2025屆高考數(shù)學統(tǒng)考二輪復習增分強化練二十八直線與圓理含解析

PAGE增分強化練(二十八)一、選擇題1．直線(1－2a)x－2y＋3＝0與直線3x＋y＋2a＝0垂直，則實數(shù)A．－eq\f(5,2) B.eq\f(7,2)C.eq\f(5,6) D.eq\f(1,6)解析：∵直線(1－2a)x－2y＋3＝0與直線3x＋y＋2a＝0垂直，∴3(1－2a)－2＝0，∴a＝eq\f(1,6)，故選D.答案：D2．過點(1，－1)且與直線x－2y＋1＝0平行的直線方程為()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．x－2y－3＝0 D．2x＋y－1＝0解析：由題意得所求直線的斜率為eq\f(1,2)，又直線過點(1，－1)，故所求直線的方程為y＋1＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－3＝0.故選C.答案：C3．已知直線l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，則實數(shù)mA．－7 B．－1C．－1或－7 D.eq\f(13,3)解析：當m＝－3時，兩條直線分別化為：2y＝7，x＋y＝4，此時兩條直線不平行；當m＝－5時，兩條直線分別化為：x－2y＝10，x＝4，此時兩條直線不平行；當m≠－3，－5時，兩條直線分別化為：y＝－eq\f(3＋m,4)x＋eq\f(5－3m,4)，y＝－eq\f(2,5＋m)x＋eq\f(8,5＋m)，∵兩條直線平行，∴－eq\f(3＋m,4)＝－eq\f(2,5＋m)，eq\f(5－3m,4)≠eq\f(8,5＋m)，解得m＝－7.綜上可得：m＝－7.故選A.答案：A4．在直線3x－4y－27＝0上到點P(2,1)距離最近的點的坐標是()A．(5，－3) B．(9,0)C．(－3,5) D．(－5,3)解析：依據題意可知：所求點即為過P點垂直于已知直線的直線與已知直線的交點，因為已知直線3x－4y－27＝0的斜率為eq\f(3,4)，所以過P點垂直于已知直線的斜率為－eq\f(4,3)，又P(2,1)，則該直線的方程為：y－1＝－eq\f(4,3)(x－2)即4x＋3y－11＝0，與已知直線聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－11＝0①,3x－4y－27＝0②))①×4＋②×3得25x＝125，解得x＝5，把x＝5代入①解得y＝－3，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝－3))，所以直線3x－4y－27＝0上到點P(2,1)距離最近的點的坐標是(5，－3)．故選A.答案：A5．圓x2＋y2＝8與圓x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦長為()A．8 B．4C．2 D．1解析：兩圓方程作差得x＝2，當x＝2時，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y＝±2，即兩圓的交點坐標為A(2,2)，B(2，－2)，則|AB|＝2－(－2)＝4，故選B.答案：B6．過點(2,1)的直線中被圓(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦長最大的直線方程是()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋5＝0解析：∵過點(2,1)的直線中被圓(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦長最大的直線方程經過圓心，∴其直線方程為過點(2,1)和圓心(1，－2)的直線，∴其方程為：eq\f(y＋2,x－1)＝eq\f(1＋2,2－1)，整理，得3x－y－5＝0.故選A.答案：A7．圓C：x2＋y2－2x＝0被直線y＝eq\r(3)x截得的線段長為()A．2 B.eq\r(3)C．1 D.eq\r(2)解析：圓C：x2＋y2－2x＝0的圓心為(1,0)，半徑為1，圓心到直線y＝eq\r(3)x的距離為d＝eq\f(|\r(3)|,\r(\r(3)2＋1))＝eq\f(\r(3),2)，弦長為2·eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝1，故選C.答案：C8．已知直線l：y＝kx＋1與圓O：x2＋y2＝2相交于A，B兩點，則“k＝1”是“∠AOB＝120°”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：由題意得圓心(0,0)到直線l：y＝kx＋1的距離為d＝eq\f(1,\r(1＋k2))，若∠AOB＝120°，則有eq\f(1,\r(1＋k2))＝eq\r(2)·eq\f(1,2)，該方程等價于k2＝1即k＝±1，若k＝1時，則∠AOB＝120°，但∠AOB＝120°時，k＝－1或k＝1，故選A.答案：A9．(2024·青島模擬)已知圓C：x2＋y2＝1和直線l：y＝k(x＋2)，在(－eq\r(3)，eq\r(3))上隨機選取一個數(shù)k，則事務“直線l與圓C相交”發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：直線l方程為kx－y＋2k＝0，當直線l與圓C相切時可得eq\f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\f(\r(3),3)，∴直線l與圓C相交時，k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，∴所求的概率P＝eq\f(\f(2\r(3),3),2\r(3))＝eq\f(1,3).故選C.答案：C10．