種情況：①當(dāng)PB＝PN時(shí)，即＝，解得：n＝，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）；②當(dāng)PB＝BN時(shí)，即＝，解得：n＝±，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣）或（2，）；③當(dāng)PN＝BN時(shí)，即＝，解得：n＝，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）或（2，）．綜上可知：在拋物線的對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)P，使△PBN是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）、（2，﹣）、（2，）、（2，）或（2，）．3．已知，如圖，拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），C（﹣3，0），（1）如圖1，已知頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（﹣1，4）或B點(diǎn)（0，3），選擇適當(dāng)方法求拋物線的解析式；（2）如圖2，在拋物線的對(duì)稱軸DH上求作一點(diǎn)M，使△ABM的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）如圖3，將圖2中的對(duì)稱軸向左移動(dòng)，交x軸于點(diǎn)P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），與拋物線，線段BC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，用含m的代數(shù)式表示線段EF的長(zhǎng)度，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，線段EF最長(zhǎng)．解：（1）由拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（﹣1，4）可設(shè)其解析式為y＝a（x+1）2+4，將點(diǎn)C（﹣3，0）代入，得：4a+4＝0，解得a＝﹣1，則拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）連接BC，交DH于點(diǎn)M，此時(shí)△ABM的周長(zhǎng)最小，當(dāng)y＝0時(shí)，﹣（x+1）2+4＝0，解得x＝﹣3或x＝1，則A（1，0），C（﹣3，0），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，則B（0，3），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，將B（0，3），C（﹣3，0）代入得，解得：，∴直線BC解析式為y＝x+3，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣1+3＝2，所以點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣1，2）；（3）由題意知E（m，﹣m2﹣2m+3），F(xiàn)（m，m+3），則EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，線段EF最長(zhǎng)．4．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝mx﹣2m與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D的拋物線y＝﹣x2+2mx﹣m2+2與y軸交于點(diǎn)C．（1）如圖，當(dāng)m＝2時(shí)，點(diǎn)P是拋物線CD段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①求A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）在y軸上有一點(diǎn)M（0，m），當(dāng)點(diǎn)C在線段MB上時(shí)，①求m的取值范圍；②求線段BC長(zhǎng)度的最大值．解：（1）∵直線y＝mx﹣2m與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，∴A（2，0），B（0，﹣2m）；∵y＝﹣（x﹣m）2+2，∴拋物線的頂點(diǎn)為D（m，2），令x＝0，則y＝﹣m2+2，∴C（0，﹣m2+2）．①當(dāng)m＝2時(shí)，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．②由上可知，直線AB的解析式為：y＝2x﹣4，拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x﹣2．如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，∴△PAB的面積為：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，∵﹣1＜0，∴當(dāng)t＝1時(shí)，△PAB的面積的最大值為3．此時(shí)P（1，1）．（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①∵y軸上有一點(diǎn)M（0，m），點(diǎn)C在線段MB上，∴需要分兩種情況：當(dāng)m≥﹣m2+2≥﹣2m時(shí)，可得≤m≤1+，當(dāng)m≤﹣m2+2≤﹣2m時(shí)，可得﹣3≤m≤1﹣，∴m的取值范圍為：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．②當(dāng)≤m≤1+時(shí)，∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，∴當(dāng)m＝1時(shí)，BC的最大值為3；當(dāng)m≤﹣m2+2≤﹣2m時(shí)，即﹣3≤m≤1﹣，∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，當(dāng)m＝﹣3時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，BC的最大值為13．∴當(dāng)m＝﹣3時(shí)，BC的最大值為13．5．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且CO＝BO，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，求線段DE的長(zhǎng)度；（3）如圖3，垂直于x軸的動(dòng)直線l分別交拋物線和線段BC于點(diǎn)P和點(diǎn)F，連接CP，CD，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）在拋物線y＝ax2+bx+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∴CO＝3，∵CO＝BO，∴BO＝3，∴B（3，0），∵A（﹣1，0），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，∵拋物線y＝﹣x2+2x+3的頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，4），∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1+3＝2，∴E（1，2），∴DE＝2；（3）∵PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，當(dāng)＝時(shí)，△PCF∽△CDE，由D（1，4），C（0，3），E（1，2），利用勾股定理，可得CE＝＝，DE＝4﹣2＝2，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），點(diǎn)F坐標(biāo)為（t，﹣t+3），∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，CF＝＝t，∴＝，∵t≠0，∴t＝2，當(dāng)t＝2時(shí)，﹣t2+2t+3＝﹣22+2×2+3＝3，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）．