2024-2025學年高中數(shù)學第二章統(tǒng)計2.3.1變量間的相關(guān)關(guān)系2.3.2兩個變量的線性相關(guān)學案含解析新人教版必修3

PAGE2．3變量間的相關(guān)關(guān)系2．3.1變量間的相關(guān)關(guān)系2．3.2兩個變量的線性相關(guān)內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.理解兩個變量的相關(guān)關(guān)系的概念.2.會作散點圖，并利用散點圖推斷兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系.3.會求回來直線方程.4.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系.提升數(shù)學運算發(fā)展數(shù)據(jù)分析應用數(shù)學建模授課提示：對應學生用書第40頁[基礎相識]學問點一變量間的相關(guān)關(guān)系預習教材P84，思索并完成以下問題在學校里，老師對學生常常這樣說：“假如你的數(shù)學成果好，那么你的物理學習就不會有什么大問題．”依據(jù)這種說法，好像學生的物理成果與數(shù)學成果之間存在著某種關(guān)系．(1)當一個變量的取值肯定時，另一個變量的取值被唯一確定，則這兩個變量之間是怎樣的關(guān)系？提示：這兩個變量是一個函數(shù)關(guān)系．(2)商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費是一種函數(shù)關(guān)系嗎？提示：不是函數(shù)關(guān)系．因為當其中一個變量改變時，另一個變量的改變還受其它因素的影響．學問梳理假如兩個變量中一個變量的取值肯定時，另一個變量的取值帶有肯定的隨機性，那么這兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系．學問點二散點圖預習教材P85－86，思索并完成以下問題在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的探討中，探討人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6(1)視察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣改變？提示：隨著年齡的增加，人體中脂肪的百分比也有所增加．(2)以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標系中描出樣本數(shù)據(jù)對應的圖形嗎？提示：學問梳理1.散點圖將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中的對應點畫出來，得到表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形，這樣的圖形叫做散點圖，利用散點圖，可以推斷兩個變量是否相關(guān)，相關(guān)時是正相關(guān)還是負相關(guān)．2．正相關(guān)和負相關(guān)(1)正相關(guān)：散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域．(2)負相關(guān)：散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域．學問點三回來直線方程預習教材P87－91，思索并完成以下問題在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點圖中點的分布有肯定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中點的分布有什么特點？提示：這些點大致分布在一條直線旁邊．學問梳理1.回來直線：假如散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線旁邊，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回來直線；2．回來方程：回來直線的方程，簡稱回來方程．3．回來方程的推導過程：(1)假設已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)；(2)設所求回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))__，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定參數(shù)；(3)由最小二乘法得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2),\o(a,\s\up6(^))＝\o(y,\s\up6(－))－\o(b,\s\up6(^))\o(x,\s\up6(－))))其中：eq\o(b,\s\up6(^))是回來方程的斜率，eq\o(a,\s\up6(^))是截距．[自我檢測]1．過(3，10)，(7，20)，(11，24)三點的回來直線方程是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝1.75＋5.75x B.eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.75＋5.75xC.eq\o(y,\s\up6(^))＝5.75＋1.75x D.eq\o(y,\s\up6(^))＝5.75－1.75x解析：求過三點的回來直線方程，目的在于訓練求解回來系數(shù)的方法，這樣既可以訓練計算，又可以體會解題思路，關(guān)鍵是能套用公式．代入系數(shù)公式得eq\o(b,\s\up6(^))＝1.75，eq\o(a,\s\up6(^))＝5.75.代入直線方程，求得eq\o(y,\s\up6(^))＝5.75＋1.75x.故選C.答案：C2．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x01234y13579則y與x的線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a必過點()A．(1，2) B．(5，2)C．(2，5) D．(2.5，5)解析：線性回來方程肯定過樣本中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))．由eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(0＋1＋2＋3＋4,5)＝2，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1＋3＋5＋7＋9,5)＝5.故必過點(2，5)．答案：C3．如圖所示的兩個變量不具有相關(guān)關(guān)系的有__________．解析：①是確定的函數(shù)關(guān)系；②中的點大都分布在一條曲線四周；③中的點大都分布在一條直線四周；④中點的分布沒有任何規(guī)律可言，x，y不具有相關(guān)關(guān)系．答案：①④授課提示：對應學生用書第41頁探究一相關(guān)關(guān)系的推斷[例1]某公司利潤y(單位：千萬元)與銷售總額x(單位：千萬元)之間有如下對應數(shù)據(jù)：x10151720252832y11.31.822.62.73.3(1)畫出散點圖；(2)推斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系．[解析](1)散點圖如下：(2)由圖知，全部數(shù)據(jù)點接近直線排列，因此，認為y與x有線性相關(guān)關(guān)系．方法技巧推斷兩個變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡便方法就是繪制散點圖，假如發(fā)覺點的分布從整體上看大致在一條直線旁邊，那么這兩個變量就是線性相關(guān)的，留意不要受個別點的位置的影響．跟蹤探究1.有個男孩的年齡與身高的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下.