4.基坑工程(馬海龍)第四章-支擋結(jié)構(gòu)內(nèi)力-4-王亞軍

基坑工程第4章支擋結(jié)構(gòu)內(nèi)力ExcavationEngineering

2§4.1文克勒地基模型§4.2文克勒地基上無限長(zhǎng)梁的解答§4.3文克勒地基上豎直梁的計(jì)算§4.4支擋結(jié)構(gòu)的彈性支點(diǎn)法§4.5平面連續(xù)介質(zhì)有限元法第4章支擋結(jié)構(gòu)內(nèi)力基坑支護(hù)工程要達(dá)到的目的，是一個(gè)可開挖的、穩(wěn)定的系統(tǒng)，這取決于支擋結(jié)構(gòu)強(qiáng)度（變形）與基坑穩(wěn)定（主要是土體的相關(guān)穩(wěn)定）這兩大方面。豎向支擋結(jié)構(gòu)主要有排樁（鋼筋砼灌注樁、型鋼水泥土攪拌墻）、地下連續(xù)墻等形式，水平向的支撐則有鋼筋砼（鋼管）內(nèi)支撐、錨桿（錨索）等形式。根據(jù)具體的支擋形式，基坑的穩(wěn)定性有抗傾覆穩(wěn)定性、抗隆起穩(wěn)定性嵌固穩(wěn)定性、抗?jié)B透穩(wěn)定性，以及基坑整休穩(wěn)定性等。因此，基坑工程的計(jì)算主要包括這兩方面，一是支擋結(jié)構(gòu)內(nèi)力與變形計(jì)算，二是基坑的相關(guān)穩(wěn)定性計(jì)算。概述擋土結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析是基坑工程設(shè)計(jì)中的重要內(nèi)容。隨著基坑工程的發(fā)展和計(jì)算技術(shù)的進(jìn)步，擋土結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析方法，從早期的古典分析方法，到解析方法，再到解決復(fù)雜問題的數(shù)值分析方法，經(jīng)歷了不同的發(fā)展階段。古典分析方法主要包括平衡法、等值梁法、塑性鉸法等。平衡法又稱自由端法，適用于底端自由支承的懸臂式擋土結(jié)構(gòu)和單錨式擋土結(jié)構(gòu)。等值梁法又稱假想鉸法，可以求解多支撐（錨桿）的擋土結(jié)構(gòu)內(nèi)力。塑性鉸法又稱太沙基法，該方法假定擋土結(jié)構(gòu)在橫撐（除第一道撐）支點(diǎn)和開挖面處形成朔性鉸，從而解得擋土結(jié)構(gòu)內(nèi)力。解析方法是通過將擋土結(jié)構(gòu)分成有限個(gè)區(qū)間，建立彈性微分方程，再根據(jù)邊界條件和連續(xù)條件，求解擋土結(jié)構(gòu)內(nèi)力和支撐軸力。常見的解析方法主要有山肩幫男法、彈性法和彈塑性法。早期的古典分析方法和解析方法由于在理論上存在各自的局限性而難以滿足復(fù)雜基坑工程的設(shè)計(jì)要求，因而現(xiàn)在已應(yīng)用得很少。目前常用的分析方法主要有平面彈性地基梁法，又稱彈性支點(diǎn)法（規(guī)范推薦方法）和平面連續(xù)介質(zhì)有限元方法。教材重點(diǎn)介紹了平面彈性地基梁法。地下結(jié)構(gòu)計(jì)算模型：進(jìn)行地基上梁和板分析時(shí)，必須解決基底壓力分布和沉降計(jì)算問題，它涉及土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，表達(dá)這種關(guān)系模式稱為地下結(jié)構(gòu)模型。土的應(yīng)力應(yīng)變特性：非線性、彈塑性、土的各向異性、結(jié)構(gòu)性、流變性、剪脹性。影響土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)力條件：應(yīng)力水平、應(yīng)力路徑、應(yīng)力歷史?！?.1文克勒地基模型Winkler地基模型假定地基是由許多獨(dú)立的且互不影響的彈簧組成，即假定地基任一點(diǎn)所受的壓力強(qiáng)度p只與該點(diǎn)的地基變形s成正比，而p不影響該點(diǎn)以外的變形。文克勒地基模型:解析解：指能以函數(shù)的形式解析地表達(dá)出來地解答。如文克勒地基上梁的解答。數(shù)值解：把梁或板微分方程離散化，最終得到一組線性代數(shù)方程，從而求得近似地?cái)?shù)值解。有限單元法有限差分法─地基基床系數(shù)，表示產(chǎn)生單位變形所需的壓力強(qiáng)度（kN/m3）；

