《等比數(shù)列（第2課時）》教學(xué)設(shè)計

1/22.4等比數(shù)列第二課時（馬浚）一、教學(xué)目標1．核心素養(yǎng)通過對等比數(shù)列第二課時的學(xué)習(xí),提高邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力,逐漸形成舉一反三的思維.2．學(xué)習(xí)目標（1）類比等差數(shù)列性質(zhì),猜想等比數(shù)列性質(zhì).（2）能證明等比數(shù)列的性質(zhì).（3）能利用性質(zhì)減少運算量,迅速解決等比數(shù)列相關(guān)問題.3．學(xué)習(xí)重點掌握等比數(shù)列的性質(zhì)及證明.4．學(xué)習(xí)難點等比中項的確定與學(xué)會挖掘條件,利用等比數(shù)列性質(zhì)解決問題.二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1．預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1閱讀教材,思考等比數(shù)列相鄰三項有怎樣的關(guān)系關(guān)系?知道前后兩項一定能確定中間項嗎?任務(wù)2由特殊到一般,通過特殊等比數(shù)列,思考若k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈N*),則對應(yīng)項會有怎樣的關(guān)系?任務(wù)3等比數(shù)列中,隨機挑選出來的項還能構(gòu)成等比數(shù)列嗎?需要滿足怎樣的要求?請證明你的結(jié)論?2.預(yù)習(xí)自測一、選擇題1.已知等比數(shù)列中，公比且則（）A.4B.5C.6D.7答案:C.解析:【知識點:等比關(guān)系的確定；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】∵等比數(shù)列中,,公比q≠±1,,∴,∴m-1=15,解得m=16．故答案為:16．（）A.9B.-9C.9D.0答案:C.解析：【知識點:等比關(guān)系的確定；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列的通項公式:,然后求得二、填空題1.已知等比數(shù)列前三項:則________.答案:【知識點:等比關(guān)系的確定；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】解析：∵a-1,a+1,a+4為等比數(shù)列的前三項,∴（a+1）2=（a-1）（a+4）,

解得:a=5,∴等比數(shù)列的前三項依次為4,6,9,可得公比q=,首項為4,

則=．故答案為:（二）課堂設(shè)計1．知識回顧等差數(shù)列性質(zhì)（1）若a,A,b成等差數(shù)列,則A叫做a,b的等差中項,且A＝.（2）若為等差數(shù)列,且m＋n＝p＋q,則(m,n,p,q∈N*)．（3）若是等差數(shù)列,公差為d,則(k,m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.2．問題探究問題探究一猜想等比數(shù)列有怎樣的性質(zhì)？●活動一回顧舊知,進行類比等差數(shù)列的性質(zhì)分為三點1.若a,A,b成等差數(shù)列,則A叫做a,b的等差中項,且A＝..2.若為等差數(shù)列,且m＋n＝p＋q,則(m,n,p,q∈N*)．3.若是等差數(shù)列,公差為d,則(k,m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.●活動二集思廣益,大膽猜想類比猜想等比數(shù)列性質(zhì)亦分為三點1.如果a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項．即:G是a與b的等比中項?a,G,b成等比數(shù)列?G2＝ab.2.若為等比數(shù)列,且k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈N*),則．3.相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即仍是等比數(shù)列,公比為．問題探究二等比數(shù)列性質(zhì)的證明重點、難點知識★▲●活動一溫故知新,類比證明回憶等差數(shù)列性質(zhì)的證明,均是利用等差數(shù)列的定義,同樣不妨嘗試利用等比數(shù)列的定義對等比數(shù)列性質(zhì)進行證明●活動二夯實基礎(chǔ),證明性質(zhì)1.由定義得,即:.2.若,則3.同理,利用定義可證明仍是等比數(shù)列,公比為．問題探究三怎樣利用等比數(shù)列的性質(zhì)重點、難點知識★▲●活動一初步運用,形成思維.例1.公比為2的等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),且a3a11＝16,則log2a10＝()A．4B．5C．6D．7答案:B.【知識點:等比關(guān)系的確定；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】●活動二能力提升,完善思維.例2.已知是等比數(shù)列,且,求.答案:5.【知識點:等比關(guān)系的確定；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】例3.已知等差數(shù)列的第二項為8,前十項的和為185,從數(shù)列中,依次取出第2項、第4項、第8項、……、第項按原來的順序排成一個新數(shù)列,求數(shù)列的通項公式.答案:.【知識點:等比關(guān)系的確定；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】3．課堂總結(jié)(對課堂重點、難點知識進行梳理和歸納)【知識梳理】1.如果a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項．即:G是a與b的等比中項?a,G,b成等比數(shù)列?G2＝ab.2.若為等比數(shù)列,且k＋l＝m＋n(k,l,m,n∈N*),則．3.相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即仍是等比數(shù)列,公比為．【重難點突破】1.只有當(dāng)同號,即時,才有等比中項且有兩個,它們互為相反數(shù),若,沒有等比中項.2.等比數(shù)列中共所有證明都要結(jié)合定義,從而進行推理,論證.3.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時,要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q,則”,可以減少運算量,提高解題速度．4.在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時,要注意性質(zhì)成立的前提條件,有時需要進行適當(dāng)變形．此外,解題時注意設(shè)而不求思想的運用．隨堂檢測一、選擇題1.4與9的等比中項為（）A.6B.-6C.±6D.36答案:C.解析:【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì)】假設(shè)等比數(shù)列{an},,求它們的等比中項即,由題意可知,故,即4與9的等比中項為±6.2.等比數(shù)列{an}中,和是方程x2+6x+2=0的兩根,則=（）A.B.C.D.答案:C.解析:【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì),根與系數(shù)的關(guān)系】由方程可知,因為,所以=3.已知數(shù)列是等比數(shù)列,是1和3的等差中項,則=（）A.16B.C.2D.4答案:D.解析:【知識點:等比數(shù)列性質(zhì)】更多由題意可知=2,所以4.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且滿足:,則數(shù)列的前9項之和為______．答案:9.解析:【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì),對數(shù)運算性質(zhì)】∵an＞0,且．∴．故答案為:9．5.已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,,則．答案:.解析:【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì),等比關(guān)系的確定；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】由等比數(shù)列的性質(zhì)知,,,成等比數(shù)列,所以=,故答案為.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破一、選擇題1．已知-9,,,-1成等差數(shù)列,-9,,,,-1成等比數(shù)列,則的值為（）A.8B.-8C.D.答案:B.解析：【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的性質(zhì)】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,有?9+3d=?1,b2=9,因為是第三項,與第一項同號,所以d=,b2=-3,∴．2.已知等差數(shù)列的首項,公差,且是與的等比中項,則（）A.-1B.1C.-2D.2答案:B.解析：【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列通項公式】由是與的等比中項,得=?,即(+d)2=(+3d),

