《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》教學設計

1/12.4平面向量數(shù)量積2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義（劉季梅）一、教學目標（一）核心素養(yǎng)由具體的功的概念到向量的數(shù)量積，再到共線、垂直時的數(shù)量積，使學生學習從特殊到一般，再由一般到特殊的認知規(guī)律，體會數(shù)形結(jié)合思想、類比思想，體驗法則學習研究的過程，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣及良好的學習習慣.（二）學習目標1.會算一個向量在另一個向量上的投影，會運用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)、運算律和幾何意義.2.以物體受力做功為背景引入向量數(shù)量積的概念，從數(shù)和形兩個方面引導學生對向量數(shù)量積的定義進行探究.通過作圖分析，使學生明確向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法的聯(lián)系與區(qū)別.（三）學習重點1.平面向量數(shù)量積的概念和幾何意義.2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律.（四）學習難點1.平面向量數(shù)量積的概念及運算律的理解.2.平面向量數(shù)量積的應用.二、教學設計（一）課前設計1.預習任務（1）讀一讀：閱讀教材第103頁至105頁，填空：①已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a||b|叫做a與b的數(shù)量積或（內(nèi)積），記作ab，即.②|a|(|b|)叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.③；a與b同向；a與b反向.④平面向量數(shù)量積的運算律：；=；.2.預習自測（1）若，則a與b的夾角為（）A.0 B. C. D.【答案】B（2）已知，，a與b的夾角為，則a與b的數(shù)量積為（）A.3 B. C. D.【答案】C（3）已知a與b的數(shù)量積為，且，a與b的夾角為，則b的長度為（）A.2 B. C. D.【答案】D（二）課堂設計1.知識回顧（1）已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a||b|叫做a與b的數(shù)量積或（內(nèi)積），記作ab，即.（2)|a|(|b|)叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.（3）當a與b同向時，；當當a與b反向時，；；；；.（4）平面向量數(shù)量積的運算律：；=；.2.問題探究探究一平面向量數(shù)量積的概念和幾何意義●活動①引出并理解向量數(shù)量積的概念Fs如圖，如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，其中是F與s的夾角，請回答以下問題：（搶答）Fs（1）力F所做的功W=.（2）公式中的F、s、W是矢量還是標量？，F(xiàn)、s是矢量，W是標量.這給我們一個啟示，我們可以把“功”看成是F與s這兩個向量的一種運算的結(jié)果.為此，我們引入向量“數(shù)量積”的概念：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a||b|叫做a與b的數(shù)量積或（內(nèi)積），記作ab，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即.注：向量的數(shù)量積為數(shù)量而非向量，符號由的符號來定；ab中的“”不能用“×”代替.【設計意圖】以物體受力做功為背景，引出向量數(shù)量積的概念，感受數(shù)學的實用性，體會概念的得出過程.●活動②探究向量數(shù)量積的幾何意義對于，是a與b的夾角，其中（）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.如圖，.AAOBba按照投影的定義，非零向量b在a方向上的投影為，其具體情況，請借助下面的圖形進行分析并填空.（舉手回答）的范圍=<<=<<=OOABab圖形AABObaaABOABOabBAOabOAOABabb在a方向上的投影正數(shù)；正數(shù)；0；負數(shù)；負數(shù).由向量投影的定義，我們可以得到的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與b在a方向上的投影的乘積.填空：（搶答）由，得當為銳角時，_____0，且_____；當為鈍角時，_____0，且_____；（用不等號填空）當=時，_______；當=時，_______；當=時，_______.>；≠；<；≠.；；0.【設計意圖】從圖形的角度引導學生對投影的概念和向量數(shù)量積的幾何意義進行探究.通過數(shù)形結(jié)合，使學生明確向量的數(shù)量積的概念.探究二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)●活動①歸納總結(jié)數(shù)量積的簡單性質(zhì)已知a與b是兩個非零向量，是a與b的夾角，請按要求填空.（集體口答）________；a與b同向________；a與b反向________.0；；.特別地：，從而有.【設計意圖】結(jié)合向量數(shù)量積的概念和幾何意義，引導學生總結(jié)當兩個向量具有特殊位置關(guān)系時，向量數(shù)量積的特征，從而讓學生掌握本節(jié)課的重點.