─地基上任一點(diǎn)所受的壓力強(qiáng)度（kPa）；

─作用點(diǎn)位置上的地基變形（m）。表達(dá)式Winkler地基模型：

柔性基礎(chǔ)

剛性基礎(chǔ)s1867年捷克工程師文克勒提出如下假設(shè)：地基上任一點(diǎn)所受的壓力強(qiáng)度p與該點(diǎn)的地基沉降量s成正比。把地基劃分許多豎直土柱，每條土柱可由一根彈簧代替。壓力與變形成正比。基底反力圖形與豎向位移相似，如剛度大（基礎(chǔ)）受荷后基礎(chǔ)底面仍保持平面，基底反力圖形按直線規(guī)律變化。適用范圍：1）地基主要受力層為軟土；2）厚度不超過基礎(chǔ)底面寬度之半的薄壓縮層地基；3）塑性區(qū)較大時(shí)；4）支承在樁上的連續(xù)基礎(chǔ)，可以用彈簧體系代替群樁。優(yōu)點(diǎn)：形式簡(jiǎn)單、參數(shù)少，應(yīng)用比較廣泛。缺陷：該模型不能擴(kuò)散應(yīng)力和變形，不能傳遞剪力。關(guān)于基床系數(shù)k的確定：

根據(jù)式（4-1）的定義，基床系數(shù)k可以表示為：

k=p/s

由上式可知，基床系數(shù)k不是單純表征土的力學(xué)性質(zhì)的計(jì)算指標(biāo)，其值取決于許多復(fù)雜的因素，例如基底壓力的大小及分布、土的壓縮性、土層厚度、鄰近荷載影響等。因此，嚴(yán)格說來，在進(jìn)行地基上梁或板的分析之前，基床系數(shù)的數(shù)值是難于準(zhǔn)確預(yù)定的。

12基床系數(shù)k的大小取決于基底壓力大小及分布、土的壓縮性、土層厚度、鄰近荷載等等因素。物理意義：使土體產(chǎn)生單位位移所需的應(yīng)力；（1）按基礎(chǔ)的預(yù)估沉降量確定

對(duì)于某個(gè)特定的地基和基礎(chǔ)條件，可用下式估算基床系數(shù)：

k=p0/sm

式中p0——基底平均附加壓力；sm——基礎(chǔ)的平均沉降量。

對(duì)于厚度為h的薄壓縮層地基，基底平均沉降sm=σzh/Es≈p0h/Es，代入上式得：

k=Es/h

式中

Es——土層的平均壓縮模量。

如薄壓縮層地基由若干分層組成，則上式可寫成

式中

hi、Esi——第i層土的厚度和壓縮模量。

14（2）按載荷試驗(yàn)成果確定如地基壓縮層內(nèi)土質(zhì)均勻，可用在載荷試驗(yàn)p-s曲線確定k。取對(duì)應(yīng)于基底平均反力p及其對(duì)應(yīng)的沉降值s。承壓板邊長(zhǎng)30cm

太沙基建議的方法：1ch×1ch的方形載荷板砂土考慮了砂土的變形模量隨深度逐漸增大的影響。粘性土（3）其他方法（表格法等）基床系數(shù)k

值土的分類土的狀態(tài)kN/m3淤泥質(zhì)粘土3.0～5.0淤泥質(zhì)粉質(zhì)粘土5.0～10粘土，粉質(zhì)粘土軟塑可塑硬塑5.0～2020～4040～100砂土松散中密密實(shí)7.0～1515～2525～40礫石中密25～4017

基床系數(shù)k的取值對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響：

在常用k

值范圍內(nèi)（k＝0.1～50MN/m3

），對(duì)彎矩影響不大，但對(duì)地基沉降影響很大。18如果將圖（c）中的剛性基礎(chǔ)換成一根梁的話，就轉(zhuǎn)化為文克勒地基上梁的問題。作用在梁上的力有地基反力p，梁上的分布荷載q，以及作用在梁上的集中力F和彎矩M0