又=1,∴（d+1）2=3d+1,又d≠0,解得:d=1．故選:B．3.在等比數(shù)列中,若,,則該數(shù)列前五項的積為（）A.B.C.D.1答案:D.解析：【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì)】∵等比數(shù)列{an}中,,,∴,∴q=3,∴該數(shù)列前五項的積=q1+2+3+4==1．故選D4．已知等比數(shù)列滿足,,則（）A.2B.1C.D.答案:C.解析：【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的通項公式】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵,,∴()2×q6=4(q3?1),

化為q3=8,解得q=2則a2=×2=．故選:C．二、填空題1.在等差數(shù)列和等比數(shù)列中,已知,那么滿足的的所有取值構(gòu)成的集合是_________.答案:{3,5}解析：【知識點:等比關(guān)系的確定；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力】∵在等差數(shù)列中,=-8,=-2,∴d=-=-2+8=6,∴an=-8+（n-1）×6=6n-14,∵等比數(shù)列中,b1=1,b2=2,∴q==2,∴,∵,∴6n-14=2n-1,解得n=3或n=5,∴滿足的n的所有取值構(gòu)成的集合是{3,5}．2.設(shè)兩個方程、的四個根組成以2為公比的等比數(shù)列,則_______．答案：見解析解析：【知識點:等比數(shù)列性質(zhì),根與系數(shù)關(guān)系】設(shè)的根為,由韋達定理可得；設(shè)的根為,可得,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),可設(shè)此數(shù)列為則有,又因為可得,,,能力型師生共研一、選擇題1.已知等比數(shù)列中,為方程x2－10x＋16＝0的兩根,則的值為（）A.32B.64C.256D.±64答案:D解析:【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì)】2.已知等比數(shù)列的前項和為,滿足,則此數(shù)列的公比為（）A.B.C.D.答案:B解析:【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì)】∵=2S4+3,=2S5+3,即2S4=-3,2S5=-3∴2S5-2S4=-3-（-3）=-=2,即3=∴3=q解得q=3,故選B3.若a,b是函數(shù)的兩個不同的零點,且,-2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則的值等于（）A.6B.7C.8D.9答案:D.解析:【知識點:等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力,運算求解能力,應(yīng)用意識】由題意可得:a+b=p,ab=q,∵p＞0,q＞0,可得a＞0,b＞0,當(dāng),-2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時,-2必為等比中項,故ab=q=4,．當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時,-2必不是等差中項,當(dāng)a是等差中項時,,解得a=1,b=4；當(dāng)是等差中項時,=a-2,解得a=4,b=1,綜上所述,a+b=p=5,所以p+q=9,選D．4.設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為,且,若,則（）A.64或120B.256C.120D.64答案:C.解析:【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì)】∵,∴0＜q＜1,∵,∴和為方程x2-20x+64=0的兩根,∵an＞0,0＜q＜1,∴＞,∴=16,=4,∴q=,

