1.2 空間向量基本定理(分層練習(xí))（解析版）

第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇如圖，在平行六面體ABCD?A1B

A．AB，AC，AD B．AB，AA1，C．D1A1，D1C1，D1【答案】C【分析】利用空間向量的基底定義判斷.【詳解】因?yàn)锳B，AC，AD共面，故A錯(cuò)誤；因?yàn)锳B，AA1，因?yàn)锳C1，A1因?yàn)镈1A1，D1C已知空間向量a,b,A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．若a,C．若a,b,c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量pD．若a,b不共線，向量c=λa+μb（【答案】C【分析】根據(jù)共線向量、共面向量、空間向量的基本定理、基底等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析.【詳解】A選項(xiàng)，若a與b共線，b與c共線，當(dāng)b為零向量時(shí)，a與c不一定共線，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若a,比如正方體上底面的兩條對(duì)角線，和下底面的一條對(duì)角線，對(duì)應(yīng)的向量共面，但直線不共面，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，根據(jù)空間向量的基本定理可知，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，若a,b不共線，向量c=λa+μ則a,b,故選：C設(shè)a,b,c是空間的一組基底，則可與向量p=A．a(chǎn) B．b C．c D．a(chǎn)或b【答案】C【分析】根據(jù)基底向量不共面分析即可.【詳解】因?yàn)閍,b,而向量p=a+b，q=故p=a+b，q=a?故選：C.已知a，b，c是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是（）A．3a，a?b，a+2b B．C．a(chǎn)，2b，b?c D．c，【答案】C【分析】利用空間向量的基底的定義，逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】向量a,對(duì)于A，3a=2(a對(duì)于B，2b=(b對(duì)于D，2c=(a對(duì)于C，假定向量a,2b,b?整理得a?(2λ1+λ所以向量a,2故選：C如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1C1與B1A．12a?C．?12a【答案】D【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則得到答案.【詳解】因?yàn)镸為A1C1與B故BM=BB如圖，在空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=2MA，

A．23a+23C．?23a【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)锽N=NC，即N為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)N=因?yàn)镺M=2MA，所以O(shè)M=23OA，MN=ON?在四面體OABC中，E為OA中點(diǎn)，CF=13CB，若OA=a，OB=b，A．?3 B．?2 C．2 D．3【答案】B【分析】利用空間向量線性運(yùn)算的幾何表示及空間向量基本定理求出x,y,z，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可得出結(jié)論．【詳解】

由題意，EF=EA+又EF=xa+y則x=?1所以log3故選：B.如圖，在三棱錐P?ABC中，點(diǎn)D為棱BC上一點(diǎn)，且CD=2BD，點(diǎn)M為線段AD的中點(diǎn)．(1)以AB,AC,(2)若AB=AC=3，AP=4，∠BAC=∠PAC=60°，求【答案】(1)PM=?AP+【分析】（1）直接利用向量的數(shù)乘運(yùn)算及加減運(yùn)算求解；（2）由向量的單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及向量的數(shù)量積運(yùn)算求解．【詳解】（1）∵M(jìn)為線段AD的中點(diǎn)，∴AM=∵CD=2BD，∴BD=∴PM=PA（2）PM=?APACcos∠PAC=?6+3定義：設(shè)a1,a2,a3是空間向量的一個(gè)基底，若向量p=xa1+ya2+za3，則稱實(shí)數(shù)組(x,y,z)為向量p在基底a1【答案】(2,0,2)【分析】根據(jù)基底的定義結(jié)合題意直接求解即可【詳解】因?yàn)橄蛄縫在基底{a+b所以p=所以向量p在基底{a,b,提升篇提升篇設(shè)P?ABC是正三棱錐，G是△ABC的重心，D是PG上的一點(diǎn)，且PD=DG，若PD=xPA+yA．56,13,23 B．【答案】B【分析】G是等邊△ABC的重心，可得AG=13AB+13AC=13(【詳解】因?yàn)槿忮FP?ABC是正三棱錐，G是△ABC的重心，所以AG=因?yàn)镈是PG上的一點(diǎn)，且PD=DG，所以因?yàn)镻G=所以PD=1因?yàn)镻D=xPA+yPB+zPC，所以故選：B已知a,b,c是空間的一組基底，其中AB=2a?3b，AC=a?c，A．?34 B．34 C．4【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)，使得AB=x【詳解】由題意，設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)，使得AB=x即2a?3b則x=2，y=?32，λy?x=0，解得若e1,e2,e3A．83 B．52 C．?1【答案】D【分析】由題意可知，向量OA、OB、OC共面，則存在實(shí)數(shù)x、y使得OC=xOA+yOB，根據(jù)空間向量的基本定理可得出關(guān)于x、y、【詳解】因?yàn)橄蛄縊A=e1+e所以O(shè)A、OB、OC共面，故存在實(shí)數(shù)x、y使得OC=x即ke因?yàn)閑1,e2,半正多面體又稱“阿基米德多面體”，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.把正四面體的每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，得到一個(gè)有八個(gè)面的半正多面體，如圖，點(diǎn)P，A，B，C，D為該半正多面體的頂點(diǎn)，若PA=a，PB=b，PC=

