華東師大版九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略專題15難點探究專題：解直角三角形應(yīng)用與特殊幾何圖形的綜合壓軸題三種模型全攻略(原卷版+解析)

專題15難點探究專題：解直角三角形應(yīng)用與特殊幾何圖形的綜合壓軸題三種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合】 1【類型二解直角三角形應(yīng)用與特殊四邊形的綜合】 5【類型三解直角三角形應(yīng)用與其他知識的綜合】 11【典型例題】【類型一解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合】例題：（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖①是一種常用于危險區(qū)域提示的告示牌，其主體由兩片長度相等的支撐板組成，通過改變兩片支撐板的夾角的度數(shù)可以調(diào)整告示牌的高度，圖②是告示牌打開后的側(cè)面示意圖，經(jīng)測量支撐板的長度，支撐板與地面的夾角，求點A處到地面的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）

【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）我國紙傘的制作工藝十分巧妙．如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能沿著傘柄滑動．如圖2是傘完全收攏時傘骨的示意圖，此時傘圈已滑動到點的位置，且，，三點共線，，為中點．當(dāng)時，傘完全張開．（參考數(shù)據(jù)：，，

(1)求的長．(2)當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離．2．（2023·河南周口·校聯(lián)考二模）“工欲善其事，必先利其器”，如圖所示的是釣魚愛好者的神器“晴雨傘”，其截面示意圖是軸對稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支桿，用繩子拉直后系在樹干上的點處（），使得，，在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點的高度可控制“晴雨傘”的開合，“晴雨傘”，于點，支桿與樹干的橫向距離．

(1)天晴時打開“晴雨傘”，若，求遮陽寬度．(2)下雨時收攏“晴雨傘”，使由減少到，求點下降的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）【類型二解直角三角形應(yīng)用與特殊四邊形的綜合】例題：（2023春·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某景區(qū)草地上豎立著一個如圖（1）所示的雕塑，現(xiàn)將其中兩個近似大小相同的矩形框架抽象成如圖（2）所示的圖形，矩形可由矩形繞點旋轉(zhuǎn)得到，點在上，延長交于點．連接．

(1)判斷四邊形的形狀并給予證明；(2)若點在水平地面上，與水平地面平行，，求點到水平地面的距離．（結(jié)果精確到．）參考數(shù)據(jù)：【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西九江·九年級統(tǒng)考期中）圖1是某校教學(xué)樓墻壁上文化長廊中的兩幅圖案，現(xiàn)將這兩個正方形轉(zhuǎn)化為平面圖形得到圖2，并測得正方形與正方形的面積相等，且，

(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)求的長．（參考數(shù)據(jù)：）2．（2023春·江西九江·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖①是一個新款水杯，水杯不盛水時如圖放置在桌面上，這樣可以快速晾干杯底，干凈透氣，其主體的側(cè)面示意圖如圖②，此時杯口與桌面的夾角為，四邊形可以看作矩形，點到桌面的距離為，測得，．(1)求的度數(shù)；(2)求的長．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）3．（2022秋·廣西柳州·九年級?？茧A段練習(xí)）“新冠疫情”期間學(xué)校在校門口搭建如圖1所示的遮陽棚，圖2、圖3是遮陽棚支架的示意圖．遮陽棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形構(gòu)成，滑塊可分別沿等長的立柱上下移動，，．（參考數(shù)據(jù)：，，，）

(1)若移動滑塊使，求棚寬的長（精確到）．(2)在遮陽棚內(nèi)安裝如圖4所示的紅外線測溫門（門高），門的頂端應(yīng)與點持平或低于點，試問此時最大為多少度？【類型三解直角三角形應(yīng)用與其他知識的綜合】例題：（2023春·江蘇淮安·九年級校考期中）如圖1是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時的情景，圖是小明鍛煉時上半身由位置運動到位置時的示意圖，并且與地面垂直，已知米，米，，(參考數(shù)據(jù))．