等?！?.2文克勒地基上無限長(zhǎng)梁的解答根據(jù)材料力學(xué)，梁撓度ω的微分方程式為：21梁的位移——撓度和轉(zhuǎn)角：

直梁在對(duì)稱平面xy內(nèi)彎曲時(shí)其原來的軸線AB將彎曲成平面曲線AC1B。梁的橫截面形心(即軸線AB上的點(diǎn))在垂直于x軸方向的線位移w稱為撓度，橫截面對(duì)其原來位置的角位移q稱為橫截面的轉(zhuǎn)角。22

在圖示坐標(biāo)系中，撓度w向下為正，向上為負(fù)；

順時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角

為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角

為負(fù)。23

彎曲后梁的軸線——撓曲線為一平坦而光滑的曲線，它可以表達(dá)為w=f(x)，此式稱為撓曲線方程。由于梁變形后的橫截面仍與撓曲線保持垂直，故橫截面的轉(zhuǎn)角q也就是撓曲線在該相應(yīng)點(diǎn)的切線與x軸之間的夾角，從而有轉(zhuǎn)角方程：梁的撓曲線的概念：24

直梁彎曲時(shí)的撓度和轉(zhuǎn)角這兩個(gè)位移不但與梁的彎曲變形程度(撓曲線曲率的大小)有關(guān)，也與支座約束的條件有關(guān)。圖a和圖b所示兩根梁，如果它們的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，顯然它們的變形程度(也就是撓曲線的曲率大小)相同，但兩根梁相應(yīng)截面的撓度和轉(zhuǎn)角則明顯不同。(a)(b)25梁的撓曲線近似微分方程：

在材料力學(xué)中曾得到等直梁在線彈性范圍內(nèi)純彎曲情況下中性層的曲率為這也就是位于中性層內(nèi)的撓曲線的曲率的表達(dá)式。26

在橫力彎曲下，梁的橫截面上除彎矩M=M(x)外，還有剪力FS=FS(x)，剪力產(chǎn)生的剪切變形對(duì)梁的變形也會(huì)產(chǎn)生影響。但工程上常用的梁其跨長(zhǎng)l往往大于橫截面高度h的10倍，此時(shí)剪力FS對(duì)梁的變形的影響可略去不計(jì)，而有27從幾何方面來看，平面曲線的曲率可寫作式中，等號(hào)右邊有正負(fù)號(hào)是因?yàn)榍?/r為度量平面曲線(撓曲線)彎曲變形程度的非負(fù)值的量，而w"是q=w'沿x方向的變化率，是有正負(fù)的。28再注意到在圖示坐標(biāo)系中，負(fù)彎矩對(duì)應(yīng)于正值w"

，正彎矩對(duì)應(yīng)于負(fù)值的w"

，故從上列兩式應(yīng)有由于梁的撓曲線為一平坦的曲線，上式中的w

2與1相比可略去，于是得撓曲線近似微分方程一般記為因此，梁撓度ω的微分方程式為：294.2.1無限長(zhǎng)梁的解答一、微分方程根據(jù)材料力學(xué)，梁撓度w的微分方程式為：由梁的微單元的靜力平衡條件∑M=0、∑V=0得到：

將上式連續(xù)對(duì)坐標(biāo)x取兩次導(dǎo)數(shù)，便得：

對(duì)于沒有分布荷載作用（q=0）的梁段，上式成為：

上式是基礎(chǔ)梁的撓曲微分方程，對(duì)哪一種地基模型都適用。

采用文克勒地基模型時(shí)文克勒地基上梁的撓曲微分方程柔度特征值：λ單位為m-1,其倒數(shù)為特征長(zhǎng)度。λ值與地基基床系數(shù)和梁的抗彎剛度有關(guān)，λ值越小，則基礎(chǔ)的相對(duì)剛度愈大。四階常系數(shù)線性常微分方程特征方程特征方程根

解得該方程的通解為：式中C１、C２、C３和C４為積分常數(shù)

