185正方形的性質(zhì)與判定（原卷版）

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》18.5正方形的性質(zhì)與判定知識點一知識點一正方形的定義●●定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.◆1、正方形的四條邊都相等，說明正方形是特殊的菱形；◆2、正方形的四個角都是直角，說明正方形是特殊的矩形.即：正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形.知識點二知識點二正方形的性質(zhì)◆1、具有矩形、菱形、平行四邊形的一切性質(zhì)，即①邊：四條邊相等，鄰邊垂直，對邊平行；②角：四個角都是直角；③對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；④正方形式軸對稱圖形，有四條對稱軸；◆2、正方形的面積計算①邊長的平方；②對角線平方的一半；◆3、正方形特有的性質(zhì)：①正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；②周長相等四邊形中，正方形的面積最大.知識點三知識點三正方形的判定◆1、正方形判定方法：定義法有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.四邊形法有四條邊相等，三個角都是直角的四邊形是正方形.對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形.平行四邊形法有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形.矩形法有一組鄰邊相等的矩形是正方形.對角線相互垂直的矩形是正方形.菱形法有一個角是直角的菱形是正方形.對角線相等的菱形是正方形.◆2、平行四邊形、矩形、菱形、正方形間轉(zhuǎn)化關(guān)系和包含關(guān)系題型題型一利用正方形的性質(zhì)求角度【例題1】（2022秋?競秀區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC、BE相交于點F，則∠BEA為（）A．15° B．30° C．45° D．55°解題技巧提煉正方形中求角度的問題要善于抓住正方形中的特殊角度90°、45°以及四邊相等的性質(zhì).【變式11】（2022秋?市期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點E，使AE＝AC，則∠BCE的度數(shù)是（）A．62.5° B．45° C．32.5° D．22.5°【變式12】（2022秋?新城區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，連接AE、CE，∠BCE＝70°，則∠EAD為（）A．10° B．15° C．20° D．30°【變式13】（2022秋?保定期末）如圖，在正方形ABCD中，等邊△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上，則∠AEB等于（）A．60° B．70° C．75° D．80°【變式14】（2022秋?太原期中）如圖，點E．F分別是正方形ABCD內(nèi)部、外部一點，四邊形ADFE與四邊形BCFE均為菱形，則∠CBE的度數(shù)等于．【變式15】（2022秋?沙坪壩區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，點E，點F分別是對角線BD，AC上的點，連接CE，EF，DF，若EF∥BC，且∠CEF＝15°，則∠EDF的度數(shù)為（）A．22.5° B．25° C．30° D．35°【變式16】（2023?渝中區(qū)校級開學(xué)）如圖，E、F、H分別為正方形ABCD的邊AB、BC、CD上的點，連接DF，HE，且HE＝DF，DG平分∠ADF交AB于點G．若∠BEH＝52°，則∠AGD的度數(shù)為（）A．26° B．38° C．52° D．64°題型二題型二利用正方形的性質(zhì)求線段長【例題2】（2022春?如皋市校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E在對角線BD上，且∠BAE＝22.5°，則BE的長為（）A．2-1 B．12 C．22-2 解題技巧提煉由于正方形的對角線相等且互相垂直平分，所以對于正方形的對角線及邊這兩個元素中知道其中一個的長度，都能根據(jù)勾股定理求出另一個.在計算中要利用等腰直角三角形的相關(guān)知識.【變式21】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，直線l過正方形ABCD的頂點A，BE⊥l于點E，DF⊥l于點F．若BE＝2，DF＝4，則的EF長為．【變式22】（2022秋?九龍坡區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，O為對角線AC、BD的交點，E、F分別為邊BC、CD上一點，且OE⊥OF，連接EF．若∠AOE＝150°，DF=3，則EFA．23 B．2+3 C．3+1 【變式23】（2022秋?青田縣期末）如圖，正方形ABCD的邊長為10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，連結(jié)GH，則線段GH的長為（）A．538 B．22 C．145【變式24】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為7，點E是AB上的一點，且AE＝3，將正方形沿DE翻折，點A落在點G處，延長EG交BC于點F，則CF的長是．