(1)的長為米；(2)若米，求、兩點間的距離精確到米)．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）為更好的宣傳我縣道德模范先進(jìn)事跡，我縣在中央公園專門設(shè)置了“善行義舉榜”展示牌．某校學(xué)雷鋒活動小組參觀時，想要測量此展示牌的高度，他們繪制了該展示牌支架側(cè)面的截面圖，如圖所示，并測得，，，．請求出展示牌最高點A到地面的距離（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，）．

2．（2023春·江西撫州·九年級校考階段練習(xí)）如圖1所示的是一套車牌識別系統(tǒng)，將其抽象成如圖2所示的示意圖，攝像頭可繞點旋轉(zhuǎn)，與地面形成的角度為，立柱與地面垂直，高度為．當(dāng)車牌完全進(jìn)入攝像頭范圍內(nèi)，才能識別車牌號碼，某款小汽車車牌上方距離地面．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：．）

(1)若，求該系統(tǒng)正好能識別該汽車車牌的距離；(2)若的最大值為，求系統(tǒng)能識別該汽車車牌的最大距離．3．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某縣消防大隊到某小區(qū)進(jìn)行消防演習(xí)已知，圖是一輛登高云梯消防車的實物圖，圖是其工作示意圖，起重臂可伸縮，且起重臂可繞點在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動，張角為轉(zhuǎn)動點A距離地面的高度為．(1)當(dāng)起重臂長度為，張角，求云梯消防車最高點距離地面的高度；(2)已知該小區(qū)層高為，若某居民家突發(fā)險情，請問該消防車有效救援能達(dá)到幾層？請說明理由．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）4．（2022秋·山東威?！ぞ拍昙壭Ｂ?lián)考期中）如圖1是超市的手推車，如圖2是其側(cè)面示意圖，已知前后車輪半徑均為，兩個車輪的圓心的連線與地面平行，測得支架，、所在直線與地面的夾角分別為、，．

(1)求扶手前端到地面的距離；(2)手推車內(nèi)裝有簡易寶寶椅，為小坐板，打開后，椅子的支點到點的距離為，，，，求坐板的寬度．（本題答案均保留根號）

專題15難點探究專題：解直角三角形應(yīng)用與特殊幾何圖形的綜合壓軸題三種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合】 1【類型二解直角三角形應(yīng)用與特殊四邊形的綜合】 5【類型三解直角三角形應(yīng)用與其他知識的綜合】 11【典型例題】【類型一解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合】例題：（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖①是一種常用于危險區(qū)域提示的告示牌，其主體由兩片長度相等的支撐板組成，通過改變兩片支撐板的夾角的度數(shù)可以調(diào)整告示牌的高度，圖②是告示牌打開后的側(cè)面示意圖，經(jīng)測量支撐板的長度，支撐板與地面的夾角，求點A處到地面的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）

【答案】點A處到地面的距離約為【分析】在中直接利用正弦求出長即可．【詳解】解：由題意得：在中，，，，，點A處到地面的距離約為．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)，掌握正弦等于對邊與斜邊的比是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）我國紙傘的制作工藝十分巧妙．如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能沿著傘柄滑動．如圖2是傘完全收攏時傘骨的示意圖，此時傘圈已滑動到點的位置，且，，三點共線，，為中點．當(dāng)時，傘完全張開．（參考數(shù)據(jù)：，，

(1)求的長．(2)當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離．【答案】(1)；(2)傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離為．【分析】（1）根據(jù)中點定義即可求出的長；（2）過點作于點,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,然后利用銳角三角函數(shù)可得的長，所以，進(jìn)而可得傘圈沿著傘柄向下滑動的距離．【詳解】（1）為中點，,，；（2）如圖，過點作于點,

,,平分,,,在中，,,，．傘圈沿著傘柄向下滑動的距離為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形的方法．2．（2023·河南周口·校聯(lián)考二模）“工欲善其事，必先利其器”，如圖所示的是釣魚愛好者的神器“晴雨傘”，其截面示意圖是軸對稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支桿，用繩子拉直后系在樹干上的點處（），使得，，在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點的高度可控制“晴雨傘”的開合，“晴雨傘”，于點，支桿與樹干的橫向距離．