當(dāng)基礎(chǔ)是無限長(zhǎng)梁時(shí)，在特定荷載情況下，可以獲得文克勒地基上無限長(zhǎng)梁的解析解。對(duì)有限長(zhǎng)梁，施加邊界力后視為無限長(zhǎng)梁，采用無限長(zhǎng)梁的公式計(jì)算疊加，可以得到有限長(zhǎng)梁的解答。1.集中荷載作用下的解答(1)豎向集中力作用下邊界條件：當(dāng)x→∞時(shí)，w→0。將此邊界條件代入上式，得C１=C２=0。梁的右半部，上式成為：

對(duì)稱性：在x=0處，dw/dx=0，代入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C，則上式成為

F0Ox4-8靜力平衡條件：再在O點(diǎn)處緊靠F0的左、右側(cè)把梁切開，則作用于O點(diǎn)左右兩側(cè)截面上的剪力均等于F0之半，且指向上方。根據(jù)符號(hào)規(guī)定，在右側(cè)截面有V=－F0/2，由此得C=F0λ/2kb

。F0+V符號(hào)規(guī)定F0Ox將上式對(duì)x依次取一階、二階和三階導(dǎo)數(shù)：

對(duì)F0左邊的截面（x＜0），需用x

的絕對(duì)值代入計(jì)算，計(jì)算結(jié)果為w和M時(shí)正負(fù)號(hào)不變，但q和V則取相反的符號(hào)。

（2）集中力偶作用下當(dāng)x→∞時(shí)，w→0，C１=C２=0。

當(dāng)x=0時(shí)w=0，所以C3=0。

M0M0/2在右側(cè)截面有M=M0/2，由此得C4=M0λ2/kb，于是

M0Ox求w對(duì)x的一、二和三階導(dǎo)數(shù)后，所得的式子歸納如下：

當(dāng)計(jì)算截面位于M0的左邊時(shí)，上式中的x取絕對(duì)值，w和M取與計(jì)算結(jié)果相反的符號(hào)，而q和V的符號(hào)不變。

2、多個(gè)集中荷載作用下無限長(zhǎng)梁計(jì)算集中力集中力偶把各荷載單獨(dú)作用時(shí)在該截面引起的效應(yīng)疊加，即得到共同作用下的總效應(yīng)：集中力集中力偶注意：1）在每次計(jì)算時(shí)，均需把坐標(biāo)原點(diǎn)移到相應(yīng)的集中荷載作用點(diǎn)處；正確利用對(duì)稱性；

2）Aa、Da、Cb等系數(shù)是根據(jù)相應(yīng)λx值分別查表得到；

4.2.2有限長(zhǎng)梁思路：把有限長(zhǎng)梁轉(zhuǎn)化為無限長(zhǎng)梁計(jì)算。

以無限長(zhǎng)梁為基礎(chǔ)，利用疊加原理來求得滿足有限長(zhǎng)梁兩自由邊界條件的解答。附加荷載FA、MA和FB

、MB稱為梁端邊界條件力。設(shè)外荷載在梁ⅡA、B兩截面上所產(chǎn)生的彎矩和剪力分別為Ma、Va及Mb、Vb，則

解上述方程組得：1、將有限長(zhǎng)梁視為無限長(zhǎng)梁，求解所有集中力和力偶作用下梁端A,B處的內(nèi)力，并疊加為2、在無限長(zhǎng)梁A、B處施加梁端邊界條件力MA，PA，MB，PB,使其產(chǎn)生的A,B處的內(nèi)力為，-Ma，-Va，-Mb，-Vb；可求出梁端邊界條件力。3、在無限長(zhǎng)梁上，計(jì)算梁上外荷載以及兩端邊界力共同作用下無限長(zhǎng)梁上待求位置處的內(nèi)力及位移。有限長(zhǎng)梁的計(jì)算步驟：掌握有限長(zhǎng)梁的計(jì)算3.柔度指數(shù)梁的柔度特征值