A．?12aC．a(chǎn)?12【答案】A【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】如下圖所示PC=所以PD=?故選：A.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬．如圖，四棱錐P?ABCD為陽(yáng)馬，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若DE=xAB+yAC+zA．1 B．2C．13 D．【答案】A【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，以AB,AC,AP為基底表示出【詳解】∵EC=2PE，∴PE∴=2∴x=1，y=?23，z=2在如圖所示的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，∠BA

【答案】3【分析】設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，以a,【詳解】設(shè)AB=a，AD=b，AA因?yàn)锽D⊥AN，所以BD?因?yàn)锽D=AD?所以b?a?即12+λ?3故答案為：3?1把邊長(zhǎng)為22的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得平面ABD與平面CBD所成二面角的大小為60°，則異面直線AD與BC所成角的余弦值為（

A．14 B．?14 C．?【答案】A【分析】畫出圖形，利用空間向量基本定理轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)锳B=BC=CD=AD=22，∠BAD=∠BCD=90°，所以O(shè)A=OB=OC=OD=2,OC⊥BD,OA⊥BD，所以∠AOC為平面ABD與平面CBD所成二面角的平面角，即∠AOC=60°，所以△AOC為等邊三角形，所以AC=2，因?yàn)锳C=所以AC2所以4=AD所以4=8+16+8+2×22即16cosAD,所以異面直線AD與BC所成角的余弦值為14已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，M是BC的中點(diǎn)，若AM=xPA+yA．x+y+z=0 B．x+y+z=1C．x?y?z=1 D．x?y?z=?1【答案】A【分析】推導(dǎo)出AM=12AB+AC，利用空間向量的減法結(jié)合空間向量的基本定理可得出【詳解】如下圖所示：因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，則AM=AB所以，AM=又因?yàn)锳M=xPA+yPB+zPC，且PA、PB、故x+y+z=0，x?y?z=?2，故選：A.在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)O為△ABC的重心，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PA，PB，PC的中點(diǎn)，若a=AF，b=CE，c=A．13a+13b+13【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合重心的性質(zhì)即可求解.【詳解】取BC中點(diǎn)為M，a三個(gè)式子相加可得a+又OP==?PA故選：D（多選）在正方體ABCD?A1B1CA．AQ⊥BDB．BD1與平面QACC．當(dāng)點(diǎn)Q在平面A1BD．當(dāng)n=12時(shí)，四棱錐【答案】AC【分析】依題意點(diǎn)Q在四邊形A1ACC1內(nèi)及邊界運(yùn)動(dòng)（不含AC,AA1）.對(duì)于A，通過(guò)證明線面垂直證得線線垂直得出結(jié)果；對(duì)于B，BD1與平面AA1CC1所成角，即為BD1與平面QAC【詳解】因?yàn)樵谡襟wABCD?A1B所以AQ=mAB+mAD+nAA對(duì)于A，因?yàn)锳1A⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，所以又AC⊥BD