(1)天晴時打開“晴雨傘”，若，求遮陽寬度．(2)下雨時收攏“晴雨傘”，使由減少到，求點下降的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）在中利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長即可解答；（2）過點作于點，得，再在中銳角三角函數(shù)的定義可得，最后求出和時的長即可解答．【詳解】（1）解：由對稱性可知，，，在中，，∴，∴，∴，答：遮陽寬度為；（2）解：如圖，過點作于點，

∴，∵，，∴，∴，∴，在中，∵，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴點下降的高度為，答：點下降的高度為．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【類型二解直角三角形應(yīng)用與特殊四邊形的綜合】例題：（2023春·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某景區(qū)草地上豎立著一個如圖（1）所示的雕塑，現(xiàn)將其中兩個近似大小相同的矩形框架抽象成如圖（2）所示的圖形，矩形可由矩形繞點旋轉(zhuǎn)得到，點在上，延長交于點．連接．

(1)判斷四邊形的形狀并給予證明；(2)若點在水平地面上，與水平地面平行，，求點到水平地面的距離．（結(jié)果精確到．）參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)平行四邊形，見解析(2)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)結(jié)合矩形的性質(zhì)推出，利用證明，得到，據(jù)此可證明四邊形是平行四邊形；（2）延長交水平地面于點，連接．利用正切函數(shù)求得的長，得到，推出，再根據(jù)余弦函數(shù)求得的長，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形．證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵四邊形是矩形，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)得，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：如圖，延長交水平地面于點，連接．

∵，，∴，∴，∴，由（1）知，又，∴，由平行線的性質(zhì)知，∴，∴，即點到水平地面的距離約為．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)和判定，利用三角函數(shù)解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是：（1）掌握等腰三角形中等邊對等角；（2）通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西九江·九年級統(tǒng)考期中）圖1是某校教學(xué)樓墻壁上文化長廊中的兩幅圖案，現(xiàn)將這兩個正方形轉(zhuǎn)化為平面圖形得到圖2，并測得正方形與正方形的面積相等，且，

(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)求的長．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)四邊形是菱形，詳見解析(2)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再證明，從而得，即可得出結(jié)論；（2）作于點M，解，即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是菱形

，理由：正方形與正方形的面積相等，，，∴四邊形是平行四邊形，，，，∴四邊形是菱形．（2）解：作于點M，

在中，，，得

，．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟練掌握正方形的性質(zhì)、菱形的判定、正確求解直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江西九江·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖①是一個新款水杯，水杯不盛水時如圖放置在桌面上，這樣可以快速晾干杯底，干凈透氣，其主體的側(cè)面示意圖如圖②，此時杯口與桌面的夾角為，四邊形可以看作矩形，點到桌面的距離為，測得，．(1)求的度數(shù)；(2)求的長．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)交于點，如圖所示，根據(jù)題意，由直角三角形兩銳角互余即可得到答案；（2）過點作于點．過點作交的延長線于點，如圖所示，先證明四邊形是矩形，解直角三角形即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)交于點，如圖所示：

∵，∴，∵，∴；（2）解：過點作于點．過點作交的延長線于點，如圖所示：

∵，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，答：的長約為．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用問題，讀懂題意，數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確表示出相應(yīng)三角函數(shù)解方程是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022秋·廣西柳州·九年級?？茧A段練習(xí)）“新冠疫情”期間學(xué)校在校門口搭建如圖1所示的遮陽棚，圖2、圖3是遮陽棚支架的示意圖．遮陽棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形構(gòu)成，滑塊可分別沿等長的立柱上下移動，，．（參考數(shù)據(jù)：，，，）

(1)若移動滑塊使，求棚寬的長（精確到）．(2)在遮陽棚內(nèi)安裝如圖4所示的紅外線測溫門（門高），門的頂端應(yīng)與點持平或低于點，試問此時最大為多少度？【答案】(1)(2)的最大值為【分析】（1）根據(jù)題意可知是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可求出的值，根據(jù)，由此即可求解；（2）如圖所示，，過點作于點，根據(jù)三角函數(shù)的計算即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴在中，，，∵，，∴，且，∴，∴．（2）解：如圖所示，，過點作于點，

