2024-2025學年高中數學第一講不等式和絕對值不等式二絕對值不等式1絕對值三角不等式學案含解析新人教A版選修4-5

PAGE二肯定值不等式1肯定值三角不等式考綱定位重難突破1.理解定理1及其幾何說明，理解定理2.2.會用定理1、定理2解決比較簡潔的問題.重點：肯定值的幾何意義．難點：1.肯定值三角不等式及其幾何意義．2.會用肯定值三角不等式的兩特性質定理證明簡潔的含肯定值的不等式以及解決含肯定值的不等式的最值問題.授課提示：對應學生用書第8頁[自主梳理]一、肯定值的幾何意義1．實數a的肯定值|a|表示數軸上坐標為a的點A到原點的距離．2．對于隨意兩個實數a，b，設它們在數軸上的對應點分別為A，B，那么|a－b|的幾何意義是數軸上A，B兩點之間的距離，即線段AB的長度．二、肯定值三角不等式1．假如a，b是實數，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當ab≥0時，等號成立．2．假如把上面的肯定值三角不等式中的實數a，b換成向量a，b，則它的幾何意義是三角形兩邊之和大于第三邊．三、三個實數的肯定值不等式假如a，b，c是實數，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號成立．[雙基自測]1．若|a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b為實數，則有()A．ab<0 B．ab>0C．ab≥0 D．以上都不對解析：若|a＋b|＝|a|＋|b|，則ab≥0，選C.答案：C2．若|x－a|<h，|y－a|<k，則下列不等式肯定成立的是()A．|x－y|<2h B．|x－y|<2kC．|x－y|<h＋k D．|x－y|<|h－k|解析：|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|<h＋k，故選C.答案：C3．函數y＝|x－1|＋|x－5|的最小值為________，此時x的取值范圍是________．解析：|x－1|＋|x－5|＝|x－1|＋|5－x|≥|x－1＋5－x|＝4，當且僅當(x－1)(5－x)≥0，即1≤x≤5時等號成立．答案：4[1,5]4．不等式eq\f(|a＋b|,|a|－|b|)≥1成立的充要條件是________．解析：eq\f(|a＋b|,|a|－|b|)≥1?eq\f(|a＋b|－|a|－|b|,|a|－|b|)≥0?(|a|－|b|)[|a＋b|－(|a|－|b|)]≥0.而|a＋b|≥|a|－|b|，∴|a＋b|－(|a|－|b|)≥0.∴|a|－|b|>0，即|a|>|b|.答案：|a|>|b|授課提示：對應學生用書第9頁探究一與肯定值不等式有關的推斷[例1]若x＜5，n∈N，則下列不等式：①|xlgeq\f(n,n＋1)|＜5|lgeq\f(n,n＋1)|；②|x|lgeq\f(n,n＋1)＜5lgeq\f(n,n＋1)；③xlgeq\f(n,n＋1)＜5|lgeq\f(n,n＋1)|；④|x|lgeq\f(n,n＋1)＜5|lgeq\f(n,n＋1)|.其中，能夠成立的有________．[解析]∵0＜eq\f(n,n＋1)＜1.∴l(xiāng)geq\f(n,n＋1)＜0.由x＜5，并不能確定|x|與5的關系，∴可以否定①②③，而|x|lgeq\f(n,n＋1)＜0，故④成立．[答案]④與肯定值不等式相關的推斷方法與技巧(1)推斷一個不等式成立與否，往往是對影響不等號的因素進行分析，如一個數的正、負、零等，數(或式子)的積、平方、取倒數等都對不等號產生影響，留意考查這些因素在不等式中的作用，一個不等式的成立與否也就比較好推斷了．(2)假如對不等式不能干脆推斷，往往須要對不等式化簡整理或變形后再利用肯定值不等式進行推斷．1．|x－A|<eq\f(ε,2)，|y－A|<eq\f(ε,2)是|x－y|<ε的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：若|x－A|<eq\f(ε,2)，|y－A|<eq\f(ε,2)，則有|x－y|＝|x－A＋A－y|＝|(x－A)＋(A－y)|≤|x－A|＋|y－A|<eq\f(ε,2)＋eq\f(ε,2)＝ε.∴|x－A|<eq\f(ε,2)，|y－A|<eq\f(ε,2)是|x－y|<ε成立的充分條件．反之，若|x－y|<ε，則可以取|x－A|<eq\f(3,4)ε，|y－A|<eq\f(ε,4)使得條件|x－A|<eq\f(ε,2)，|y－A|<eq\f(ε,2)得不到滿意．因此，我們有|x－A|<eq\f(ε,2)，|y－A|<eq\f(ε,2)是|x－y|<ε成立的充分不必要條件，故選擇A.答案：A探究二含肯定值不等式的證明[例2]求證：eq\f(|a2－b2|,2|a|)≥eq\f(|a|,2)－eq\f(|b|,2).[證明]法一：①當|a|≤|b|時，由eq\f(|a2－b2|,2|a|)≥0，eq\f(|a|,2)－eq\f(|b|,2)≤0，知不等式成立．②當|a|>|b|時，eq\f(|a2－b2|,2|a|)－(eq\f(|a|,2)－eq\f(|b|,2))＝eq\f(|a|2－|b|2,2|a|)－eq\f(|a|－|b|,2)＝eq\f(|a|－|b|,2)·(eq\f(|a|＋|b|,|a|)－1)＝eq\f(|a|－|b|,2)·|eq\f(b,a)|≥0，即eq\f(|a2－b2|,2|a|)≥eq\f(|a|,2)－eq\f(|b|,2).綜合①②知不等式成立．法二：①當|a|≤|b|時，由eq\f(|a2－b2|,2|a|)≥0，eq\f(|a|,2)－eq\f(|b|,2)≤0，知不等式成立．②若|a|>|b|，左邊＝eq\f(|a＋b||a－b|,2|a|)＝eq\f(|a＋b||a－b|,|a＋b＋a－b|)≥eq\f(|a＋b||a－b|,|a＋b|＋|a－b|)＝eq\f(1,\f(1,|a＋b|)＋\f(1,|a－b|))，∵eq\f(1,|a＋b|)≤eq\f(1,|a|－|b|)，eq\f(1,|a－b|)≤eq\f(1,|a|－|b|)，∴eq\f(1,|a＋b|)＋eq\f(1,|a－b|)≤eq\f(2,|a|－|b|).