6．如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為3的正方形，其中頂點(diǎn)A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)D．（1）①求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；②求b，c的值．（2）若點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AP，交y軸于點(diǎn)M（如圖2所示）．當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．解：（1）①四邊形OABC是邊長(zhǎng)為3的正方形，∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；②把A（3，0），C（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：；（2）∵AP⊥PM，∴∠APM＝90°，∴∠APB+∠CPM＝90°，∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPM，∵∠B＝∠PCM＝90°，∴△MCP∽△PBA，∴＝，即＝，∴3n＝m（3﹣m），∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3），∵﹣＜0，∴當(dāng)m＝時(shí)，n的值最大，最大值是．7．已知二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣2的圖象和x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，過(guò)直線BC的下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P作PQ∥AC交線段BC于點(diǎn)Q，再過(guò)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D．（1）求直線AC的解析式；（2）求△PQD周長(zhǎng)的最大值；（3）當(dāng)△PQD的周長(zhǎng)最大時(shí)，在y軸上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N（M在N的上方），且MN＝1，求PN+MN+AM的最小值．解：（1）對(duì)于二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0，得x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2，∴A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，則有，解得，∴直線AC的解析式為y＝﹣2x﹣2．（2））∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直線BC的解析式為y＝x﹣2，OB＝OC＝2，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PE⊥x軸，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠QDP＝∠EBD＝45°，∵PQ∥AC，∴∠PQC＝∠ACQ，∴∠PQD，∠PDQ是定值，∴PD最長(zhǎng)時(shí)，△PDQ的最長(zhǎng)最大，設(shè)P（m，m2﹣m﹣2），則D（m，m﹣2），∴PD＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，∵﹣1＜0，∴m＝1時(shí)，PD的值最大，PD最大值為1，此時(shí)P（1，﹣2），D（1，﹣1），∴直線PQ的解析式為y＝﹣2x，由，解得，∴Q（，﹣），∴PD＝1，PQ＝，DQ＝，∴△PDQ的最長(zhǎng)的最大值為1++．（3）如圖2中，作PP′∥y軸，使得PP′＝MN＝1，連接AP′交y軸于M，此時(shí)PN+NM+AM的值最小．由（2）可知P（1，﹣2），∴P′（1，﹣1），∵A（﹣1，0），∴直線AP′的解析式為y＝﹣x﹣，∴M（0，﹣），N（0，﹣），∴AM＝＝，PN＝＝，∴AM+MN+PN的最小值為+1．8．如圖，拋物線y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，直線y＝x+經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，線段PQ在線段AB上移動(dòng)，PQ＝1，分別過(guò)點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，交拋物線于E、F，交直線于D，G．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)四邊形DEFG為平行四邊形時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；（3）在線段PQ的移動(dòng)過(guò)程中，以D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形面積是否有最大值，若有求出最大值，若沒有請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，∴y＝×3+＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2），把點(diǎn)C（3，2）代入拋物線，可得2＝9a﹣9a﹣4a，解得：a＝，∴拋物線的解析式為y＝；（2）設(shè)點(diǎn)P（m，0），Q（m+1，0），由題意，點(diǎn)D（m，m+）m，E（m，），G（m+1，m+1），F(xiàn)（m+1，），∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴ED＝FG，∴（）﹣（m+）＝（）﹣（m+1），即＝，∴m＝0.5，∴P（0.5，0）、Q（1.5，0）；（3）設(shè)以D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形面積為S，由（2）可得，S＝（）×1÷2＝（﹣m2+m+）＝，∴當(dāng)m＝時(shí)，S最大值為，∴以D、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形面積有最大值，最大值為．9．如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2﹣x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），B（﹣3，），A點(diǎn)在y軸上，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C．