2025屆北京市第二十七中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2025屆北京市第二十七中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．集合A=，B=，則集合AB=（）A. B.C. D.2．設(shè)，且，下列選項(xiàng)中一定正確的是（）A. B.C. D.3．若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則等于A(yíng). B.C. D.4．已知函數(shù)（其中）的最小正周期為，則（）A. B.C.1 D.5．函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)同時(shí)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，再將圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)解析式為A. B.C. D.6．若tanα＝2，則的值為（）A.0 B.C.1 D.7．已知函數(shù)，則（）A.2 B.5C.7 D.98．C，S分別表示一個(gè)扇形的周長(zhǎng)和面積，下列能作為有序數(shù)對(duì)取值的是（）A. B.C. D.9．下列函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是()A. B.C. D.10．若直線(xiàn)l1：2x+y-1=0與l2：y=kx-1平行，則l1，l2之間的距離等于（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則=_________.12．衣柜里的樟腦丸，隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為a，經(jīng)過(guò)t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為：．已知新丸經(jīng)過(guò)50天后，體積變?yōu)椋粢粋€(gè)新丸體積變?yōu)?，則需經(jīng)過(guò)的天數(shù)為_(kāi)_____13．函數(shù)的最大值為_(kāi)__________.14．梅州城區(qū)某公園有一座摩天輪，其旋轉(zhuǎn)半徑30米，最高點(diǎn)距離地面70米，勻速運(yùn)行一周大約18分鐘.某人在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪，則第12分鐘時(shí)，他距地面大約為_(kāi)__________米.15．若sinθ=，求的值_______16．已知，則的最小值為_(kāi)__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)函數(shù)且是奇函數(shù)求常數(shù)k值；若，試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明；若已知，且函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值18．提高隧道的車(chē)輛通行能力可改善附近路段高峰期間的交通狀況.在一般情況下，隧道內(nèi)的車(chē)流速度(單位：千米/小時(shí))和車(chē)流密度(單位：輛/千米)滿(mǎn)足關(guān)系式：.研究表明：當(dāng)隧道內(nèi)的車(chē)流密度達(dá)到輛/千米時(shí)造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度是千米/小時(shí).（1）若車(chē)流速度不小于千米/小時(shí)，求車(chē)流密度的取值范圍；（2）隧道內(nèi)的車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)隧道的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))滿(mǎn)足，求隧道內(nèi)車(chē)流量的最大值(精確到輛/小時(shí))，并指出當(dāng)車(chē)流量最大時(shí)的車(chē)流密度.19．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．如圖，在四邊形中，，，，且.（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，求的值.21．2022年是蘇頌誕辰1001周年，蘇頌發(fā)明的水運(yùn)儀象臺(tái)被譽(yù)為世界上最早的天文鐘．水運(yùn)儀象臺(tái)的原動(dòng)輪叫樞輪，是一個(gè)直徑約3.4米的水輪，它轉(zhuǎn)一圈需要30分鐘．如圖，退水壺內(nèi)水面位于樞輪中心下方1.19米處，當(dāng)點(diǎn)P從樞輪最高處隨樞輪開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，打開(kāi)退水壺出水口，壺內(nèi)水位以每分鐘0.017米的速度下降，將樞輪轉(zhuǎn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)．以樞輪中心為原點(diǎn)，水平線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，令P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，水面縱坐標(biāo)為，P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為x分鐘．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求，關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求P點(diǎn)進(jìn)入水中所用時(shí)間的最小值（單位：分鐘，結(jié)果取整數(shù)）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】直接根據(jù)并集的運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】由并集的運(yùn)算可得.故選：B.2、D【解析】舉出反例即可判斷AC，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷B，利用作差法即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因?yàn)?，所以，，所以，即，故D正確.故選：D.3、C【解析】角終邊過(guò)點(diǎn)，則，所以.故選C.4、D【解析】根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期求ω，從而可求的值.【詳解】由題可知，，∴.故選：D.5、D【解析】函數(shù)的圖像的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)同時(shí)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，所得圖像的解析式為，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像的解析式為，選D.6、B【解析】將目標(biāo)是分子分母同時(shí)除以，結(jié)合正切值，即可求得結(jié)果.【詳解】＝＝.