表征文克勒地基上梁的相對(duì)剛?cè)岢潭鹊囊粋€(gè)無量綱值按ll值的大小將梁可劃分三種：計(jì)算模式：對(duì)于短梁，采用基底反力呈直線分布的簡(jiǎn)化方法計(jì)算；對(duì)于有限長(zhǎng)梁，應(yīng)用疊加原理，轉(zhuǎn)化為無限長(zhǎng)梁計(jì)算；對(duì)于長(zhǎng)梁，如柔度較大的梁，可直接按無限長(zhǎng)梁進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算；但如梁上的集中荷載與梁端的最小距離x<π/λ時(shí)，按有限長(zhǎng)梁計(jì)算。在選擇計(jì)算方法時(shí)，除了按λl值劃分梁的類型外，還需兼顧外荷載的大小和作用點(diǎn)位置。

在實(shí)際工程中，基礎(chǔ)梁還存在一端為有限梁端，另一端為無限長(zhǎng)，稱為半無限長(zhǎng)梁。如圖4-1中的條形基礎(chǔ)抗彎剛度EI=4.3×103MPa·m4，長(zhǎng)l=17m，底面寬b=2.5m，預(yù)估平均沉降sm=39.7mm。試計(jì)算基礎(chǔ)中點(diǎn)C處的撓度、彎矩和基底凈反力。例題4-1主要步驟：首先判斷梁的柔度；將有限長(zhǎng)梁轉(zhuǎn)化為無限長(zhǎng)梁計(jì)算；求得邊界條件力；將外荷載和梁端邊界條件力同時(shí)作用于無限長(zhǎng)梁，求得待求截面處彎矩、撓度等結(jié)果。【解】（1）確定基床系數(shù)k設(shè)基底附加壓力p0約等于基底平均凈反力pj：

將單樁視為文克勒地基上的一根豎直梁，梁上作用水平荷載，文克勒地基則由水平向放置的若干彈簧構(gòu)成，與長(zhǎng)梁類似，通過建立豎向梁的撓曲微分方程，計(jì)算樁身的彎矩、剪力、撓曲等。§4.3文克勒地基上豎直梁的計(jì)算文克勒地基上豎直梁的水平反力（抗力）與變形的關(guān)系為：4.3.1水平抗力系數(shù)的比例系數(shù)m此式忽略樁土之間的摩阻力對(duì)水平抗力的影響以及鄰樁的影響。─作用在樁身的水平反力，或地基土的水平反力，（kN/m2）；

─水平反力系數(shù)，或水平基床系數(shù)，（kN/m3）；

─水變形，（m）；

地基水平抗力系數(shù)kx的分布和大小，將直接影響撓曲微分方程的求解和樁身截面內(nèi)力的變化。各種計(jì)算理論假定的kx分布圖式不同。較為常用的有下列四種計(jì)算方法。

①常數(shù)法：假定沿深度為均勻分布即kx=k。這是我國(guó)學(xué)者張有齡在三十年代提出的方法。②

k法：假定在樁身第一撓曲零點(diǎn)以上按直線分布即kx=kz；以下段為常數(shù)，即kx=k。③m法：假定kx沿深度z成正比增加，即kh=mz。圖4-3（c）。④c值法：假定kx沿深度z按cz1/2的規(guī)律分布，即kx=cz1/2。

實(shí)測(cè)資料表明：m法（當(dāng)樁的水平位移較大時(shí)）和c值法（當(dāng)樁的水平位移較小時(shí)）比較接近實(shí)際。

實(shí)測(cè)資料表明，m法（當(dāng)樁的水平位移較大時(shí)）和c值法（當(dāng)樁的水平位移較小時(shí)）比較接近實(shí)際。在采用m法進(jìn)行水平受荷樁設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)，水平抗力系數(shù)的比例系數(shù)m應(yīng)按單樁水平靜載試驗(yàn)確定，如無試驗(yàn)資料，可參考表4-1取值。