●活動②公式變形，提煉性質(zhì)由向量數(shù)量積公式易得：，當且僅當a與b共線且同向時，等號成立.那么通過數(shù)量積公式變形，可以來求哪些量？（舉手回答）；.也就是可以求向量的模長和向量夾角的余弦值.【設計意圖】通過對數(shù)量積公式觀察和變形提煉性質(zhì)，從而體會向量數(shù)量積的應用.探究三平面向量數(shù)量積的運算律●活動①探究平面向量數(shù)量積的運算律你能證明下列平面向量數(shù)量積的運算律嗎？（舉手回答）（1）；（2）=；（3）.證明：（1）∵，又∵，∴.（2）∵，，BOACaBOACabc∴=.（3）如圖，任取一點，作，，.∵（即）在方向上的投影等于在方向上的投影的和，即：.∴.∴.∴.注：指向量a與b的夾角.提示：，如當時，就不成立不一定等于，因為表示一個與共線的向量，表示一個與共線的向量，而與不一定共線.【設計意圖】以向量數(shù)量積的概念和幾何意義為基礎(chǔ)探究向量數(shù)量積的運算律.●活動②簡單應用數(shù)量積的運算律證明例1對任意，恒有，對任意向量，是否也有成立？ 【知識點】向量數(shù)量積的運算律的應用. 【解題過程】. 【思路點撥】按照向量數(shù)量積的分配律打開，再使用交換律化簡. 【答案】成立同類訓練對任意，恒有，對任意向量，是否也有成立？ 【知識點】向量數(shù)量積的運算律的應用. 【解題過程】. 【思路點撥】按照向量數(shù)量積的分配律打開，再使用交換律化簡. 【答案】成立.【設計意圖】簡單應用向量數(shù)量積的運算律.●活動③鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例2（1）已知，a與b的夾角，求；（2）已知，且，求a與b的夾角. 【知識點】向量數(shù)量積的定義和性質(zhì). 【解題過程】（1）；（2）∵，又∵，∴. 【思路點撥】熟悉向量數(shù)量積公式以及公式變形. 【答案】（1）；（2）a與b的夾角為.同類訓練填空：（1）已知，且，則a與b的夾角為___________；（2）已知，a在b方向上的投影為，則___________. 【知識點】向量數(shù)量的性質(zhì). 【解題過程】（1）∵，又∵，∴；（2）. 【思路點撥】明確向量數(shù)量積的幾何意義和性質(zhì). 【答案】（1）；（2）.【設計意圖】掌握向量數(shù)量積的相關(guān)計算、投影的計算、向量數(shù)量積的性質(zhì)的相關(guān)計算.●活動④強化提升，靈活應用 例3已知，a與b的夾角，求. 【知識點】向量數(shù)量積的運算律. 【解題過程】. 【思路點撥】借助向量數(shù)量積運算律. 【答案】.同類訓練設已知m與n是兩個單位向量，其夾角，求的模長. 【知識點】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律. 【解題過程】. 【思路點撥】借助向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律. 【答案】7.【設計意圖】掌握并熟悉向量數(shù)量積的運算律所涉及的相關(guān)應用.例4已知，且a與b不共線.為何值時，向量與互相垂直. 【知識點】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律 【解題過程】∵向量與互相垂直，∴，即：，，∴，解得：. 【思路點撥】兩向量垂直其數(shù)量積為. 【答案】時，向量與互相垂直.同類訓練已知，，且，則向量a與b的夾角為多少？ 【知識點】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律. 【解題過程】∵，∴，又∵，∴，解得：.又∵，∴. 【思路點撥】兩向量垂直其數(shù)量積為. 【答案】.【設計意圖】向量垂直的相關(guān)應用.3.課堂總結(jié) 知識梳理（1）已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a||b|叫做a與b的數(shù)量積或（內(nèi)積），記作ab，即.（2)|a|(|b|)叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.（3）當a與b同向時，；當當a與b反向時，；；；；.（4）平面向量數(shù)量積的運算律：；=；. 重難點歸納（1）掌握數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)及運算律；（2）能應用數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律解決問題；（3）了解用平面向量數(shù)量積可以解決長度、角度、垂直、共線等問題.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破 1.已知a，b滿足，，且，則a與b的夾角為（） A. B. C. D. 【知識點】向量數(shù)量積的性質(zhì). 【解題過程】∵，又∵，∴. 【思路點撥】根據(jù)數(shù)量積公式的變形求向量夾角. 【答案】C.2.若，則為（） A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等邊三角形 D.直角三角形 【知識點】向量數(shù)量積的運算律和性質(zhì). 【解題過程】∵，∴，故為直角三角形. 【思路點撥】數(shù)量積分配律的逆運算和數(shù)量積的性質(zhì). 【答案】D.3.已知，a在b方向上的投影為，則（） A. B. C. D. 【知識點】向量數(shù)量積的幾何意義. 