【變式25】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，邊長為5的正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，連接AE、AF、EF．已知AF平分∠DFE，BE＝2，則DF的長為（）A．2 B．4 C．125 D．題型三題型三利用正方形的性質(zhì)求周長或面積【例題3】（2022秋?漢臺區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為8，在各邊上順次截取AE＝BF＝CG＝DH＝6，則四邊形EFGH的面積是（）A．34 B．36 C．40 D．100解題技巧提煉正方形的周長：邊長×4.正方形的面積：（1）邊長的平方；（2）對角線乘積的一半；【變式31】（2022秋?永安市期中）正方形的周長為8cm，則它的面積為（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2【變式32】（2022?禮縣校級模擬）如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式33】（2022春?南崗區(qū)校級月考）正方形一條對角線長為22，則周長為（）A．4 B．42 C．8 D．82【變式34】（2022秋?路北區(qū)校級期末）如圖，小明同學(xué)將邊長為5cm的正方形塑料模板ABCD與一塊足夠大的直角三角板疊放在一起，其中直角三角板的直角頂點落在點A處，兩條直角邊分別與CD交于點F，與CB延長線交于點E，則四邊形AECF的面積是．【變式35】（2022?珠海校級三模）如圖，E是正方形ABCD內(nèi)一點，AE⊥DE于E，AE＝2cm，則△ABE的面積是（）A．5 B．4 C．3 D．2題型四題型四利用正方形的性質(zhì)進行證明【例題4】（2022秋?茂南區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB的中點，F(xiàn)是邊BC的中點，連接CE、DF．求證：CE＝DF．解題技巧提煉通過證明三角形全等得到邊和角相等，再進一步得到平行或垂直，是有關(guān)正方形中證明邊或角相等的最常用的方法，而正方形的四條邊相等，四個角都是直角為證明三角形全等提供了條件.【變式41】（2022秋?永豐縣校級期末）如圖，在正方形ABCD中，點P在邊AD上，且不與點A，D重合，點H在邊AB上，且不與點A，B重合，連接BP、CH，BP與CH交于點E．若BP＝CH，求證：BP⊥CH．【變式42】（2022秋?雙牌縣期末）如圖，四邊形ABCD，BEFG均為正方形，連接CE，AG．求證：CE＝AG．【變式43】（2022秋?安丘市校級期末）如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，G是CD邊上一點，連接BG交AC于E，過點A作AM⊥BG，垂足M，AM交BD于點F．（1）求證：OE＝OF．（2）若H是BG的中點，BG平分∠DBC，求證：DG＝2OE．【變式44】（2022春?順義區(qū)校級月考）如圖，在正方形ABCD中，Q為對角線BD上一點（DQ＞BQ），連接AQ、CQ．（1）求證：AQ＝CQ；（2）過點Q作QR⊥BD交BC于點R，延長CB至點H使BH＝CR，連接AH．①依題意補全圖形；②用等式表示AH與CQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式45】（2022?珠海校級三模）如圖，E是正方形ABCD的BC邊上一點（E不與B、C重合），EG⊥AC于G，F(xiàn)在BC的延長線上，且CF＝BE，連接AE、DF和DG．（1）若連接GF，求證：DG＝GF；（2）若∠BAE＝30°，求∠AGD的度數(shù)．題型五題型五正方形判定的條件【例題5】（2022秋?武侯區(qū)期末）下列說法不正確的是（）A．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形 B．菱形的對角線互相垂直 C．矩形的對角線相等 D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形解題技巧提煉正方形的判定方法：①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用①或②進行判定．【變式51】（2022秋?漳州期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，添加下列一個條件，能使矩形ABCD成為正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD【變式52】（2022春?莊浪縣期中）如圖，下列三組條件中，能判定平行四邊形ABCD是正方形的有（）①AB＝BC，∠BAD＝90°；②AC⊥BD，AC＝BD；③OA＝OD，BC＝CD．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式53】（2022秋?金水區(qū)校級期中）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的有（）①當(dāng)AB＝DC時，它是菱形；②當(dāng)AC⊥BD時，它是菱形；③當(dāng)∠ABC＝90°時，它是矩形；④當(dāng)AC＝BD時，它是正方形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式54】（2022秋?