上述四種方法各自假定的地基系數(shù)隨深度分布規(guī)律不同，其計(jì)算結(jié)果有所差異。目前應(yīng)用較廣并列入設(shè)計(jì)規(guī)范中的是“m”法。按“m”法計(jì)算時(shí)，地基系數(shù)的比例系數(shù)m值可根據(jù)試驗(yàn)實(shí)測(cè)決定，無實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)可參考下表中的數(shù)值選用；非巖石類土的比例系數(shù)m值序號(hào)土的分類m或m0（MN/m4）1流塑粘性土IL>1、淤泥3～52軟塑粘性土1>IL>0.5、粉砂5～103硬塑粘性土0.5>IL>0、細(xì)砂、中砂10～204堅(jiān)硬、半堅(jiān)硬粘性土IL<0、粗砂20～305礫砂、角礫、圓礫、碎石、卵石30～806密實(shí)粗砂夾卵石，密實(shí)漂卵石80～120基于“m”法彈性單排樁基樁內(nèi)力和位移計(jì)算“m”法的基本假定是認(rèn)為樁側(cè)土為文克爾離散線性彈簧，不考慮樁土之間的粘著力和摩阻力，樁作為彈性構(gòu)件考慮，當(dāng)樁受到水平外力作用后，樁土協(xié)調(diào)變形，任一深度h處所產(chǎn)生的樁側(cè)土水平抗力與該點(diǎn)水平位移x成正比，即px=kxx，且水平基床系數(shù)kx隨深度成線性增長(zhǎng)，即kx=mh?；谶@一基本假定，進(jìn)行樁的內(nèi)力與位移的理論公式推導(dǎo)和計(jì)算。（1）撓曲微分方程4.3.2樁的撓曲微分方程

樁頂若與地面平齊（Z=0），且已知樁頂作用有水平荷載H0及彎矩M0，此時(shí)樁將發(fā)生彈性撓曲，樁側(cè)土將產(chǎn)生橫向抗力px，如圖1所示。從材料力學(xué)中知道，梁軸的撓度與梁上分布荷載q之間的關(guān)系式，即梁的撓曲微分方程為式中：E、I——梁的彈性模量及截面慣矩。因此可以得到圖1所示樁的撓曲微分方程為圖1樁身受力圖示

在公式推導(dǎo)和計(jì)算中，取圖1和圖2所示的坐標(biāo)系統(tǒng)，對(duì)力和位移的符號(hào)作如下規(guī)定：橫向位移順x軸正方向?yàn)檎?；轉(zhuǎn)角逆時(shí)針方向?yàn)檎担粡澗禺?dāng)左側(cè)纖維受拉時(shí)為正值；橫向力順x軸方向?yàn)檎担缦聢D2所示。圖2力與位移的符號(hào)規(guī)定

式中：E、I——樁的彈性模量及截面慣矩；

px——樁側(cè)土抗力px=kxx，kx為水平基床系數(shù)；

b0——樁的計(jì)算寬度；

x——樁在深度z處的橫向位移（即樁的撓度），m。將上式整理可得：

或式中：

——樁-土變形系數(shù)，（1）（2）土反力計(jì)算寬度b0由試驗(yàn)研究分析得出，樁在水平外力作用下，樁后的樁側(cè)土受到擠斥，除了樁身寬度內(nèi)樁側(cè)土受擠壓外，在樁身寬度以外的一定范圍內(nèi)的土體也受到一定程度的影響（空間受力）。且對(duì)不同截面形狀的樁，土受到的影響范圍大小也不相同。為了將空間受力簡(jiǎn)化為平面受力，并綜合考慮樁的截面形狀，將樁的設(shè)計(jì)寬度b（直徑或邊長(zhǎng)）換算成相當(dāng)于實(shí)際工作條件下的影響寬度b0，又稱樁的土反力計(jì)算寬度。樁的土反力計(jì)算寬度可按以下方法確定：（1）方形截面樁：當(dāng)實(shí)際寬度b>1m時(shí)，b0=b+1；當(dāng)b≤1m時(shí)，bo

=1.5b+0.5。（2）圓形截面樁：當(dāng)樁徑d>1m時(shí)，b0=0.9（d+1）；當(dāng)d≤1m時(shí)，b0=0.9（1.5d+0.5）。

從上式中不難看出：樁的橫向位移與截面所在深度、樁的剛度（包括樁身材料和截面尺寸）以及樁周土的性質(zhì)等有關(guān)，

是與樁土變形相關(guān)的系數(shù)。（1）

式（1）為四階線性變系數(shù)齊次常微分方程，在求解過程中注意運(yùn)用材料力學(xué)中有關(guān)梁的撓度xz與轉(zhuǎn)角

z、彎矩Mz和剪力Qz之間的關(guān)系即

若地面處（Z=0）樁的水平位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力分別以x0、

0、M0和Q0表示，解方程組（1），得到樁身任一截面的轉(zhuǎn)角

Z、彎矩MZ，及剪力QZ的計(jì)算公式：

（2）（3）（4）（5）

A1、B1……C4、D4——16個(gè)無量綱系數(shù)，根據(jù)不同的無量綱深度可將其制成表格供查用（可參見《公橋基規(guī)》）。根據(jù)土抗力的基本假定，可求得樁側(cè)土抗力的計(jì)算公式：（6）px=kxx，kx=mz