(2024·威海模擬)已知圓(x－2)2＋y2＝1上的點到直線y＝eq\r(3)x＋b的最短距離為eq\r(3)，則b的值為()A．－2或2 B．2或4eq\r(3)＋2C．－2或4eq\r(3)＋2 D．－4eq\r(3)－2或2解析：由圓(x－2)2＋y2＝1，可得圓心坐標為(2,0)，半徑r＝1，設圓心(2,0)到直線y＝eq\r(3)x＋b的距離為d，則d＝eq\f(|2\r(3)＋b|,\r(3＋1))，因為圓(x－2)2＋y2＝1上的點到直線y＝eq\r(3)x＋b的最短距離為eq\r(3)，所以d－r＝eq\r(3)，即eq\f(|2\r(3)＋b|,\r(3＋1))－1＝eq\r(3)，解得b＝2或b＝－4eq\r(3)－2，故選D.答案：D11．圓C1：(x－1)2＋(y－3)2＝9和C2：x2＋(y－2)2＝1，M，N分別是圓C1，C2上的點，P是直線y＝－1上的點，則|PM|＋|PN|的最小值是()A．5eq\r(2)－4 B.eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2) D.eq\r(17)解析：圓C1關于y＝－1的對稱圓的圓心坐標A(1，－5)，半徑為3，圓C2的圓心坐標(0,2)，半徑為1，由圖象(圖略)可知當P，C2，A，三點共線時，|PM|＋|PN|取得最小值，|PM|＋|PN|的最小值為圓A與圓C2的圓心距減去兩個圓的半徑和，即|AC2|－3－1＝eq\r(1＋49)－4＝5eq\r(2)－4.故選A.答案：A12．設過點P(－2,0)的直線l與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的兩個交點為A，B，若8eq\o(PA,\s\up8(→))＝5eq\o(AB,\s\up8(→))，則|AB|＝()A.eq\f(8\r(5),5) B.eq\f(4\r(6),3)C.eq\f(6\r(6),5) D.eq\f(4\r(5),3)解析：由題意，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為x＝my－2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－2y＋1＝0,x＝my－2))，得(m2＋1)y2－(8m＋2)y＋13＝0，則y1＋y2＝eq\f(8m＋2,m2＋1)，y1y2＝eq\f(13,m2＋1)，又8eq\o(PA,\s\up8(→))＝5eq\o(AB,\s\up8(→))，所以8(x1＋2，y1)＝5(x2－x1，y2－y1)，故8y1＝5(y2－y1)，即y2＝eq\f(13,5)y1，代入y1y2＝eq\f(13,m2＋1)得：yeq\o\al(2,1)＝eq\f(5,m2＋1)，故yeq\o\al(2,2)＝eq\f(169,25)×eq\f(5,m2＋1)，又(y1＋y2)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8m＋2,m2＋1)))2，即yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＋2y1y2＝eq\f(194,25)×eq\f(5,m2＋1)＋eq\f(26,m2＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8m＋2,m2＋1)))2，整理得：m2－40m＋76＝0，解得m＝2或m＝38，又|AB|＝eq\r(1＋m2)·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝2eq\r(\f(3m2＋8m－12,m2＋1))，當m＝2時，|AB|＝eq\f(8\r(5),5)；當m＝38時，|AB|＝eq\f(8\r(5),5).綜上，|AB|＝eq\f(8\r(5),5).故選A.答案：A二、填空題13．若直線(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0與(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0相互垂直，則a解析：∵直線(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0與(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0相互垂直，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，∴(a－1)(a＋2－2a－3)＝0，∴(a－1)(a＋1)＝0，∴a＝1或a＝－1.答案：±114．已知圓C與y軸相切，圓心在x軸的正半軸上，并且截直線x－y＋1＝0所得的弦長為2，則圓C的標準方程是________．解析：設圓心為(t,0)，且t>0,∴半徑為r＝|t|＝t，∵圓C截直線x－y＋1＝0所得的弦長為2,∴圓心到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(|t－0＋1|,\r(2))＝eq\r(t2－1)，∴t2－2t－3＝0，∴t＝3或t＝－1(舍)，故t＝3，∴(x－3)2＋y2＝9.答案：(x－3)2＋y2＝915．已知圓x2＋y2＝9被直線mx＋y－2m－1＝0所截得弦長為3eq\r(2)，則實數(shù)m的值為________．解析：因為圓x2＋y2＝9的圓心是(0,0)，半徑為3，依據弦長為3eq\r(2)，所以圓心到直線的距離為d＝eq\r(9－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(2),2)，所以d＝eq\f(|－2m－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(3\r(2),2)，解得m＝1或m＝7.答案：1或716．已知點P(－1,2)及圓(x－3)2＋(y－4)2＝4，一光線從