∴，∴，∴，∴，即的最大值為．【點睛】本題主要考查直角三角形，勾股定理，三角函數(shù)的計算的綜合，掌握直角三角形與勾股定理，三角函數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵．【類型三解直角三角形應(yīng)用與其他知識的綜合】例題：（2023春·江蘇淮安·九年級?？计谥校┤鐖D1是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時的情景，圖是小明鍛煉時上半身由位置運動到位置時的示意圖，并且與地面垂直，已知米，米，，(參考數(shù)據(jù))．

(1)的長為米；(2)若米，求、兩點間的距離精確到米)．【答案】(1)(2)、兩點的距離約為米【分析】（1）過點作于點，根據(jù)題意可得：米，從而可得米，然后在中，利用含度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答；（2）設(shè)與相交于點，過點作，垂足為，根據(jù)題意可得：米，，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得，，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，即可解答．【詳解】（1）解：過點作于點，

由題意得：四邊形是矩形，則米，米，（米），在中，，（米），故答案為：；（2）解：設(shè)與相交于點，過點作，垂足為，

由題意得：米，，，，，米，，，在中，（米），（米），、兩點的距離約為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）為更好的宣傳我縣道德模范先進(jìn)事跡，我縣在中央公園專門設(shè)置了“善行義舉榜”展示牌．某校學(xué)雷鋒活動小組參觀時，想要測量此展示牌的高度，他們繪制了該展示牌支架側(cè)面的截面圖，如圖所示，并測得，，，．請求出展示牌最高點A到地面的距離（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，）．

【答案】展示牌最高點A到地面的距離為．【分析】過點A作，過點B作，過點B作．先在、中利用邊角間關(guān)系求出，再利用線段的和差關(guān)系得結(jié)論．【詳解】解：過點A作，垂足為M，過點B作，垂足為E，過點B作，垂足為N，

∵，，，∴四邊形是矩形．∴，，∴，∴，在中，∵，∴，∴，∵，∴．在中，∵，∴．∴．答：展示牌最高點A到地面的距離為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023春·江西撫州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖1所示的是一套車牌識別系統(tǒng)，將其抽象成如圖2所示的示意圖，攝像頭可繞點旋轉(zhuǎn)，與地面形成的角度為，立柱與地面垂直，高度為．當(dāng)車牌完全進(jìn)入攝像頭范圍內(nèi)，才能識別車牌號碼，某款小汽車車牌上方距離地面．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：．）

(1)若，求該系統(tǒng)正好能識別該汽車車牌的距離；(2)若的最大值為，求系統(tǒng)能識別該汽車車牌的最大距離．【答案】(1)；(2)．【分析】將具體問題幾何化，轉(zhuǎn)為解直角三角形，由于只涉及垂直距離與水平距離，可使用正切值求得水平距離，即可求得系統(tǒng)能識別汽車車牌的距離．【詳解】（1）如圖，為車牌上方距離地面的高度，，

，，．故該系統(tǒng)正好能識別該汽車車牌的距離為．（2）如圖，，，，．故系統(tǒng)能識別該汽車車牌的最大距離為．【點睛】本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)中邊角的關(guān)系．3．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某縣消防大隊到某小區(qū)進(jìn)行消防演習(xí)已知，圖是一輛登高云梯消防車的實物圖，圖是其工作示意圖，起重臂可伸縮，且起重臂可繞點在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動，張角為轉(zhuǎn)動點A距離地面的高度為．(1)當(dāng)起重臂長度為，張角，求云梯消防車最高點距離地面的高度；(2)已知該小區(qū)層高為，若某居民家突發(fā)險情，請問該消防車有效救援能達(dá)到幾層？請說明理由．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)云梯消防車最高點距離地面的高度為(2)該消防車能有效救援層【分析】如圖所示，過點作，垂足為，可求出，在中，根據(jù)余弦的計算方法即可求出的長，由此即可求解；當(dāng)，時，能達(dá)到最高高度，可求出的度數(shù)，在中，根據(jù)正弦的計算方法即可求出的長，由此即