以上求算樁的內(nèi)力位移和土抗力的式（2）～（6）五個(gè)基本公式中均含有x0、

0、M0、Q0這四個(gè)參數(shù)。其中M0、Q0可由已知的樁頂受力情況確定，而另外兩個(gè)參數(shù)x0、

0則需根據(jù)樁底邊界條件確定。由于不同類型樁，其樁底邊界條件不同，現(xiàn)根據(jù)不同的邊界條件求解x0、

0如下。1．摩擦樁、支承樁x0、

0的計(jì)算

摩擦樁、支承樁在外荷作用下，樁底將產(chǎn)生位移xh、

h。當(dāng)樁底產(chǎn)生轉(zhuǎn)角位移

h時(shí)，樁底的土抗力情況如右圖所示，與之相應(yīng)的樁底彎矩值Mh為式中：A0——樁底面積；

I0——樁底面積對(duì)其重心軸的慣性矩；

C0——基底土的豎向地基系數(shù)，Co=m0h。

這是一個(gè)邊界條件，此外由于忽略樁與樁底土之間的摩阻力，所以認(rèn)為Qh=0，這為另一個(gè)邊界條件。將分別代入式（4）、（5）中得又解以上聯(lián)立方程，并令，則得

根據(jù)分析，摩擦樁且ah>2.5或支承樁且ah≥3.5時(shí)，Mh幾乎為零，且此時(shí)Kh對(duì)、……等影響極小，可以認(rèn)為Kh=0，則上式可簡(jiǎn)化為均為

Z的函數(shù)，已根據(jù)

Z值制成表格，可參考《公橋基規(guī)》。(7)2.嵌巖樁、的計(jì)算

如果樁底嵌固于未風(fēng)化巖層內(nèi)有足夠的深度，可根據(jù)樁底xh、

h等于零這兩個(gè)邊界條件，解得也都是

Z的函數(shù)，根據(jù)

Z值制成表格，可查閱有關(guān)規(guī)范。(8)（二）計(jì)算樁身內(nèi)力及位移的無量綱法

按上述方法，用基本公式（2）、（3）、（4）、（5）計(jì)算xz、

z、Mz、Qz時(shí)，計(jì)算工作量相當(dāng)繁重。若樁的支承條件及入土深度符合一定要求，可采用無量綱法進(jìn)行計(jì)算，即直接由已知的M0、Q0求解。1．的摩擦樁及的支承樁將式（7）代入式（2）得式中：（9a）

同理，將式（7）分別代入式（3）、（4）、（4-5）再經(jīng)整理歸納即可得（9b）（9c）（9d）2．

h>2.5的嵌巖樁將式(8)分別代入式(2)、(3)、(4)、(5)再經(jīng)整理得（10a）（10b）（10c）（10d）（三）樁身最大彎矩位置ZMmax和最大彎矩Mmax的確定

目的：用于檢驗(yàn)樁的截面強(qiáng)度和配筋計(jì)算（關(guān)于配筋的具體計(jì)算方法，見結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理教材內(nèi)容）。

一般方法：要找出彎矩最大的截面所在的位置及相應(yīng)的最大彎矩Mmax值。一般可將各深度Z處的Mz值求出后繪制Z－Mz圖，即可從圖中求得。

數(shù)解法

：

在最大彎矩截面處，其剪力Q等于零，因此Qz=0處的截面即為最大彎矩所在的位置。（四）樁頂位移的計(jì)算公式

右圖為置于非巖石地基中的樁，已知樁露出地面長(zhǎng)l0，若樁頂為自由，其上作用了Q及M，頂端的位移可應(yīng)用疊加原理計(jì)算。設(shè)樁頂?shù)乃轿灰茷閤1，它是由：樁在地面處的水平位移x0、地面處轉(zhuǎn)角