（1）求直線AB的解析式和二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在AB上方），過(guò)N作NP⊥x軸，垂足為點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)M，求MN的最大值；（3）點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在AB上方），是否存在點(diǎn)N，使得BM與NC相互垂直平分？若存在，求出所有滿足條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+b，∴，∴，∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+1；把A（0，1），B（﹣3，）代入y＝ax2﹣x+c得，，∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2﹣x+1；（2）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣m+1）（﹣3＜m＜0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m+1），∴MN＝﹣m2﹣m+1﹣（﹣m+1）＝﹣m2﹣m+1＝﹣（m+）2+，∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，MN取最大值，最大值為；（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣m+1）（﹣3＜m＜0），連接BN、CM，如圖所示．若要BM與NC相互垂直平分，只需四邊形BCMN為菱形即可．∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣3，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，0），∴BC＝．∵四邊形BCMN為菱形，∴MN＝﹣m2﹣m＝BC＝，解得：m1＝﹣2，m2＝﹣1．當(dāng)m＝﹣2時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2，），∴BN＝＝，BC＝，BN≠BC，故m＝﹣2（舍去）；當(dāng)m＝﹣1時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣1，4），∴BN＝＝，BC＝，BN＝BC，∴點(diǎn)N（﹣1，4）符合題意．故存在點(diǎn)N，使得BM與NC相互垂直平分，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣1，4）．10．如圖所示，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，直線BC下方的拋物線上有一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，作DF平行x軸交直線BC點(diǎn)F，求△DEF周長(zhǎng)的最大值；（3）已知點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)N是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且位于拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，是否存在以點(diǎn)P、M、N、Q為頂點(diǎn)且以PM為邊的正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，∴解得：∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3（2）∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與y軸交于點(diǎn)C∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣3）∴直線BC解析式為：y＝x﹣3∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，﹣3）∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵DF∥AB，∴∠EFD＝45°＝∠OBC，∵DE⊥BC，∴∠EFD＝∠EDF＝45°，∴DE＝EF，∴DF＝EF，∴EF＝DE＝DF，∴△DEF周長(zhǎng)＝DE+EF+DF＝（1+）DF，設(shè)點(diǎn)D（a，a2﹣2a﹣3），則F（a2﹣2a，a2﹣2a﹣3）∴DF＝a﹣a2+2a＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣）2+∴當(dāng)a＝時(shí)，DF有最大值為，即△DEF周長(zhǎng)有最大值為（1+）×＝，（3）存在，如圖1，過(guò)點(diǎn)M作GH⊥OC，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥GH，連接MN，PM，∵拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4∴點(diǎn)M（1，4）∵以點(diǎn)P、M、N、Q為頂點(diǎn)且以PM為邊的正方形，∴PM＝MN，∠PMN＝90°，∴∠PMH+∠NMG＝90°，且∠PMH+∠MPH＝90°，∴∠NMG＝∠MPH，且MN＝PM，∠H＝∠NGM＝90°，∴△MNG≌△PMH（AAS）∴GM＝PH＝1，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣3，∴﹣3＝x2﹣2x﹣3∴x＝0（不合題意舍去），x＝2，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作GH⊥AB，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥GH，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥GH，易證：△NGP≌△PHM，可得NG＝PH，GP＝MH，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為a，（a＞1）∴NG＝PH＝a，∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)為﹣4+a，∴﹣4+a＝a2﹣2a﹣3∴x＝（不合題意舍去），x＝綜上所述：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或11．如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．（1）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△BDQ中BD邊上的高為．