∴左邊≥eq\f(|a|－|b|,2)＝右邊．由①②知不等式成立．含肯定值不等式的證明題主要分兩類：一類是比較簡潔的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉肯定值轉化為常見的不等式證明，或利用肯定值三角不等式性質定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過適當的添、拆項證明；另一類是綜合性較強的函數型含肯定值的不等式，往往可考慮利用一般狀況成立，則特別狀況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明．2．已知|A－a|<eq\f(s,3)，|B－b|<eq\f(s,3)，|C－c|<eq\f(s,3).求證：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|<s.證明：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|≤|(A－a)＋(B－b)|＋|C－c|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|.因為|A－a|<eq\f(s,3)，|B－b|<eq\f(s,3)，|C－c|<eq\f(s,3)，所以|A－a|＋|B－b|＋|C－c|<eq\f(s,3)＋eq\f(s,3)＋eq\f(s,3)＝s.探究三利用肯定值不等式求最值[例3](1)求函數f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值；(2)求函數f(x)＝|x－1|－|x＋1|的值域．[解析]法一：(1)∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝2，當且僅當(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1時取等號，∴當－1≤x≤1時，函數f(x)＝|x－1|＋|x＋1|取得最小值2.(2)∵||x－1|－|x＋1||≤|(x－1)－(x＋1)|＝2，當且僅當(x－1)(x＋1)≥0，即x≥1或x≤－1時取等號，即－2≤|x－1|－|x＋1|≤2，當x≥1時函數取得最小值－2，當x≤－1時，函數取得最大值2，當－1<x<1時，－2<|x－1|－|x＋1|<2，故函數f(x)的值域為[－2,2]．法二：(1)函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，x<－1，,2，－1≤x≤1，,2x，x>1，))其圖象如圖所示．由圖象可知，當－1≤x≤1時，f(x)min＝2.(2)因為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，x≤－1，,－2x，－1<x≤1，,－2，x>1，))其圖象如圖所示：由圖象可知，f(x)的值域為[－2,2]．對于含有兩個以上肯定值的代數式，通常利用分段探討的方法轉化為分段函數，進而利用分段函數的性質解決相應問題．利用含肯定值不等式的性質定理進行“放縮”，有時也能產生比較好的效果，但這須要精確地處理“數”的差或和，以達到所須要的結果．3．若對隨意實數，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范圍．解析：a<|x＋1|－|x－2|對隨意實數恒成立，∴a<[|x＋1|－|x－2|]min.∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3.∴a<－3.即a的取值范圍為(－∞，－3)．應用肯定值三角不等式求參數的取值范圍[典例]已知函數f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|，若關于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，則實數a的取值范圍是________．[解析]只要|a－1|大于f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|的最小值，則f(x)<|a－1|的解集非空．而f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|＝|2x＋1|＋|3－2x|≥|(2x＋1)＋(3－2x)|＝4，由|a－1|>4，即a－1>4或a－1<－4，解得a>5或a<－3，故a∈(－∞，－3)∪(5，＋∞)．[答案](－∞，－3)∪(5，＋∞)[規(guī)律探究]求不等式方程有解或恒成立時參數的取值范圍．其原理是：先將不等式中的參數分別到不等式的一邊，f(x)<A在集合D上有解?f(x)min<A；f(x)<A在集合D上恒成立?f(x)max<A；f(x)>A在集合D上有解?f(x)max>A；f(x)>A在集合D上恒成立?f(x)min>A.然后通過解不等式求出參數的范圍.[隨堂訓練]對應學生用書第10頁1．若|a－c|<b，則下列不等式不成立的是()A．|a|<|b|＋|c| B．|c|<|b|＋|a|C．b>||c|－|a|| D．b<|a|－|c|解析：∵|a|－|c|≤|a－c|<b≤|b|，∴|a|<|b|＋|c|，故A成立．∵|c|－|a|≤|c－a|＝|a－c|<b≤|b|，∴|c|<|b|＋|a|，故B成立．∵|a|－|c|≤|a－c|，|c|－|a|≤|c－a|，∴||a|－|c||≤|a－c|<b，∴b>||c|－|a||成立，從而C成立，因此只能是D不成立．答案：D2．若1<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，則下列結論中不正確的是()A．logab>logbaB．|loga