0所引起在樁頂?shù)奈灰?/p>

0l0、樁露出地面段作為懸臂梁樁頂在水平力Q作用下產(chǎn)生的水平位移xQ以及在M作用下產(chǎn)生的水平位移xm組成，即樁頂位移計(jì)算

樁頂轉(zhuǎn)角

1則由：地面處的轉(zhuǎn)角

0，樁頂在水平力Q作用下引起的轉(zhuǎn)角

Q及彎矩作用下所引起的轉(zhuǎn)角

m組成即經(jīng)計(jì)算和經(jīng)整理歸納，可得到如下計(jì)算結(jié)果：（五）單樁、單排樁計(jì)算步聚及驗(yàn)算要求

綜上所述，對(duì)單樁及單排樁基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)計(jì)算，首先應(yīng)根據(jù)上部結(jié)構(gòu)的類型，荷載性質(zhì)與大小，地質(zhì)與水文資料，施工條件等情況，初步擬定出樁的直徑、承臺(tái)位置、樁的根數(shù)及排列等，然后進(jìn)行如下計(jì)算：

1．計(jì)算各樁樁頂所承受的荷載Pi、Qi、Mi；

2．確定樁在最大沖刷線下的入土深度（樁長(zhǎng)的確定）；3．驗(yàn)算單樁軸向承載力；4．確定樁的計(jì)算寬度b1；5．計(jì)算樁—土變形系數(shù)

值；6．計(jì)算地面處樁截面的作用力Q0、M0，并驗(yàn)算樁在地面或最大沖刷線處的橫向位移x0不大于6mm。然后求算樁身各截面的內(nèi)力，進(jìn)行樁身配筋及樁身截面強(qiáng)度和穩(wěn)定性驗(yàn)算；7．計(jì)算樁頂位移和墩臺(tái)頂位移，并進(jìn)行驗(yàn)算；8．彈性樁樁側(cè)最大土抗力是否驗(yàn)算，目前無一致意見，現(xiàn)行樁基設(shè)計(jì)規(guī)范對(duì)此也未作要求。將單位寬度的擋土結(jié)構(gòu)（鋼筋砼灌注樁、型鋼水泥土攪拌墻、地下連續(xù)墻等）作為豎向放置的彈性地基梁，支撐和錨桿簡(jiǎn)化為彈簧支座，基坑內(nèi)開挖面以下土體采用彈簧模擬，擋土結(jié)構(gòu)外側(cè)作用已知的水壓力和土壓力，這種計(jì)算支擋結(jié)構(gòu)內(nèi)力的方法，稱為彈性支點(diǎn)法。§4.4支擋結(jié)構(gòu)的彈性支點(diǎn)法4.4.1繞曲微分方程取計(jì)算寬度為b0的支護(hù)結(jié)構(gòu)（對(duì)于樁來說，就是一根樁的土反力計(jì)算寬度）作為分析對(duì)象，可列出豎向彈性地基梁的撓曲微分方程。對(duì)于懸臂式支擋結(jié)構(gòu)，其撓曲微分方程如下：對(duì)于有支點(diǎn)處擋土結(jié)構(gòu)的撓曲微分方程為支撐與描桿作用點(diǎn)處，其撓曲微分方程如下：─z深度處的主動(dòng)土壓力，（kN/m2）；

─水平荷載計(jì)算寬度，（m）；

─錨桿或內(nèi)支撐對(duì)支擋結(jié)構(gòu)計(jì)算寬度內(nèi)的彈性支點(diǎn)水平反力，（kN）；

考慮土體的分層（m值不同）及水平支撐的存在等實(shí)際情況，需沿著豎向?qū)⒅ёo(hù)體劃分成若干單元，列出每個(gè)單元的上述微分方程，一般可采用桿系有限元方法求解。劃分單元時(shí)應(yīng)考慮土層的分布、地下水位、支撐的位置、基坑的開挖深度等因素。分析多道支撐分層開挖時(shí)，根據(jù)基坑開挖、支撐情況劃分施工工況，按照工況的順序進(jìn)行支護(hù)結(jié)構(gòu)的變形和內(nèi)力計(jì)算，計(jì)算中需考慮各工況下邊界條件、荷載形式的變化，并取