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）令y＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，則C（2，﹣3），設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx+b，則，解得，∴直線AC的函數(shù)解析式是y＝﹣x﹣1，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤2），則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，∴當(dāng)x＝時(shí)，PE的最大值＝；（2）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（﹣1，0）或（4，5）；令x＝0，則y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，即D（0，﹣3），由B（3，0），D（0，﹣3）得到直線BD的解析式是y＝x﹣3，如上圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則QE＝2，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N，交BD于點(diǎn)H，由直線BD的表達(dá)式知，∠HBN＝45°＝∠QHE，則QH＝QE＝＝4，設(shè)點(diǎn)Q（m，m，m2﹣2m﹣3），則點(diǎn)H（m，m﹣3），則QH＝|yQ﹣yH|＝4，即m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）＝±4，解得m＝﹣1或4，∴Q的坐標(biāo)為：（﹣1，0）或（4，5）；（3）存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣3，0）或（4+，0）或（4﹣，0），理由：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，0），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），而點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（2，﹣3），①當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得（舍去），故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）；②當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得解得，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4+，0）或（4﹣，0）；③當(dāng)AG為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，解得（舍去），故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，0），綜上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣3，0）或（4+，0）或（4﹣，0）．12．已知拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與直線y＝﹣x+3交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)，直線ME是拋物線的對(duì)稱軸．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，設(shè)d為點(diǎn)P到直線CB的距離，當(dāng)d有最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)F為直線BC上一點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'C，A'F，當(dāng)△FA'C是直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．解：（1）直線y＝﹣x+3過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C，則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（3，0）、（0，3），拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3，函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4，故點(diǎn)M（1，4）；（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，OC＝OB＝3，則∠DPH＝∠CBA＝45°，設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+2x+3），則點(diǎn)H（x，﹣x+3），d＝PD＝PH＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵＜0，故d有最大值，此時(shí)x＝，則點(diǎn)P（，）；（3）點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'（1，0），設(shè)點(diǎn)F（m，3﹣m），而點(diǎn)C（0，3），A′C2＝10，A′F2＝（m﹣1）2+（3﹣m）2，F(xiàn)C2＝2m2，由題目知，∠A′CF≠90°，則當(dāng)△FA'C是直角三角形時(shí)，分以下兩種情況：當(dāng)CF為斜邊時(shí)，即10+（m﹣1）2+（3﹣m）2＝2m2，解得：m＝；當(dāng)A′C為斜邊時(shí)，同理可得：m＝2，故點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（，）或（2，1）．13．如圖①，已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣4的頂點(diǎn)為C，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及a的值；（2）如圖②，拋物線C2與C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2向右平移4個(gè)單位，得到拋物線C3．C3與x軸交于點(diǎn)B、E，點(diǎn)P是直線CE上方拋物線C3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交CE于點(diǎn)F．①求線段PF長(zhǎng)的最大值；②若PE＝EF，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）頂點(diǎn)C為（﹣1，﹣4）．∵點(diǎn)B（1，0）在拋物線C1上，∴0＝a（1+1）2﹣4，解得，a＝1；（2）①∵C2與C1關(guān)于x軸對(duì)稱，∴拋物線C2的表達(dá)式為y＝﹣（x+1）2+4，拋物線C3由C2平移得到，∴拋物線C3為y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5，∴E（5，0），設(shè)直線CE的解析式為：y＝kx+b，則，解得，∴直線CE的解析式為y＝x﹣，設(shè)P（x，﹣x2+6x﹣5），則F（x，x﹣），∴PF＝（﹣x2+6x﹣5）﹣（x﹣）＝﹣x2+x﹣＝﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x＝時(shí)，PF有最大值為；②若PE＝EF，∵PF⊥x軸，∴x軸平分PF，∴﹣x2+6x﹣5＝﹣x+，解得x1＝，x2＝5（舍去）∴P（，）．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a＞0）與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥BC于點(diǎn)M，PN∥y軸交BC于點(diǎn)N．求線段PM的最大值和此