年齡(歲)123456身高(cm)788798108115120畫出散點圖，并推斷它們是否有相關(guān)關(guān)系？假如有相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負相關(guān)？解析：散點圖是分析變量相關(guān)關(guān)系的重要工具．作出散點圖如圖：由圖可見，具有線性相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)．探究二求回來方程[例2]某種產(chǎn)品的廣告費支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對應數(shù)據(jù)：x24568y3040605070(1)畫出散點圖；(2)求回來方程．[解析](1)散點圖如圖所示．(2)列出下表，并用科學計算器進行有關(guān)計算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560xeq\o\al(2,i)416253664eq\o(x,\s\up6(－))＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝50，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝145，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝1380于是可得，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的回來方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.方法技巧求線性回來方程的步驟(1)計算平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)).(2)計算xi與yi的積，求eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi.(3)計算eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i).(4)將結(jié)果代入公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，求eq\o(b,\s\up6(^)).(5)用eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，求eq\o(a,\s\up6(^)).(6)寫出回來方程．跟蹤探究2.已知變量x，y有如下對應數(shù)據(jù)：x1234y1345(1)作出散點圖；(2)用最小二乘法求關(guān)于x，y的回來直線方程．解析：(1)散點圖如圖所示：(2)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1＋3＋4＋5,4)＝eq\f(13,4)，eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi＝1＋6＋12＋20＝39.eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＝30，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(39－4×\f(5,2)×\f(13,4),30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2))＝eq\f(13,10)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(13,4)－eq\f(13,10)×eq\f(5,2)＝0，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(13,10)x為所求回來直線方程．探究三回來方程的應用[閱讀教材P90例]有一個同學家開了一個小賣部，他為了探討氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的對比表：攝氏溫度/℃－504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212013011610489937654(1)畫出散點圖；(2)從散點圖中發(fā)覺氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；(3)求回來方程；(4)假如某天的氣溫是2℃方法步驟：第一步，畫散點圖；其次步，求回來直線方程；第三步，預料．[例3]某5名學生的總成果和數(shù)學成果(單位：分)如表所示：學生ABCDE總成果x428383421364362數(shù)學成果y7865716461(1)畫出散點圖；(2)求y對x的線性回來方程(結(jié)果保留到小數(shù)點后3位數(shù)字)；(3)假如一個學生的總成果為450分，試預料這個學生的數(shù)學成果．[解析](1)散點圖如圖所示：(2)由題中數(shù)據(jù)計算可得eq\o(x,\s\up6(－))＝391.6，eq\o(y,\s\up6(－))＝67.8，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝770654，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝133548.代入公式得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(133548－5×391.6×67.8,770654－5×391.62)≈0.204，eq\o(a,\s\up6(^))＝67.8－0.204×391.6≈－12.086，所以y對x的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－12.086＋0.204x.(3)由(2)得當總成果為450分時，eq\o(y,\s\up6(^))＝－12.086＋0.204×450≈80，即這個學生的數(shù)學成果大約為80分．方法技巧回來分析的三個步驟(1)進行相關(guān)性檢驗，若兩變量無線性相關(guān)關(guān)系，則所求的線性回來方程毫無意義；(2)求回來直線方程，其關(guān)鍵是正確地求得eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))；(3)依據(jù)直線方程進行預料．跟蹤探究3.從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝80，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝20，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝184，eq\o(∑,\s\up6(100),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝720.(1)求月儲蓄y(千元)關(guān)于月收入x(千元)的線性回來方程；(2)若該居民區(qū)某家庭的月收入為7千元，預料該家庭的月儲蓄．解析：(1)由題意知n＝10，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝eq\f(1,10)×80＝8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi＝eq\f(1,10)×20＝2，又eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2＝720－10×82＝80，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝184－10×8×2＝24，由此得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(24,80)＝0.3，eq\