2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題04點(diǎn)到平面的距離練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題04點(diǎn)到平面的距離(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：等體積法求點(diǎn)到平面的距離 2題型二：利用向量法求點(diǎn)到平面的距離 4三、專項(xiàng)訓(xùn)練 6一、必備秘籍1、等體積法求點(diǎn)到平面的距離（1）當(dāng)點(diǎn)到面的距離那條垂線不好作或找時(shí)，利用等體積法可以間接求點(diǎn)到面的距離，從而快速解決體積問題，是一種常用數(shù)學(xué)思維方法（2）在用變換頂點(diǎn)求體積時(shí)，變換頂點(diǎn)的原則是能在圖象中直接找到求體積所用的高，有時(shí)單一靠棱錐四個(gè)頂點(diǎn)之間來變換頂點(diǎn)無法達(dá)到目的時(shí)，還可以利用平行關(guān)系（線面平行，面面平行）轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，如當(dāng)線面平行時(shí)，線上任意一點(diǎn)到平面的距離是相等的，同理面面平行也可以變換頂點(diǎn)2、利用向量法求點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.二、典型題型題型一：等體積法求點(diǎn)到平面的距離1．（23-24高三下·陜西西安·期中）如圖，在圓臺(tái)中，為軸截面，，，為下底面圓周上一點(diǎn)，為下底面圓內(nèi)一點(diǎn)，垂直下底面圓于點(diǎn)，．(1)求證：平面平面；(2)若為等邊三角形，求點(diǎn)到平面的距離．2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在四棱臺(tái)中，底面四邊形為菱形，，平面．(1)證明：；(2)若四棱臺(tái)的體積為，求點(diǎn)到平面的距離．3．（2024·四川·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，，側(cè)面是邊長為4的正三角形，.(1)證明：平面平面ABCD；(2)求點(diǎn)A到平面SBC的距離.4．（2024高三·上海·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.題型二：利用向量法求點(diǎn)到平面的距離1．（23-24高三上·山東日照·期中）如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓O的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)E在母線上，且，.(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.2．（23-24高二上·山東濟(jì)寧·期中）如圖所示，正方體的棱長為3，動(dòng)點(diǎn)在底面正方形內(nèi)，且與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；(2)求動(dòng)點(diǎn)到平面的距離的取值范圍．3．（2023·山東濰坊·三模）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長為，點(diǎn)在母線上，且，．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面(3)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離．4．（23-24高三下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若底面為矩形，，異面直線與所成角的余弦值為，求D到平面的距離.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024·青?！つM預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面，、分別為、的中點(diǎn)，且，，．(1)證明：平面．(2)求到平面的距離．2．（23-24高二下·上海金山·期中）如圖，在三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，點(diǎn)在底面上的投影為的中點(diǎn)，且.(1)求證：；(2)求點(diǎn)到側(cè)面的距離.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，，，平面平面，E為棱上一點(diǎn)（不與P，B重合），平面交棱于點(diǎn)F.(1)求證：；(2)若二面角的余弦值為，求點(diǎn)B到平面的距離．4．（23-24高二下·廣東廣州·期中）如圖，三棱柱所有棱長均為，，側(cè)面與底面垂直，、分別是線段、的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若點(diǎn)為棱上靠近的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直四棱柱中，底面是直角梯形，∥，且．

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．8．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在長方體中，在線段上，且滿足.