東明縣校級期末）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四種說法：①四邊形AEDF是平行四邊形；②如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形．其中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式55】（2022?黑龍江一模）平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且AC⊥BD，請?zhí)砑右粋€條件：，使得平行四邊形ABCD為正方形．【變式56】（2022秋?郟縣期中）如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．要使四邊形EFGH是正方形，BD、AC應(yīng)滿足的條件是．題型六題型六正方形的判定的證明【例題6】（2022?邵陽）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求證：四邊形AECF是正方形．解題技巧提煉判定一個四邊形是正方形時，往往先判定它是矩形（或菱形），再補充一個想對應(yīng)的一個或兩個其它有關(guān)邊、角、對角線的條件，即可證明.【變式61】（2022春?寬城區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于點G．（1）求證：△ABF≌△DAE．（2）求證：四邊形ABCD是正方形．【變式62】（2021秋?涇陽縣期末）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點E在對角線AC上，點F在邊CD上（點F與點C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求證：四邊形ABCD是正方形．【變式63】（2022秋?中寧縣期中）已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，過點D分別作AC和AB的平行線，交AB于點E，交AC于點F．（1）試判定四邊形AEDF的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形．【變式64】（2022春?唐河縣期末）如圖所示△ABC中，∠C＝90°，∠CAB，∠ABC的平分線相交于D點，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F．（1）求證：四邊形CEDF為正方形；（2）若AC＝6，BC＝8，則CE的長為．【變式65】（2022春?隆安縣期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE∥BD，AE與CB的延長線交于點E，DE交AB于F．（1）求證：BC＝BE；（2）連接CF，若∠ADF＝∠BCF且AD＝2AF，求證：四邊形ABCD是正方形．題型七題型七正方形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用【例題7】（2022春?河西區(qū)期末）如圖，點E，F(xiàn)，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點，并且AF＝BP＝CQ＝DE，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠AFP＝∠BPQ B．EF∥QP C．四邊形EFPQ是正方形 D．四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半解題技巧提煉正方形的判定可以確定正方形的存在，再利用正方的性質(zhì)，可以得出線段或角的對應(yīng)關(guān)系從而解決問題.【變式71】（2022春?贛縣區(qū)校級期末）如圖，E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點，且AE＝BF＝CM＝DN（1）求證：四邊形EFMN是正方形；（2）若AB＝7，AE＝3，求四邊形EFMN的周長．【變式72】（2022秋?膠州市校級月考）如圖所示，在正方形ABCD中，DF＝AP＝BQ＝CE．（1）試判斷四邊形PQEF是否是正方形，并證明；（2）PE是否總過某一定點，并說明理由．【變式73】（2022秋?碭山縣校級月考）如圖，正方形ABCD中，AB＝32，點E是對角線AC上的一點，連接DE．過點E作EF⊥ED，交AB于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰為AB的中點，求正方形DEFG的面積．【變式74】（2022春?南譙區(qū)校級月考）如圖1，四邊形ABCD為正方形，E為對角線AC上一點，連接DE，BE．（1）求證：BE＝DE；（2）如圖2，過點E作EF⊥DE，交邊BC于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．①求證：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的邊長為9，CG＝32，求正方形DEFG的邊長．【變式75】（2022春?杭州期中）已知：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，AE、BF相交于點P，并且AE＝BF．（1）如圖1，判斷AE和BF的位置關(guān)系？并說明理由；（2）若AB＝8，BE＝6，求BP的長度；（3）如圖2，F(xiàn)M⊥DN，DN⊥AE，點F在線段CD上運動時（點F不與C、D重合），四邊形FMNP