∴=64,=32,=16,=8,∴S4=+++=64+32+16+8=120,故選:C探究型多維突破一、填空題1.如果數(shù)列a1,,,…,,…是首項為1,公比為-的等比數(shù)列,則等于________．答案：32.解析：【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的通項公式】由題意可得＝(n≥2),所以＝－,＝(－)2,＝(－)3,＝(－)4,將上面的4個式子兩邊相乘得＝＝32,又,所以＝32.2.已知數(shù)列的通項公式為,數(shù)列的通項公式為,設(shè),在數(shù)列中,,則實數(shù)的取值范圍是_______.答案：見解析解析：【知識點:等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)學(xué)思想:推理論證能力,運算求解能力,應(yīng)用意識】因為,所以是最小項,所以時遞減,時遞增,而數(shù)列是遞減數(shù)列,數(shù)列是遞增數(shù)列,當(dāng)時,有,即,當(dāng)時,必有,即,所以實數(shù)的取值范圍是．自助餐一、選擇題1.在等比數(shù)列中,,則（）A.B.C.D.答案:C.解析：【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的通項公式】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,而,所以=2,=3或=3,=2.因為=q10,所以q10==或=,所以=q10=或.2.設(shè)為等比數(shù)列的前項和,,則公比（）A.B.C.1或D.-1或答案:C.解析：【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的通項公式】因為,所以a1+a2+a3=2a3,求得q=1或q=,選C3.在正項等比數(shù)列中,,是方程3x2-11x+9=0的兩個根,則=（）A.B.C.D.答案:C.解析：【知識點:等比數(shù)列的性質(zhì),根與系數(shù)關(guān)系】∵是方程3x2-11x+9=0的兩個根,∴,又數(shù)列是等比數(shù)列,則,即,舍去．故選C4.已知等比數(shù)列的首項公比,則（）A.50B.35C.55D.46答案:C.解析：【知識點:等比數(shù)列性質(zhì),對數(shù)運算性質(zhì)】∵是等比數(shù)列,公比q=2∴,∴,故選C.5.已知公差不為零的等差數(shù)列與公比為的等比數(shù)列有相同的首項,同時滿足,,成等比,,,成等差,則()A.B.C.D.答案:C.解析：【知識點:等差數(shù)列性質(zhì),等比數(shù)列性質(zhì),等比數(shù)列的通項公式】設(shè)數(shù)列的首項為,等差數(shù)列的公差為,,將,,代入得,化簡得,解得,代入（1）式得.6.已知下列命題①,則成等比數(shù)列；②若為等差數(shù)列,且常數(shù),則數(shù)列為等比數(shù)列；③若為等比數(shù)列,且常數(shù),則數(shù)列為等比數(shù)列；④常數(shù)列既為等差數(shù)列,又是等比數(shù)列.其中,真命題的個數(shù)為（）A．1個B．2個C．3個D．4個答案:A.解析：【知識點:等差數(shù)列,等比數(shù)列】在①中,b2=ac,當(dāng)b=c=0時,a,b,c不成等比數(shù)列,故①錯誤；

②若{an}為等差數(shù)列,且常數(shù)c＞0,則,

∴數(shù)列為等比數(shù)列,故②正確；

③若{an}為等比數(shù)列,且常數(shù)c＞0,則,不是常數(shù),

∴等比數(shù)列的性質(zhì)得數(shù)列不為等比數(shù)列,故③錯誤；④由0構(gòu)成的常數(shù)列為等差數(shù)列,但不是是等比數(shù)列，故④錯誤.7.對于數(shù)列{an},若滿足是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,則等于（）A.B.299C.D.答案:D.解析：【知識點:等比數(shù)列性質(zhì),等比數(shù)列通項公式】根據(jù)題意:=而是首項為1,公比為2的等比數(shù)列∴,∴

∴==1×2×22×…×299=2（1+2+…+99）,而1+2+…+99=4950

∴=24950故答案為:D二、填空題1.在等比數(shù)列中,若,,則的值為______．答案:.解析：【知識點:等比數(shù)列性質(zhì)】由等比數(shù)列的性質(zhì)得:==9,∴=3或=-3,若=3,則==-27,不存在．故答案為:-3．2.在數(shù)列中,已知,且數(shù)列是等比數(shù)列,則______．答案：見解析解析：【知識點:等比數(shù)列】數(shù)列中第二項為,第三項為,所以公比為3,.3.已知等比數(shù)列中,,且,公比,通項公式=_____.答案:.解析：【知識點:等比數(shù)列】由題設(shè)可知,2a1q3?3