故選：【點(diǎn)睛】本題考查齊次式的化簡(jiǎn)和求值，屬基礎(chǔ)題.7、D【解析】先求出，再求即可，【詳解】由題意得，所以，故選：D8、B【解析】設(shè)扇形半徑為，弧長(zhǎng)為，則，，根據(jù)選項(xiàng)代入數(shù)據(jù)一一檢驗(yàn)即可【詳解】設(shè)扇形半徑為，弧長(zhǎng)為，則，當(dāng)，有，則無(wú)解，故A錯(cuò)；當(dāng)，有得，故B正確；當(dāng)，有，則無(wú)解，故C錯(cuò)；當(dāng)，有，則無(wú)解，故D錯(cuò)；故選：B9、D【解析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性和奇函數(shù)的定義即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，、和在上單調(diào)遞增，從而A錯(cuò)誤；由奇函數(shù)定義可知，和不是奇函數(shù)，為奇函數(shù)，從而B(niǎo)C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.10、B【解析】根據(jù)兩直線(xiàn)平行求得k的值，再求兩直線(xiàn)之間的距離【詳解】直線(xiàn)l2的方程可化為kx-y-1=0，由兩直線(xiàn)平行得，k=-2；∴l(xiāng)2的方程為2x+y+1=0，∴l(xiāng)1，l2之間的距離為故選B【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)平行以及平行線(xiàn)之間的距離應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】分析和的關(guān)系可知，然后用余弦的二倍角公式求解即可.【詳解】∵，∴.故答案為：.12、75【解析】由題意，先算出，由此可算出一個(gè)新丸體積變?yōu)樾杞?jīng)過(guò)的天數(shù).【詳解】由已知，得，∴設(shè)經(jīng)過(guò)天后，一個(gè)新丸體積變?yōu)?，則，∴，∴，故答案為：75.13、【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合給定的區(qū)間求最大值即可.【詳解】由，則開(kāi)口向上且對(duì)稱(chēng)軸為，又，∴，，故函數(shù)最大值為.故答案為：.14、55【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，第分鐘時(shí)所在位置的高度為，設(shè)出其三角函數(shù)的表達(dá)式，由題意，得出其周期，求出解析式，然后將代入，可得答案.【詳解】如圖設(shè)為地面，圓為摩天輪，其旋轉(zhuǎn)半徑30米，最高點(diǎn)距離地面70米.則摩天輪的最低點(diǎn)離地面10米，即以所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.某人在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪，則第分鐘時(shí)所在位置的高度為則由題意，,則，所以當(dāng)時(shí)，故答案為：5515、6【解析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后通分，進(jìn)而通過(guò)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將原式轉(zhuǎn)化為只含的式子，最后得到答案.【詳解】原式=+，因?yàn)?，所?所以.故答案為：6.16、【解析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合代數(shù)式的恒等變形進(jìn)行求解即可.【詳解】解：因?yàn)閍>0，b>0，且4a+b=2，所以有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）在上為單調(diào)增函數(shù)；（3）【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，恒成立，可得值，也可用奇函數(shù)的必要條件求出值，然后用奇函數(shù)定義檢驗(yàn)；（2）判斷單調(diào)性，一般由單調(diào)性定義，設(shè)，判斷的正負(fù)（因式分解后判別），可得結(jié)論；（3）首先由，得，這樣就有，這種函數(shù)的最值求法是用換元法，即設(shè)，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題，注意在換元過(guò)程中“新元”的取值范圍試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)（且）是奇函數(shù)，，經(jīng)檢驗(yàn)可知，函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意（2）設(shè)、為上兩任意實(shí)數(shù)，且，，，，即函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù).（3），，解得或且，（）令（），則當(dāng)時(shí)，，解得，舍去當(dāng)時(shí)，，解得考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，函數(shù)的最值18、（1）；（2）最大值約為3250輛/小時(shí)，車(chē)流密度約為87輛/千米.【解析】（1）把代入已知式求得，解不等式可得的范圍（2）由（1）求得函數(shù)，分別利用函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式分段求得最大值，比較可得【詳解】解：（1）由題意知當(dāng)(輛/千米)時(shí)，(千米/小時(shí))，代入得，解得所以當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，所以綜上，答：若車(chē)流速度不小于40千米/小時(shí)，則車(chē)流密度的取值范圍是.（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)成立；當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即成立.綜上，的最大值約為3250，此時(shí)約為87.答：隧道內(nèi)車(chē)流量的最大值約為3250輛/小時(shí)，此時(shí)車(chē)流密度約為87輛/千米.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，對(duì)于已經(jīng)給出函數(shù)模型的問(wèn)題，關(guān)鍵是直接利用函數(shù)模型列出方程、不等式或利用函數(shù)性質(zhì)求解19、（1）（2）【解析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，由周期公式求解即可；（2）先求出的解析式，再把所求轉(zhuǎn)化為方程在上有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，令，根據(jù)圖象即可求得結(jié)論【小問(wèn)1詳解】解：，即，所以函數(shù)的最小正周期為【小問(wèn)2詳解】解：由已知可得，方程在上有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，即方程在上有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)解令，因?yàn)?，，，，，令，則，，作出函數(shù)圖象如下圖所示：要使方程在上有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】Ⅰ直接利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可Ⅱ以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線(xiàn)為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系可得代入各值即可【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所?因?yàn)椋裕á颍┮?，所?因?yàn)椋渣c(diǎn)共線(xiàn).因?yàn)?，所?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，，，所?所以，.因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段上，且，所以所以.因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線(xiàn)性運(yùn)算，向量夾角的計(jì)算，屬于中檔題21、（1），（2）13分鐘【解析】（1）按照題目所給定的坐標(biāo)系分別寫(xiě)出和的