【解題過程】∵a在b方向上的投影為，∴，∴. 【思路點撥】投影的定義和數(shù)量積的幾何意義. 【答案】B.4.若非零向量a與b的夾角為，，則向量的長度為（） A. B. C. D. 【知識點】向量數(shù)量積的運算律和數(shù)量積的概念. 【解題過程】由已知，，∴.解得：或（舍）. 【思路點撥】向量數(shù)量積的運算律. 【答案】A.5.已知向量a與b滿足，，且，則與夾角的余弦值為（） A. B. C. D. 【知識點】向量數(shù)量積的性質(zhì). 【解題過程】. 【思路點撥】向量數(shù)量積公式變形求向量的夾角. 【答案】C.6.若向量a與b滿足，，，則（） A.1 B. C. D. 【知識點】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律. 【解題過程】∵，∴又∵，∴. 【思路點撥】根據(jù)向量數(shù)量積公式變形求長度結(jié)合數(shù)量積的運算律. 【答案】D.能力型師生共研7.若向量a與b滿足，，，則（） A.1 B. C. D. 【知識點】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律. 數(shù)學思想：方程消元的思想 【解題過程】由已知：，∴，即，又，∴. 【思路點撥】根據(jù)垂直向量的數(shù)量積為0和消元解方程組. 【答案】B.8.已知，，a與b的夾角是，，，問實數(shù)取何值時，. 【知識點】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律. 數(shù)學思想：方程的思想 【解題過程】由已知：，即，即，解得：. 【思路點撥】根據(jù)垂直向量的數(shù)量積為0和消元解方程組. 【答案】.探究型多維突破9.已知，，a與b的夾角是，計算向量在向量方向上的投影. 【知識點】投影的概念和表示，數(shù)量積的運算律. 數(shù)學思想：方程的思想 【解題過程】∵，，∴所求投影為：. 【思路點撥】表示出投影進而求值. 【答案】.10.平面內(nèi)有四點，記若且試判斷△ABC的形狀，并求其面積. 【知識點】數(shù)量積的運算律，三角形的面積. 數(shù)學思想：方程的思想，數(shù)形結(jié)合 【解題過程】∵a+b+c=0，∴a(a+b+c)=0，∴｜a｜2+a·b+a·c=0又∵a·b=a·c=-1，∴|a|2=2，同理|b|2=|c|2，又，∴，∴同理，，∴△ABC為等邊三角形. 【思路點撥】觀察聯(lián)想從而對式子進行合理處理. 【答案】△ABC為等邊三角形，.自助餐1.設向量a與b滿足，則（） A.1 B. C. D. 【知識點】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律. 數(shù)學思想：方程組消元的思想. 【解題過程】由，得：，，解得：. 【思路點撥】根據(jù)向量數(shù)量積公式變形求長度結(jié)合數(shù)量積的運算律. 【答案】A.2.已知兩個非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為（）A. B. C. D. 【知識點】向量數(shù)量積的性質(zhì).【解題過程】因為a⊥(2a＋b)，所以a(2a＋b)＝0，得到ab＝－2|a|2，設a與b的夾角為θ，則＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－2|a|2,4|a|2)＝－eq\f(1,2)，又0≤θ≤π，所以θ＝. 【思路點撥】根據(jù)數(shù)量積公式的變形表示向量的夾角. 【答案】C.3.設a，b是向量.則“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的________條件. 【知識點】向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，充分條件與必要條件.【解題過程】|a＋b|＝|a－b|?(a＋b)2＝(a－b)2?ab＝0，∴|a＋b|＝|a－b||a|＝|b|；|a|＝|b|ab＝0，從而得不到|a＋b|＝|a－b|，因此“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分又不必要條件. 【思路點撥】明確|a＋b|＝|a－b|的等價變形. 【答案】既不充分也不必要.4.已知，，且與的夾角，則________. 【知識點】向量數(shù)量積的運算律和數(shù)量積的概念. 【解題過程】由已知，，∴. 【思路點撥】向量數(shù)量積的運算律. 【答案】.5.已知中，，，，求. 【知識點】向量數(shù)量積的概念. 【解題過程】由已知，. 【思路點撥】找準向量的夾角. 【答案】.6.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，（1）求a與b的夾角θ；（2）求|a＋b|；（3）若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面積. 【知識點】向量數(shù)量積的性質(zhì)、運算律，解三角形.【解題過程】（1）∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4ab－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4ab－27＝61，∴ab＝－6，∴＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又，∴.（2）|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