(1)求證：平面平面；(2)若異面直線與所成角的余弦值為，求到平面的距離.9．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）如圖，在多面體ABCDE中，A，B，E，D四點(diǎn)共面，，，，，，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面ADF平面BCE；(2)求點(diǎn)E到平面ABC的距離．10．（21-22高二上·北京·期中）在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，，平面，且．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大?。?3)求點(diǎn)到平面的距離．專題04點(diǎn)到平面的距離(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：等體積法求點(diǎn)到平面的距離 2題型二：利用向量法求點(diǎn)到平面的距離 8三、專項(xiàng)訓(xùn)練 17一、必備秘籍1、等體積法求點(diǎn)到平面的距離（1）當(dāng)點(diǎn)到面的距離那條垂線不好作或找時(shí)，利用等體積法可以間接求點(diǎn)到面的距離，從而快速解決體積問題，是一種常用數(shù)學(xué)思維方法（2）在用變換頂點(diǎn)求體積時(shí)，變換頂點(diǎn)的原則是能在圖象中直接找到求體積所用的高，有時(shí)單一靠棱錐四個(gè)頂點(diǎn)之間來變換頂點(diǎn)無法達(dá)到目的時(shí)，還可以利用平行關(guān)系（線面平行，面面平行）轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，如當(dāng)線面平行時(shí)，線上任意一點(diǎn)到平面的距離是相等的，同理面面平行也可以變換頂點(diǎn)2、利用向量法求點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.二、典型題型題型一：等體積法求點(diǎn)到平面的距離1．（23-24高三下·陜西西安·期中）如圖，在圓臺(tái)中，為軸截面，，，為下底面圓周上一點(diǎn)，為下底面圓內(nèi)一點(diǎn)，垂直下底面圓于點(diǎn)，．(1)求證：平面平面；(2)若為等邊三角形，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，即可得到平面，再由圓臺(tái)的性質(zhì)得到，即可得到平面，從而得證；（2）由利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離．【詳解】（1）因?yàn)椋?，又平面，平面，所以平面．因?yàn)榇怪毕碌酌鎴A于點(diǎn)，垂直下底面圓于點(diǎn)，所以，又平面，平面，故平面．又，，平面，所以平面平面．（2）在等腰梯形中，易知，所以．所以．易知，，所以．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，所以，即點(diǎn)到平面的距離為．2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在四棱臺(tái)中，底面四邊形為菱形，，平面．(1)證明：；(2)若四棱臺(tái)的體積為，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)得到，由菱形的性質(zhì)得到，即可得到平面，即可得證；（2）設(shè)，由棱臺(tái)的體積公式求出，取的中點(diǎn)，連接、，即可得到平面，再由利用等體積法計(jì)算可得.【詳解】（1）在四棱臺(tái)中，延長后必交于一點(diǎn)，故共面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，連接，因?yàn)榈酌嫠倪呅螢榱庑?，故，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）設(shè)，又，所以，則，所以，即，解得，所以，則，取的中點(diǎn)，連接、，則且，所以為平行四邊形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)闉榱庑吻?，所以為等邊三角形，所以，，，所以，所以，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，則，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.3．（2024·四川·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，，側(cè)面是邊長為4的正三角形，.(1)證明：平面平面ABCD；(2)求點(diǎn)A到平面SBC的距離.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取中點(diǎn)，通過證明，即可由線線垂直證明線面垂直；（2）根據(jù)，結(jié)合的面積，即可由等體積法求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：取CD中點(diǎn)E，連接SE，AE，BE，易得，，因?yàn)?，，所以，，，故，又，，所以，故，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，，所以平面ABCD，又因?yàn)槠矫鍿CD，所以平面平面ABCD.（2）由（1）知平面ABCD，且，在中，，所以，故.在中，，，所以SB邊上的高，所以.設(shè)點(diǎn)A到平面SBC的距離為d，則，即，解得，所以點(diǎn)A到平面SBC的距離為.4．（2024高三·上海·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，轉(zhuǎn)化為證明平面平面，即可證明線面平行；（2）方法一，利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求點(diǎn)到平面的距離；方法二，同樣利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求解.【詳解】（1）證明連接，∵分別為的中點(diǎn)，∴，∵直線不在平面內(nèi)，平面，∴平面，∵，，∴，且.∴四邊形為平行四邊形，即，∵直線不在平面內(nèi)，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，平面，則平面.（2）方法1：設(shè)到平面的距離為，因?yàn)槠矫?，所以，由于，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以，由于平面，所以平面，而平面，則，由得，即；方法2：∵，，又平面，∴，又，平面，∴平面，而平面，∴.設(shè)，則，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，則.∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離為.題型二：利用向量法求點(diǎn)到平面的距離1．（23-24高三上·山東日照·期中）如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓O的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)E在母線上，且，.(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）利用余弦定理與勾股定理推得，再利用線面垂直與面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量表示得到關(guān)于的表達(dá)式，從而求得的值，進(jìn)而利用點(diǎn)面距離公式即可得解.【詳解】（1）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接，由圓錐的性質(zhì)可知底面，

因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槭堑酌鎴A的內(nèi)接正三角形，由，可得，，解得，又，，所以，即，，所以在中，，在中，由余弦定理：，所以，故.因?yàn)榈酌?，面，所以平面平面，又面，面面，，故面，又平面，所以平面平面；?）易知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)，可得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即，令，，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，有最大值4，即當(dāng)時(shí)，的最大值為1，此時(shí)點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)M到平面的距離，故當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為.2．（23-24高二上·山東濟(jì)寧·期中）如圖所示，正方體的棱長為3，動(dòng)點(diǎn)在底面正方形內(nèi)，且與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；(2)求動(dòng)點(diǎn)到平面的距離的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系根據(jù)平面上軌跡的求法求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)面距離，再由三角代換求取值范圍即可.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)，由，得化簡得，即，故曲線C是以為圓心，2為半徑的圓在正方形內(nèi)一段圓?。?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

則，所以，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，故，由（1）可設(shè)，其中,則，設(shè)到平面的距離為，則，由（1）可令，其中，則，因?yàn)椋?，即，所以，?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問中求圓弧上動(dòng)點(diǎn)到平面距離范圍時(shí)，首先利用向量法表示出動(dòng)點(diǎn)到面的距離是解題的第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再根據(jù)圓的性質(zhì)進(jìn)行三角代換求距離的取值范圍是第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，本題難度較大，屬于難題.3．（2023·山東濰坊·三模）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長為，點(diǎn)在母線上，且，．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面(3)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）設(shè)交于點(diǎn)，連接，利用三角形相似證得，從而證得，進(jìn)而證得直線平面；（2）通過平面，證得平面，所以平面平面；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，通過向量和平面的法向量建立直線與平面所成角的正弦值的關(guān)系式，并利用基本不等式，即可求最值.【詳解】（1）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接，由圓錐的性質(zhì)可知底面，

因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槭堑酌鎴A的內(nèi)接正三角形，由，可得，，解得，又，，所以，即，，又因?yàn)?，所以，所以，即，又平面，直線平面，平面，所以直線平面．（2）因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以平面平面；?）易知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，

設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)，可得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，即當(dāng)時(shí)，的最大值為1，此時(shí)點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到平面的距離，故當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為.4．（23-24高三下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若底面為矩形，，異面直線與所成角的余弦值為，求D到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由向量的夾角得異面直線所成的角求得的長，然后由空間向量法求點(diǎn)面距．【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面；?）由題意（1）及幾何知識(shí)得，在直四棱柱中，，兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，故，設(shè)異面直線與所成角為，則，解得：，故則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，到平面的距離為，所以即取，得.所以，即到平面的距離為.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024·青?！つM預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面，、分別為、的中點(diǎn)，且，，．(1)證明：平面．(2)求到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先利用勾股定理得出，再利用平面，證，最后根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面；’（2）根據(jù)已知條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求距離即可.【詳解】（1）因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，，因?yàn)?，所以；在中，，，，所以，所以，即；因?yàn)槠矫?，平面，所以；又平面，平面，，所以平?（2）由（1）可知、、兩兩垂直，建立如圖所示分別以、、為、、軸的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，，所以，設(shè)到平面的距離為，則.2．（23-24高二下·上海金山·期中）如圖，在三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，點(diǎn)在底面上的投影為的中點(diǎn)，且.(1)求證：；(2)求點(diǎn)到側(cè)面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直證明線線垂直即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）由點(diǎn)在底面上的投影為的中點(diǎn)，知平面，又平面，，是以為斜邊的等腰直角三角形，，平面，平面，平面，.（2），是中點(diǎn)，側(cè)面是菱形，，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，由（1）知直線，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得點(diǎn)到平面的距離為：.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，，，平面平面，E為棱上一點(diǎn)（不與P，B重合），平面交棱于點(diǎn)F.(1)求證：；(2)若二面角的余弦值為，求點(diǎn)B到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理證明線線平行；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求二面角確定點(diǎn)位置，再由空間向量法求點(diǎn)面距．【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?又平面，平面，所以平面.又平面平面，平面，所以.（2）如圖，取的中點(diǎn)O，連接，取的中點(diǎn)G，連接，則.因?yàn)閭?cè)面為正三角形，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?又平面，所以，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，因?yàn)?，且?cè)面為正三角形，所以.又，所以，設(shè)，顯然，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取得，則，取平面一個(gè)法向量為，則，化簡得，解得，所以，所以，，所以點(diǎn)B到平面的距離為．4．（23-24高二下·廣東廣州·期中）如圖，三棱柱所有棱長均為，，側(cè)面與底面垂直，、分別是線段、的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若點(diǎn)為棱上靠近的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，再根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)系，利用空間距離的向量求法，即可求得答案;【詳解】（1）連接，因?yàn)槿庵欣忾L均為2，則為等邊三角形，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，可得，由題設(shè)知四邊形為菱形，則，因?yàn)椋謩e為，中點(diǎn)，則，可得，又，，平面，所以平面，又平面，所以；（2）連接，因?yàn)椋?，所以為正三角形，所以，又?cè)面與底面垂直，平面，側(cè)面底面，所以平面，所以，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，點(diǎn)為棱上靠近的三等分點(diǎn)，故，可得，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，可得，所以點(diǎn)到平面的距離為；5．（2024·陜西銅川·二模）如圖，在四棱錐中.側(cè)面⊥底面，為等邊三角形，四邊形為正方形，且.

(1)若為的中點(diǎn)，證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，得到線線垂直，證明出線面垂直，得到；（2）證明出⊥平面，求出，根據(jù)等體積法求解點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，為等邊三角形，，四邊形為正方形，，，又平面，∴⊥平面，∴

（2）連接，因?yàn)槠矫妗偷酌?，平面底面，⊥，所以⊥平面，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以⊥，且，故，因?yàn)?，，所以，由勾股定理得，設(shè)到平面的距離為，，即，解得.6．（2024·陜西·二模）在四棱錐中，，平面平面.(1)證明：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由已知求解三角形可得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由線面垂直的判定得，再由面面垂直的判定得平面平面（2）利用等體積法，求點(diǎn)到平面的距離【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)為，則且，所以四邊形BCDM是矩形，所以，在中，，所以，所以又平面平面，平面平面，故平面，又平面，所以，，平面，所以平面而平面，故平面平面（2）取的中點(diǎn)，連，由為的中點(diǎn)，可得，又由平面平面，平面平面，可得平面，在直角梯形中，，可得，在中，可得，在中，由，可得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，有，可得，故點(diǎn)到平面的距離為.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直四棱柱中，底面是直角梯形，∥，且．

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由線面垂直的判斷定定理可得平面，從而得，由題意可知四邊形是正方形，所以有，由線面垂直的判定定理